1. 令為具有均值，方差的總體的乙個樣本，考慮以下的估計量
，，。1） 證明以上三個估計量都是的無偏估計量；
2）誰是最有效的估計量？
解： 1）
所以，上述三個估計量都是的無偏估計量。
2）最小，所以，是最有效的估計量。
2．設為來自總體的乙個樣本，為來自總體的乙個樣本，且兩個樣本相互獨立，證明
1) 是的無偏估計；
2) 是的無偏估計。
解：1）因為，
所以，即是的無偏估計。
2）即是的無偏估計。 證畢。
3． 對快艇的6次試驗中，得到下列最大速度（單位：公尺/秒）：
27，38，30，37，35，31．
求快艇的最大速度的數學期望與方差的無偏估計量，並計算對應於給定樣本觀測值的估計值。
解：設快艇的最大速度為隨機變數，其服從數學期望為、方差為的分布
則其無偏估計量分別為（）、（）
具體估計值為
4． 美國教師聯合會每年都對教師的工資做調查，1991-2023年教師的平均工資為$34,213。假設上述結果是容量為400的乙個樣本的均值，並且1991-2023年教師工資的標準差為$4800。試求教師平均工資的99%的單側置信下限，並解釋其含義。
解：為大樣本
單側置信下限為
即有99%的可能1991-2023年教師的平均工資高於33654美元。
5． 某銀行原來平均貸款數額為60,000元，近來貸款利息發生變化。為了解這種變化對平均貸款數的影響，從變化後的貸款中隨機抽取144個樣本，求得，（單位：千元），
（1）求平均貸款數的95%的置信區間；
（2）不做任何計算，判斷置信度為99%的置信區間的寬度比（1）中的大還是小？為什麼？
解：（1）設貸款數額為正態總體，，，，
平均貸款數的95%的置信區間為
（2）寬度比（1）大。因為99%覆蓋的範圍比95%覆蓋的範圍廣。
6． 設某種清漆的9個樣品，其乾燥時間（以小時計）分別為：
6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0
設乾燥時間總體服從正態分佈。在下列條件下，求的置信度為0.95的置信區間：1）若由以往經驗知（小時），2）若為未知。
解：1）正態總體，，，將資料輸入計算器得
的置信度為0.95的置信區間為
2）正態總體，，將資料輸入計算器得
的置信度為0.95的置信區間為
7． 某啤酒公司製造的罐裝啤酒容量服從標準差為0.2盎司的正態分佈。
1） 若要抽取乙個容量為25的樣本，並且要求啤酒的平均容量的置信區間為（11.98, 12.12），求該置信區間的置信度。
2） 若公司經理希望啤酒平均容量的99%的置信區間的總寬度不超過0.1，應抽取容量為多大的樣本？
解：正態總體，，，
1） 該置信區間的置信度為92%。
2） 8． 某工廠最近向它的客戶發出新形式的廣告，據說該廣告的有效率為0.1。為求其90%的置信區間，應選多大容量的樣本？
設其置信區間的總寬度為0.04。若有效率為0.
12，所需樣本容量又如何？
解：0-1總體，， 則
當有效率為0.12時，
9．若想估計某個地區居民的平均家庭收入，已知該地區居民家庭收入的標準差為15000元，現要求估計的誤差不超過1000元，置信度為95%，應抽取多少個家庭做樣本？若已知該地區共有2000個家庭，則應抽取多少個家庭做樣本？
解：正態總體， 則
即抽取865個家庭做樣本。
若總體，則
即若已知該地區共有2000個家庭，則應抽取604個家庭做樣本。
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