江蘇省泰州市九龍實驗學校顧廣林
（此文在國家級核心期刊《中學數學教學參考》2007.4上發表）
新課程標準把逐步形成數學創新意識列為教學目標,各地中考數學命題為了實現這個目標都做了有益的嘗試,並在不同程度上給予體現,主要表現在湧現出不少別具創意、獨特新穎的探索規律、條件、結論的開放性問題。這類試題不僅考查了學生觀察、實驗、模擬、歸納、猜想、判斷、**等能力而且把解題的過程、考試的過程，變成了學生研究的過程，變成了探索規律、發現規律的過程。尤其在考查高層次思維能力和創新意識方面具有獨特的作用.
下面例析活躍在2023年中考數學試題中的開放性試題.
一、開放題常見的題型
開放性試題從結構特徵上看主要分為三類：條件開放題、結論開放題及條件和結論都開放的試題。開放題是相對於傳統的封閉題而言的，其顯著特徵是問題的答案不唯一（開放性），並且在設問方式上要求學生進行多方面、多角度、多層次探索．
1．條件開放型
例1．（2006 海口）如圖， d、e分別在ac、ab上，且de與bc不平行，請填上乙個你認為合適的條件使得△ade∽△abc.
分析：這是一道條件開放題，只要尋求其成立的乙個充分條件即可.如∠ade=∠b或∠aed=∠c或ad：
ab=ae：ac等∠b或∠aed=∠c或ad：ab=ae：
ac等.
評注：在上述問題中，結論已知，而條件需探求，並且具有開放性，這類問題稱為條件開放題．在解決此類問題時，通常採取執果索因的策略進行探求．這類題型雖然考查的都是基礎知識，但是給學生較大的思考空間，不是被動地套用解題模式，而是在問題情景中創造性地解決問題.
2．結論開放型
例2．（2006 南昌）如圖ab是⊙o的直徑，bc是⊙o弦od⊥cb於點e，交於點d
（1）請寫出三個不同型別的正確結論：
（2）鏈結cd，設∠cdb=，∠abc=，
試找出與之間的一種關係式並給予證明.
解：（1）不同型別的正確結論不惟一．以下答案供參考：
1 be = ce；② =；③ ∠bed = 90°；④ ∠bod
2 =∠a；⑤ ac∥od；⑥ac⊥bc；⑦；⑧ s△abc = bc·oe；⑨ △bod是等腰三角形；⑩ △boe ∽ △bac；等等．
（2）與的關係式主要有如下兩種形式．
①答；與之間的關係式為-=90°.
證明：∵ab為⊙o的直徑，∴∠a+∠abc=90°．
又∵四邊形acdb為圓的內接四邊形，∴∠a+∠cdb=180°．∴∠cdb-∠abc=90°,即- = 90°. ②答與之間的關係式為》2. 證明 ∵ od=ob， ∴∠odb=∠ obd．又∵∠ obd=∠abc+∠cbd， ∴∠odb>∠abc．∵od⊥bc，∴，∴cd=bd．∴∠cdo=∠odb=∠cdb，∴∠cdb>∠abc，即》2
評注：本題是在一定條件下，探求問題的結論，屬於結論開放題．解決此類問題時，通常採用由因導果的策略進行探求。這類問題結論開放，學生可自主探索，自由發展，而第（2）小問中滲透的開放性問題，對知識的整合大有裨益。
解決這類問題的關鍵是通過觀察、分析，發現圖形所具有的特徵及其中隱含的關係．這道開放題留給學生很大的想象空間.充分顯示出思維的多樣性，同時也體現了不同學生對數學學習的個性化.教學中要引導學生多角度、多層次、多渠道地解答開放性的問題，培養學生的個性，從而全方位培養學生的創造能力.
