一、加強計算能力訓練，切實提高計算的準確性
相當一部分同學在複習做題過程中會有這樣的體會：對問題所涉及的概念、原理都很清楚，計算方法也知道，但就是無法算出正確答案來，或是計算有誤，或是根本無法演算下去，造成不應有的丟分.
二、擴充套件公式結論蘊涵，努力探索靈活解題途徑
線性代數概念多，公式、定理也多，巧妙地利用已有的公式與結論，往往可以達到簡化計算的目的.
例如有關a*的公式結論有：aa*= a*a=|a|e，由此還可推出一系列相關的公式：
(2)若a可逆，則a *=| a | a -1, (a*)-1
(3)(4)(5) 若a可逆，且為a的特徵值，則a*有乙個特徵值為.
三、注重前後知識聯絡，努力培養綜合思維能力
線性代數不僅概念多，公式結論多，而且前後知識聯絡緊密，環環相扣，幾乎從任何乙個知識點都可切入將前後知識聯絡起來考查.例如：
①行列式|a|=0矩陣a不可逆
秩r(a)a的行（列）向量組線性相關
ax=0有非零解
λ=0是矩陣a的特徵值
②β可由α1，α2,…，αn惟一線性表示
β=x1a1+x2α2+…+xnαn
ax=β有惟一解x=(x1,x2,…,xn)t,
a=(α1, α2,…, αn)
r(a)=r(aβ)=n
|a|≠0
ax=0只有零解
λ=0不是a的特徵值
③ab=0a(b1,b2,…, bs)=0, b=( b1, b2,…, bs)
abj=0, j=1,2,…,s
b1,b2,…,bs均為ax=0的解
(r(a)+r(b)≤n)
若bj≠0且a為n階方陣時，bj為對應特徵值λj=0的特徵向量
④ab=ca(b1, b2,…, br)=(c1, c2,…, cr)
abj=cj,j=1,2,…,r
bj為ax=cj的解.
c1, c2,…, cr可由a的列向量組α1, α2,…, αs線性表示.
[r(c)=r(ab)≤r(a)或r(b)].
四、加強綜合題型訓練，全面系統地掌握好知識
計算能力的提高不是一朝一夕的事，除了要不斷歸納總結一些重要公式和結論並加以巧妙、適當的應用外，還要靠平時的積累，要養成踏踏實實、有始有終將最後結果計算出來的習慣，只要持之以恆、堅持練習，計算準確性的提高並不是一件困難的事. 而對整個知識的融會貫通、綜合應用也有賴於適當地多做這方面的練習，下面介紹幾個綜合性較強的例題.
例設a、b為三階相似非零實矩陣，矩陣a=(aij)3×3滿足aij=aij (i,j=1,2,3),aij為aij的代數余子式，矩陣b滿足|e+2b|=|e+3b|=0,計算行列式|a*b-a*+b-e|.
分析由 |a*b-a*+b-e|= |a*(b-e)+(b-e)|= |(a*+e)(b-e)|= |a*+e|·|b-e|，
知，只需計算|a*+e|及|b-e|. 若能求出a或b的所有特徵值，則問題即可解決.
解由aij=aij 知，at=a*，於是 aat=aa*=|a|e，從而|a|2=|aat|=||a|e|=|a|3，
即 |a|2(1-|a|)=0. 於是|a|=0或|a|=1.
又a0，不妨設a110,由 |a|=a11a11+a12a12+a13a13=, 知 |a|=1.
由 |e+2b|=|e+3b|=0, 知為b的兩個特徵值.
因為a~b，所以也為a的兩個特徵值. 設為a、b的另一特徵值，根據 1=|a|=，得 .
又 |a*b-a*+b-e|=|(a*+e)(b-e)|=|a*+e|·|b-e|=|at+e|·|b-e|.
因為 |at+e|=|(a+e)t|=|a+e| =(+1)( +1) (+1) =,
|b-e|=(-1)( -1) (-1)= ,
故 |a*b-a*+b-e|=.
評注本題綜合考查了矩陣運算、行列式按行(列)展開定理、特徵值的概念及利用特徵值求行列式等多個知識點.
例設a為三階實對稱矩陣，已知|a|=12，a的三個特徵值之和為1.又是齊次線性方程組(a*-4e)x=0的乙個解向量，
(1)求a；
(2)求(a*+6e)x=0的通解；
(3)求正交變換矩陣q，化二次型xtax為標準形.
分析 (1)設法求出a的所有特徵值、特徵向量，即可確定a；(2)(a*+6e)x=0的基礎解系，即為a*的特徵值=6所對應的線性無關的特徵向量，而a*與a對應特徵值的特徵向量相同；(3)先將相同特徵值的特徵向量正交化，然後再單位化，以此為列所構成的矩陣q即為所求正交變換矩陣.
解由為(a*-4e)x=0的解，知(a*-4e) =0，即 a*=4,於是aa*=4a,
即 |a|=4a,a==-3, 可見為a的特徵值，對應特徵向量為
設為a的另兩個特徵值，由題設，. 利用及上兩式可解是.
設的特徵向量為，由a為實對稱矩陣知：
xt·=0，即x1-2x3=0，解得.
由 ，知
(2) 由，知 ，即 ，也即(a*+6e) =0，i=1,2, 可見即為(a*+6e)x=0的基礎解系，故(a*+6e)x=0的通解為，其中為任意常數.
(3) 由於已正交，故只需將單位化，有
令q==，
則q為正交矩陣，令x=qy，則二次型f=xtax可化為標準形.
評注本題綜合考查了線性方程組、實對稱矩陣特徵值與特徵向量性質以及化二次型為標準形等多個重要知識點.
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