第七章力法
一. 教學目的
正確的判斷靜定結構和超靜定結構;
理解力法方程的物理意義;
掌握力法的基本概念及解題步驟;
能夠應用力法求解超靜定粱、剛架、排架、桁架在荷載作用下的內力;
了解溫度變化時的內力計算。
二. 主要章節
§7-1 超靜定結構的組成和超靜定次數
§7-2 力法的基本概念
§7-3 超靜定剛架和排架
§7-4 超靜定桁架和組合結構
§7-5 對稱結構的計算
§7-6 支座移動和溫度改變時的計算
§7-7 用求解器進行力法計算
§7-8 小結
§7-9 思考與討論
§7-10 習題
§7-11 測驗
三. 學習指導
力法計算超靜定結構主要是利用靜定結構內力計算和位移計算來解決超靜定結構的內力計算，因此靜定結構的內力計算和位移計算是本章的基礎；由於力法的計算量較大，本章的學習重點應是力法的基本方程的理解和應用，主要是不超過三次超靜定結構。
四. 參考資料
《結構力學教程(ⅰ)》p315～p384
§7-1 超靜定結構的組成和超靜定次數
一. 教學目的
正確理解超靜定結構的概念和超靜定的次數;
能夠正確確定超靜定結構的次數。
二. 主要內容
1. 超靜定結構的組成
2. 超靜定次數
三. 學習指導
正確理解超靜定結構的含義，理解超靜定結構的幾何特徵和靜力特徵，可以為今後的學習打下乙個基礎。
四. 參考資料
《結構力學教程(ⅰ)》p315～p318
7.1.1 超靜定結構的組成
靜定結構:結構的反力和各截面的內力都可以用靜力平衡條件唯一確定(圖7-1a)。
超靜定結構:結構的反力和各截面的內力不能完全由靜力平衡條件唯一的加以確定(圖7-1b)。
圖7-1
從幾何組成分析中可知：靜定結構和超靜定結構都是幾何不變體體系，而靜定結構沒有多餘的約束，超靜定結構存在多餘約束，將圖7-1b中支座c去掉結構仍為幾何不變體系(圖7-1c)。
結論：滿足平衡方程的內力解不唯一，幾何上有多餘約束，這就是超靜定結構區別於靜定結構的基本特點。
超靜定次數
7.1.2 超靜定次數
超靜定次數：超靜定結構中多餘約束的個數；也可以認為多餘未知力的數目。
將超靜定結構中多餘約束去掉，可變為相應的靜定結構，則去掉多餘約束的個數 n 即為原結構的超靜定次數。
結構去掉多餘約束的方式有以下幾種：
1.去掉一根支座鏈杆或切斷一根鏈杆，等於去掉乙個約束(圖7-2)。
2.去掉乙個固定鉸支座或撤去乙個單鉸，等於去掉兩個約束。
3.將剛性連線改為單鉸，相當於去掉乙個約束(圖7-3)。
4.去掉乙個固定端或切斷乙個粱式杆，等於去掉三個約束(圖7-4)。
對於乙個超靜定結構，去掉多餘約束的方式可能有幾種，但必須注意：
去掉多餘約束後，一般應是幾何不變的、靜定的結構；。
圖7-2a、圖7-3a、圖7-4a結構的超靜定次數分別為1、1、3。
§7-2 力法的基本概念
一. 教學目的
正確理解力法的基本原理和思路、力法方程的物理含義，掌握力法的基本解題過程，能夠利用力法求解簡單的超靜定結構。
二. 主要內容
1. 基本思路(1)
2. 基本思路(2)
3. 基本思路(3)
4. 基本思路(4)
2. 超靜定結構的計算(1)
2. 超靜定結構的計算(2)
三. 學習指導
本節內容是通過簡單的例項揭示力法的基本原理，對於今後的學習力法是乙個基礎，學習的關鍵是對力法原理的理解和應用，一定要正確理解力法方程的物理意義，才能最終達到融會貫通的目的。
四. 參考資料
《結構力學教程(ⅰ)》p318～p323
7.2.1 基本思路(1)
力法是計算超靜定結構的最基本方法。
力法的基本思路是把超靜定結構的計算問題轉化為靜定結構的計算問題。
下面結合例項說明力法的基本思路和原理
圖7-5a為一次超靜定結構，如果撤去 b 處的支座鏈杆並用未知力 x1 代替變成了圖7-5b所示的靜定結構，這樣就得到了含有多餘未知力的靜定結構，此結構稱為力法的基本體系（基本體系並不唯一）。相應的把原超靜定結構中多餘約束和荷載都去掉後得到的靜定結構稱為力法的基本結構圖7-5c。
圖7-5
這樣通過把多餘約束去掉用多餘未知力來代替，將超靜定結構變為靜定結構，解題的關鍵就是多餘未知力的求解問題，這也是力法的第乙個特點：
把多餘未知力的計算問題當作超靜定問題的關鍵，把多餘未知力當作關鍵地位的未知力----力法的基本未知量
下面將討論如何建立力法方程來求解基本未知量
繼續7.2.2 基本思路(2)
為了求解多餘的未知力，顯然靜力平衡方程式不能夠求解，必須建立新的方程。
圖7-5
下面將通過對原結構和基本體系進行受力和變形對比，從而建立力法方程。
從受力上看，當基本未知量 x1 為任意有限值時,基本體系和原結構都滿足的平衡方程。
從變形上看，原結構由於支座 b 的支承，因此，不會發生豎向位移。而基本體系 b 處的豎向位移與基本未知量 x1 有關，只有當基本未知量 x1 為某一值時，基本體系 b 處的豎向位移δ1 恰好等於零，即不發生豎向位移，這時基本體系的變形也與原結構的變形相同。於是，可以根據δ1 =0的條件來確定基本未知量 x1 的大小，所求的 x1 就是原結構多餘約束的反力 。