3．條件和結論都開放型
例3（2006 漢川）如圖，下面四個條件中，請你以其中兩個為已知條件，第三個為結論，推出乙個正確的命題
(1)ae=ad
(2)ab=ac
(3)ob=oc
(4)∠b=∠c
分析：，四個條件任取二個，共有6種不同的組合．要求寫出相應的6種命題並一一進行研究，這是乙個很有價值的研究性課題．本題中只要求寫出乙個命題，具有明顯的開放性．通過證明△abe≌△acd，即可組建真命題（1）（2）
（4）；（2）（4） （1）；（1）（4） （2）等。
點評：本題是條件和結論都開放的試題，可以充分考查學生對幾何知識點的整合能力，它一改過去的傳統模式，鼓勵**、關注過程，體現了「不同的人在數學上得到不同的發展」這一新課程理念。這類開放性試題旨在讓學生經歷多角度認識問題，多策略思考問題，嘗試解釋不同答案合理性的數學活動，培養和提高創新意識及自主探索新知識的能力.
二、按知識分類
１．操作設計類開放題
例8 （2006 大連）如圖-l，p為rt△abc所在平面內任意一點(不在直線ac上)，∠acb=90°，m為a b邊中點．
操作：以pa、pc為鄰邊作平行四邊形padc，鏈結pm並延長到點e，使me=pm，鏈結de． **：(1)請猜想與線段de有關的三個結論； (2)請你利用圖—2、圖—3選擇不同位置的點p按上述方法操作； (3)經歷(2)之後，如果你認為你寫的結論是正確的，**以證明；如果你認為你寫的結論是錯誤的，請用圖—2或圖—3加以說明；(注意：
錯誤的結論，只要你用反例給予說明也得分)
(4)若將"rt△abc"改為「任意△abc"，其他條件不變，利用圖-4操作，並寫出與線段de有關的結論(直接寫答案)．
分析：(1)de∥bc，de=bc，de⊥a c． (2)如圖4、如圖5．
(3)不同的方法見圖
評注：本題是一道操作型試題，這類問題的方案往往具有很強的開放性．本題中已經就直角三角形的情形給出了提示，這樣就降低了問題的開放性與難度．
《數學課程標準》明確提出「動手實踐」是學生學習數學三種重要方式之一。所以，數學學習無論是內容還是方法都要重視「實驗」，在「實驗操作」中使學習活動成為乙個生動活潑、主動並富有個性的過程，以後這方面考查的力度會增強，因此教學中要注重實踐活動，落實動手能力。
例4（2006 濰坊）如圖5，河邊有一條筆直的公路，公路兩側是平坦的草地．在數學活動課上，老師要求測量河對岸點到公路的距離，請你設計乙個測量方案．要求：
（1）列出你測量所使用的測量工具；
（2）畫出測量的示意圖，寫出測量的步驟；
（3）用字母表示測得的資料，求出點到公
路的距離．
解：（1）測角器、尺子；
（2）測量示意圖見右圖，測量步驟如下：
①在公路上取兩點，使為銳角；②用測角器測出
；③用尺子測得的長，記為公尺；④計算求值．
（3）解：設到的距離為公尺，作於點，
在中，，在中，，
∴，，∴，∴．
評注：本題要求設計的測量方案具有開放性，因此該題屬於設計方案類開放題．解決此類問題，往往採用構造數學模型的策略來進行求解．
2．猜想型開放題
例6.（2006 濟南）定義一種對正整數n的「f」運算：①當n為奇數時，結果為3n＋5；②當n為偶數時，結果為（其中k是使為奇數的正整數），並且運算重複進行．例如，取n＝26，則：
若n＝449，則第449次「f運算」的結果是
解析：根據定義的「f」運算算幾步：449，就會發現規律，結果是8.
點評：所謂猜想歸納，是指通過對已給出的材料和資訊對研究的物件進行觀察、實驗、比較、歸納和分析綜合，作出符合一定規律與事實的推測性想象，從而發現一般規律。它是發現和認識規律的重要手段.
