第7講函式連續性概念及運算性質
講授內容
一、函式在一點的連續性
定義1 設函式在某內有定義．若=， 則稱在點連續．
例如，函式連續在點連續，因為=
又如，函式,在點連續，因為
為引入函式在點連續的另一種表述，記，稱為自變數(在點)的增量或改變量．設，相應的函式(在點)的增量記為:
注：自變數的增量或函式的增量可以是正數，也可以是或負數．引進了增量的概念之後，易見「函式在點連續」等價於.
由於函式在一點的連續性，也可直接用方式來敘述，即：若對任給的，存在，使得當時有，則稱函式在點連續．
例1 證明函式)在點連續，其中為狄利克雷函式．
證：由及，對任給的，為使，只要取，即可按定義推得在連續．可以證明函式、、等在任意一點連續.
定義2 設函式在某內有定義．若,則稱在點右(左)連續．
定理4.1 函式在點連續的充要條件是：在點既是右連續又是左連續．
例2 討論函式在點的連續性.
解：因為，，而，所以在點右連續，但不左連續，從而它在不連續.
二、 間斷點及其分類
函式不連續的點稱為函式的間斷點，若為函式的間斷點，則必出現下列情形之一：
（i）在點無定義或極限不存在；
（ii）在點有定義且極限存在，但
1.可去間斷點若而在點無定義，或有定義但，則稱為的可去間斷點．
例如，函式，由於，而在無定義，所以是函式的可去間斷點．
例如，對上述的，定義： ，則在連續．
2．跳躍間斷點若函式在點的左、右極限都存在，但則稱點為函式的跳躍間斷點．
例如，對函式當(為整數)時有，，所以在整數點上函式的左、右極限不相等，從而整數點都是函式的跳躍間斷點．
可去間斷點和跳躍間斷點統稱為第一類間斷點．第一類間斷點的特點是函式在該點處的左、右極限都存在．
3．函式的所有其他形式的間斷點，即函式至少有一側極限不存在的那些點，稱為第二類間斷點．
例如，函式，當時，不存在有限的極限，故是的第二類間斷點．函式在點處左、右極限都不存在，故是的第二類間斷點．又如，對於狄利克雷函式，其定義域上每一點都是第二類間斷點．
三、區間上的連續函式
若函式在區間上的每一點都連續，則稱為上的連續函式．對於閉區間或半開半閉區間的端點，函式在這些點上連續是指左連續或右連續．
例如，函式和都是r上的連續函式．又如函式在每一點處都連續，在為左連續，在為右連續，因而它在上連續．
若函式在區間上僅有有限個第一類間斷點，則稱在上分段連續．例如，函式和在區間上是分段連續的．
例3 證明：黎曼函式，在內任何無理點處都連續，任何有理點處都不連續．
證：設為無理數．任給(不妨設)，滿足的正整數顯然只有有限個(但至少有乙個，如)，從而使的有理數只有有限個(至少有乙個，如)，設為取，則對任何，當為有理數時有，當為無理數時於是，對任何，總有，所以在無理點處連續．
現設為內任一有理數，取，對於任何正數（無論多麼小），在內總可以取到無理數，使得所以在任何有理點處都不連續．
四、連續函式的性質
定理4.4(四則運算) 若函式和在點連續，則(這裡)也都在點連續．
顯然，推出多項式函式和有理函式（為多項式)在其定義域的每一點都是連續的．同樣，由和在上的連續性，可推出與在其定義域的每一點都連續．
定理4.5 若函式在點連續，在點連續，,則復合函式在點連續．
證：由於在連續，對任給的，存在，使得當時有．
又由及在點連續，故對上述，存在，使得當時有．
於是對任給的，存在，當時,有，所以在點連續．
注：根據連續性的定義，上述定理的結論可表為．
例4 求．
解：可看作函式與的復合．於是得
．注：若復合函式的內函式當時極限為，而或在無定義(即為的可去間斷點)，又外函式在連續，則我們仍可用上述定理來求復合函式的極限，即有，而且對於，或等型別的極限也是成立的．
例5 求極限：；.
解：；.
例6求，解： ===
例7求證
例8 求，解： ==
一般地。對於形如的函式（通常稱為冪指函式），如果，，那麼.
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