４．確定乙個gauss變換l，使
[解] 比較比較向量和可以發現gauss變換l應具有功能：使向量的第二行加上第一行的2倍；使向量的第三行加上第一行的2倍。於是gauss變換如下
５．證明：如果有三角分解，並且是非奇異的，那麼定理1·1·2中的l和u都是唯一的。
[證明] 設 ，其中都是單位下三角陣，都是上三角陣。因為a非奇異的，於是
注意到，單位下三角陣的逆仍是單位下三角陣，兩個單位下三角陣的乘積仍是單位下三角陣；上三角陣的逆仍是上三角陣，兩個上三角陣的乘積仍是上三角陣。因此，上述等將是乙個單位下三角陣與乙個上三角陣相等，故此，它們都必是單位矩陣。即，
從而即a的lu分解是唯一的。
７．設a對稱且，並假定經過一步gauss消去之後，a具有如下形式
證明仍是對稱陣。
[證明] 根據gauss變換的屬性，顯然做矩陣a的lu分解的第一步中的gauss變換為
其中，將a分塊為
那麼即由a的對稱性，對稱性則是顯而易見的。
８．設是嚴格對角佔優陣，即a滿足
又設經過一步gauss消去後，a具有如下形式
試證：矩陣仍是嚴格對角佔優陣。由此推斷：對於對稱的嚴格對角佔優矩陣來說，用gauss消去法和列主元gauss消去法可得得同樣的結果。
[證明] 依上題的分析過程易知，題中的
於是主對角線上的元素滿足
（1）非主對角線上的元素滿足
由於a是嚴格對角佔優的，即故
從而（2）
綜合（1）和（2）得
即，矩陣仍是嚴格對角佔優陣。
13．利用列主元gauss消去法給出一種求逆矩陣的實用演算法。
[解] 設a是非奇異的，則應用列主元gauss消去法可得到
這裡：p是置換陣，l是單位下三角陣，u是上三角陣。於是，通過求解下列n個方程組
便可求得
於是也就是說，求a的逆矩陣，可按下列方案進行：
（1）用列主元gauss消去法得到：；
（2）經求解：得；
（3）對x進行列置換得：。
14．假定已知的三角分解：a=lu。試設計乙個演算法來計算的（i，j）元素。
[解] 求解方程組
則x的第i個分量就是的（i,j）元素。
2.6 證明：在上，當且僅當是正定矩陣時，函式是乙個向量範數。
證明由於a是正定矩陣，不妨設是a的特徵值，是其對應的標準正交特徵向量，即
顯然，是線性無關的。因此，=span{}. 記，，那麼，且對任意，總有使.
命題的充分性是很顯然的。因為是上的向量範數，則由其正定性可知a必為正定矩陣。
現在我們來證明命題的必要性。即假設是正定矩陣，則函式滿足向量範數定義的三條性質：
正定性。由a的正定性，正定性顯然成立。
齊次性。對任意的，因為，故有.
三角不等式。對於任意給定的，有，使
應用習題2.1的結果，得
即有2.7 設是上的乙個向量範數，並且設. 證明：若，則是上的乙個向量範數。
證明當時，當且僅當是上的零向量。再由假設是上的乙個向量範數，於是可證得滿足：
正定性。事實上，對任意，，而且當且僅當.
齊次性。事實上，對所有的和有，因此.
三角不等式。事實上，對所有的有，因此有
2.11 設
（１）計算；
（２）選擇，使得
而且很小，但卻很大；
（3）選擇，使得
而且很小，但卻很大。
[解] （1）顯然
從而，於是
選取：，則可計算得
選取：，則可計算得
.2.12 證明對任意的矩陣範數都有，並由此匯出
[證明] 由定理2.1.6（1）可知，對任意矩陣範數都有，而，於是，從而
.2.13 若和都是非奇異的，證明
.[證明] 因為
所以，根據矩陣範數的相容性可得
.１．設
用正則化方法求對應的ｌｓ問題的解．
［解］由定理３.1.4可知, ｌｓ問題的解就是下列正則化方程組解：
即解得：
設,求乙個householder變換和乙個正數使得
[解] 由於2範數具有正交不變性, 故. 於是
於是,令
那麼,可以驗證滿足該題的要求.