平時的教學不能侷限於課本，可以設計一些猜想性、模擬性的活動，讓學生經歷乙個觀察、試驗等活動過程，在活動中通過對大量特殊情形的觀察猜想出一般情形的結論，從而探索事物的內在規律.
3．概率類開放題
例5．（2006 泰州）三人相互傳球，由甲開始發球，並作為第一次傳球．
（1）用列表或畫樹狀圖的方法求經過3次傳球後，球仍回到甲手中的概率是多少？
（2）由（1）進一步探索：經過4次傳球後，球仍回到甲手中的不同傳球的方法共有多少種？
（3）就傳球次數與球分別回到甲、乙、丙手中的可能性大小，提出你的猜想（寫出結論即可）．
分析：（1）易得三次傳球後p(球回到甲手中)=1/4
(2)經過4次傳球後球仍然回到甲手中的不同傳球方法共有6種．
(3)猜想：當n為奇數時，p(球回到甲手中)p(球回到乙手中)=p(球回列丙手中)
評注：本題（1）是常規的概率計算；（2）是在（1）基礎上的進一步探索；（3）則是在前兩問之下讓你「提出你的猜想」．這個過程蘊含著發現數學結論的策略和方法，能夠有效地考查學生的推理和**能力。事實上，出活題，考能力，一直是中考命題的方向，許多中考試卷把改變問題的敘述方法，使問題具有開放性，著力考查學生的數學**能力放在重要位置，這樣既提高了數學試卷在考查學生數學能力方面的效度和區分度，又有利於促使教師在教學中重視數學知識的發生、發展過程，發展學生的數學素養，提高教學質量。
4．幾何推理開放題
（2006 江西）問題背景某課外學習小組在一次學習研討中，得到如下兩個命題：
1 如圖1，在正三角形abc中，m、n分別是ac、ab上的點，bm與cn相交於點o，若∠bon = 60°，則bm = cn.
2 如圖2，在正方形abcd中，m、n分別是cd、ad上的點，bm與cn相交於點o，若∠bon = 90°,則bm = cn.
然後運用模擬的思想提出了如下的命題：
3 如圖3，在正五邊形abcde中，m、n分別是cd、de上的點，bm與cn相交於點o，若∠bon = 108°，則bm = cn.
任務要求
（1）請你從①、②、③三個命題中選擇乙個進行證明；
（2）請你繼續完成下面的探索：
1 如圖4，在正n（n≥3）邊形abcdef…中，m、n分別是cd、de上的點，bm與cn相交於點o，問當∠bon等於多少度時，結論bm = cn成立？（不要求證明）
2 如圖5，在正五邊形abcde中，m、n分別是de、ae上的點，bm與cn相交於點o，當∠bon = 108°時，請問結論bm = cn是否還成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由.
（1）我選
開放性問題與存在性問題
課題 開放型問題與存在型問題 一 開放型問題 1 主要有下列兩種描述 1 答案不固定或條件不完備的習題.2 具有多種不同的解法或有多種可能的解答問題.2 特點是 1 條件多餘需選擇，條件不足需補充.2 答案不固定.3 問題一般沒有明確的結論，沒有固定的形式和方法，需要自己通過觀察 分析 比較 概括 ...
第7講開放性問題
概述 這類題在命題條件不變的情況下，命題結論不唯一，或在命題結論不變的條件下，條件不唯一，解答這類題要求較高，要求對所學基礎知識全面掌握 典型例題精析 例1 如圖，d為 abc邊ab上一點，滿足 條件時，adc acb 分析 要求對相似三角形的判定定理全面掌握 1 acd b，2 adc acb，3...
3中考數學複習專題講座三 開放性問題 學生
例3 2012廣元 如圖，在 aec和 dfb中，e f，點a b c d在同一直線上，有如下三個關係式 ae df，ab cd，ce bf 1 請用其中兩個關係式作為條件，另乙個作為結論，寫出你認為正確的所有命題 用序號寫出命題書寫形式 如果 那麼 2 選擇 1 中你寫出的乙個命題，說明它正確的理...