第五章量綱分析與相似原理
教學要點
一、 教學目的與任務
1本章教學目的
1） 使學生掌握流動相似的基本概念。
2） 動力相似準則及理解模型設計的基本方法。
3） 能應用量綱和諧原理進行量綱分析。
2 本章教學任務
1理解幾何、運動、動力、初始與邊界條件相似的基本概念。
2掌握各種動力相似準則，特別是重力相似準則、粘性力相似準則，能靈活應用模型律進行模型設計。
3量綱與單位的基本概念，量綱的和諧原理。
4） 掌握量綱的基本分析方法：定理。
二、重點、難點
重點：重力相似準則、粘性力相似準則，模型設計；量綱和諧原理，瑞利法與定理。
難點：動力相似準則，量綱分析：瑞利法與定理
三、教學方法
本章內容是學生學習流體力學進行量綱分析的基礎。主要採用理論講解和例題分析的方法並借助於多**課件。
引言：一、實驗觀察法
在實物或原形上進行實驗，觀察實驗現象，並總結和推廣到相應的模型或原形上。
二、相似方法
該方法是模型中的現象相似於原型中的現象的方法，應用條件：模型中發生的現象與原型中發生的現象相似，才有可能應用於原型。
相似原理：研究支配相似系統的性質以及如何用模型實驗解決實際問題的一門科學，是進行模型實驗的依據。但不是一種獨立的科學方法，只是實驗和分析研究的輔助方法。
三、量綱分析法
是流體力學中重要的數學方法，它表徵給定現象（過程）的各個物理量的量綱進行分析，從形式推理出發，建立包括有關物理量在內的描述個別現象（或過程）的方程。
模型試驗是對真實流動現象在實驗室內的再現，目的是揭示流動的物理本質
問題的提出：
進行實驗研究，需要解決什麼問題？
1.實驗條件如何安排？（設計實驗流動模型的根據）
2.試驗資料如何整理？
3.試驗結果如何換算？（試驗結果與實際流動之間服從什麼關係）
解決上述三個問題，是進行流體力學試驗研究的基本問題。
§5－1 量綱分析法的意義和量綱和諧性原理
一、量綱分析方法提出的根據
1）自然界一切物理現象的內在規律，都可以用完整的物理方法來表示。
2）任何完整物理方程，必須滿足因次和諧性條件。
二、幾個定義
1）表示物理量的差別如長度、時間、質量及力等稱為因次。比較同類物理量大小，人為用單位表示，不管用什麼單位，因次只有乙個。
2）物理量的數值決定於所取量度單位的稱為有因次量；與所取單位無關的稱為無因次量。
3）不能從其它量匯出的獨立因次稱基本因次；由基本因次乘冪組合而成的因次稱匯出因次。
注：流體力學所研究的問題中確定基本因次時，要根據研究物件，所掌握的物理量以及有關基本因次的定義來確定。
三、物理因次的和諧原理
乙個完整物理方程，不僅其等號兩邊的數值相等，而其中各次因次也一定相同，不同因次的物理量不能相加減。
設表達某物理現象時，諸物理量間的函式式為
按因次和諧要求，上式西邊因次必須相同。
式中，——影響變數y的因素；
——待定係數；
k——無因次的比例係數。
例：判別流動狀態的關鍵在於臨界速度，根據實驗得知與有關，即
由上述因次和諧要求
則，按因次關係
兩端因次必相等，得1， =-1 =1
即 整理後，， 這就是雷諾數表示式。
四、定理（布金漢定理）
該定理為因次和諧原理解多因次函式式的待定係數提供了簡便的方法。設有物理量y為另一些物理量的函式，即，選基本量，流體力學中通常採用流速、流體的密度和流動的任意特徵長度為基本量，都是相互獨立的，不能相互匯出，符合基本量的條件。
函式式中剩下的及各量的因次，可用這三個基本量的因次的若干冪次的乘積來表示即
如將各基本量分別乘以，
其餘各物理量相應變為
將式代入，得
式中可任意選擇，取，代入上式後，得
或從上式可以看出，n+1個有因次量組成的函式關係，簡化成減少3個基本因次即n+1-3個無因次量之間的函式關係。而後，再利用因次和諧原理解出物理方程。這個方程是布金漢首先提出來的，並用表示這些無因次量，所以稱為布金漢定理（定理）
例：沿管道單位長度的壓降與液體的密度、粘度、流速、半徑有關，試用定理給出它們的關係式。
解：根據題意有
用定理，得
其中應用因次和諧原理，得
於是，得
整理後，得 ——管道阻力係數，——雷諾數
本次課小結：
1） 掌握各種動力相似準則，特別是重力相似準則、粘性力相似準則，能靈活應用模型律進行模型設計。
2） 理解量綱與單位的基本概念，量綱的和諧原理。
3） 掌握量綱的基本分析方法：定理。
作業：5—4、5—7、5—13
思考題：
5—1 布金漢定理主要解決了什麼問題？
5—2 相似理論有什麼意義？有哪些相似準則？
§5－3 相似理論基礎
兩種流動相似的必要和充分條件是幾何相似、運動相似及動力相似。
一、 幾何相似
模型與實物的外形相同，各對應部分夾角相等而且對應部分長度（包括粗糙度）均成一定比例。
長度；面積；體積
夾角 幾何相似即使通過比例尺來表達，只要維持一定，就能保證兩個流動保持相似。
二、 運動相似
對應的質點，流過相應的距離的時間成一定比例。
根據運動相似和幾何相似推出流速與加速度的相似關係，
上述可知，運動相似與否，取決於，，而流速相似和加速度相似又取決於。
三、 動力條件相似
實物與模型的流體，對應質點所受的諸力成一定比例。
其中，所以，或即兩種幾何相似系統動力相似條件，——密度相似係數。
相似準則
一、牛頓相似準則
整理，得
或 （常熟）——————牛頓相似準數
這就是牛頓相似準則或慣性力相似準則。即兩種流體系統動力相似，此準數相等，反之亦然。
注：上述牛頓相似準則是所有力的合力所對應的情況，而力的種類也有很多，都滿足牛頓相似準數是非常困難的，但是在實際研究流體力學現象時往往只是某一種力起主要作用，分析其主要作用的力，是指滿足牛頓相似準數就形成以下準則。
二．雷諾相似準則
在流動現象中起主要作用的是粘性力和慣性力時
粘性力，其大小可用表示，代入牛頓相似準數
得， 或其中，
re——雷諾相似準則
根據式子中的推導過程，雷諾相似準則就是粘性力與慣性力之比。
三。佛汝德相似準則
若起主要作用的是重力和慣性力，重力可用來衡量，將它代入牛頓相似準數，得：
或 fr——佛汝德相似準數，也可用上述準則，稱為佛汝德相似準則或重力相似準則。
四。尤拉相似準則
若起主要作用的是總壓力和慣性力，總壓力可用來衡量。代入牛頓相似準則，得
或式中，eu——尤拉相似準數
這個準則稱為尤拉相似準則或壓力相似準則。
五。馬赫相似準則
若在流動中，壓縮性佔主要地位，慣性力與彈性力之比的平方根，稱為馬赫相似準數（簡稱馬赫數
式中，a——流體中的音速，。
當m<1時的流動稱亞音速流動；m>1時的流動稱超音速流動。
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