歸納起來力法的基本思路就是：
第一步：去掉原結構的多餘約束，代之以多餘未知力，得到靜定的基本體系。
第二步：基本體系和原結構的變形相同，特別是基本體系上與多餘未知力相應的位移與原超靜定結構上多餘約束處的位移條件一致，這是確定多餘未知力大小的依據。一般情況下，當原結構上在多餘約束處沒有支座位移時，則基本體系應滿足的變形條件是：
與多餘未知力相應的位移為零。
下面按照以上思路具體求解圖7-5a所示的超靜定結構。
7.2.3 基本思路(3)
圖7-6
根據以上分析圖7-5b所示的基本體系應滿足的變形條件是：沿多餘未知力 x1 方向的位移δ1 為零，即
δ1 =0
利用疊加原理計算基本體系的位移δ1 並用基本未知量表示。
圖7-6a 為基本體系在荷載和多餘未知力 x1 共同作用，圖 (b)、(c) 則分別是兩者單獨作用的狀態，圖 (d)、(e)、(f) 則是相應的變形圖。
利用疊加原理，上述變形條件可表述為：
δ1 = δ1p + δ11=0
這裡δ1 是基本體系上多餘未知力 x1 方向的位移(圖7-6d)，δ1p 是基本結構在實際荷載作用下沿多餘未知力 x1 方向的位移(圖7-6e)， δ11 是基本結構在多餘未知力 x1 單獨作用下沿多餘未知力 x1 方向的位移(圖7-6f)，位移與多餘未知力方向一致時為正。
由於位移δ11與多餘未知力 x1 成正比 ，可以寫成
δ11=δ11x1
δ11表示單位未知力x1 =1的作用，使基本結構在多餘未知力 x1 方向產生的位移，於是變形條件可寫成
δ11x1 + δ1p =0
這個方程叫作力法典型方程，它體現了是基本體系恢復到原超靜定結構的轉化條件。式中的係數由單位荷載法進行計算。
下面將具體進行計算
7.2.4 基本思路(4)
圖7-6
根據分析確定了力法典型方程：δ11x1 + δ1p =0
為了計算δ11、 δ1p ，做基本結構在荷載作用下的荷載彎矩mp (圖7-7b)和單位未知力x1 =1的作用下的單位彎矩圖m1 (圖7-7c)。
圖7-7
應用圖乘法得到
代入力法方程
多餘未知力求出後,利用平衡條件求原結構的內力計算結果如圖7-7a，彎矩圖也可以應用疊加公式計算:
力法的基本思路：將超靜定結構的計算轉化為靜定結構的計算，首先選擇基本結構和基本體系，然後利用基本體系與原結構之間在多餘約束方向的位移一致性和變形疊加列出力法典型方程，最後求出多餘未知力和原結構的內力。
下面討論一般情況下的力法典型方程
7.2.5 多次超靜定結構的計算(1)
圖7-8為乙個二次超靜定結構，如圖選擇基本體系和基本結構。
圖7-8
利用原結構與基本體系的在結點 c 沿 x1 和 x2 方向的位移相同的條件
這裡δ1 和δ2 分別是基本體系沿x1 和 x2 方向的位移。
圖7-9
下面應用疊加原理把變形條件展開 ，分別計算荷載、x1=1 和 x2=1 單獨作用時在x1 和 x2 方向的位移,如圖7-9。
位移的表示採用雙下標，第乙個下標表示位移的位置和方向，第二個下標表示產生的原因。
於是可得：
變形條件即為
這也是兩次超靜定結構的力法基本方程。
多餘未知力求出後，利用疊加原理可繪製彎矩圖，具體計算為
下面討論 n 次超靜定的情形。
7.2.6 多次超靜定結構的計算(2)
若結構為 n 次超靜定，則與 n 個多餘約束相對應，基本體系上就有 n 個多餘的未知力x1、x2、x3 ...... xn，則力法典型方程為
根據位移互等定理：δij=δji
δij表示單位力xj =1在基本結構沿xi 方向產生的位移，δip 表示在基本結構實際荷載沿xi 方向產生的位移。δij又稱為柔度係數。
將方程的柔度係數寫成矩陣形式：
這個矩陣稱為柔度矩陣，其中，主對角線上的係數為主係數，主係數都為正值，根據位移互等定理，柔度矩陣為一對角矩陣。
解力法方程求出多餘的未知力，然後應用疊加法計算超靜定的內力。
§7-3 超靜定剛架和排架
一. 教學目的
通過例項分析,掌握力法的基本方法,能夠應用力法求解超靜定剛架和排架。
二. 主要內容
1. 力法的基本解題步驟
2. 應用力法求解剛架
三. 學習指導
本節內容是通過例項進一步揭示力法的基本原理，主要是通過例題的分析，掌握力法的應用,主要應掌握一次和二次超靜定結構。
四. 參考資料
《結構力學教程(ⅰ)》p325～p331
7.3.1 力法的基本解題思路
根據力法的基本原理和思路，用力法計算超靜定結構的步驟可歸納如下：
1. 選擇基本體系
確定超靜定結構的次數，去掉多餘約束，並用相應的約束反力來代替。
2. 建立力法方程
利用基本體系與原結構在相應約束處的變形條件，建力力法典型方程。
3. 計算係數和自由項
4. 求多餘的未知力
5. 作內力圖
按靜定結構，用平衡條件或疊加原理計算結構特殊截面的內力，然後畫出內力圖。
下面一剛架為例進行說明
7.3.2 應用力法求解剛架
圖7-10a 為一超靜定剛架，試作出結構的內力圖，ei 為常數。
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