4．確定和使得
［解］由２範數具有正交不變性，故
於是從而
５．假定是乙個二維復向量，給出一種演算法計算乙個如下形式的酉矩陣
使得的第二個分量為零．
［解］對於復向量的２範數定義如下：
顯然，在複數空間中，2範數仍然保持著正交不變性。即對酉矩陣q有
根據題意，不妨設，從而
注意到於是
由，從而
不妨設，即
，又因，所以
.6．假定和是中的兩個單位向量，給出一種使用givens變換的演算法，計算乙個正交陣，使得
[解] 首先考慮對指定的乙個二維非零向量和乙個實數，如何構造givens變換
使。注意2範數的正交不變性，則
(這裡我們假定了，稍後對此加以處理)
那麼，g應滿足
即注意，則矩陣
於是這樣，我們便可考慮從的前兩個分量開始，施以givens變換，便其第乙個分量變換為. 然後對施以givens變換，使其首分量變換為；這樣一直繼續次變換，最後使得變換為
幾點說明：
為使演算法能一步步正常進行，需要首先對單位向量用一組givens變換進行規範化處理，使其成為標準單位向量.這樣在接下來的步的givens變換中就能保證.
在規範化後，對其實施正交變換的每一步中，可以通過逐次計算向量的範數，當其等於1時，即可結束演算法。因為此時，和的剩餘分量均以為零。
演算法總結：
演算法1（用givens變換求正交矩陣使單位向量滿足：）
void standard(double **g,double *x,int n)
else
x[i]=c*x[i]+s*x[i+1];
x[i+1]=0;
for(j=0;j }}
演算法2（計算givens變換，，其中已知）
void getcs(double *g,double *x,double y)
else }
演算法3（使用givens變換，求正交矩陣g使單位向量滿足：）
void xtoy(double **g,double *x,double *y,int n)
t+=y[i]*y[i];
if(t==1)
break; }}
7．設是中的兩個非零向量，給出一種演算法來確定乙個householder矩陣，使，其中
[解] （1）當線性相關時，.
（2）當線性無關時，令：，則
即為所求。
12．利用等於
證明：如果，那麼
[證明] 令泛函
如果，那麼對當且充分小時，，從而由連續性有
，由的任意性，則必有，即
1. 設方程組的係數矩陣為
證明：對來說，jacobi迭代不收斂，而g-s迭代收斂；而對來說，jacobi迭代收斂，而g-s迭代不收斂。
[解] 對於，則有
從而，於是
從而，，
即有由定理4.2.1知，jacobi迭代法不收斂；g-s迭代收斂。
對於，，
從而進而
顯然， 故由定理4.2.1知，jacobi迭代法收斂；g-s迭代不收斂。
3.考慮線性代數方程組
這裡（1）為何值時，是正定的？
（2）為何值時，jacobi迭代收斂？
（3）為何值時，g-s迭代收斂？
[解]（1）對稱矩陣正定的充分必要條件是其特徵值均為正數。而的特徵多項式為
於是的特徵值為：欲使它們均大於零，則
（2）由於jacobi迭代矩陣為
的特徵多項式為
其特徵值為：，於是譜半徑. 由定理4.2.1可知，jacobi迭代收斂當且僅當. 從而當時，jacobi迭代收斂。
（3）由於g-s迭代矩陣為
其特徵多項式為
特徵值為：從而故由定理4.2.1可知，當時，g-s迭代收斂。
注意：（2）和（3）中的可以是複數。
１１．利用反冪法計算矩陣
對應於近似特徵值（精確特徵值中）的近似特徵向量．
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1.設集合，那麼上元素間的等價關係的個數 3.設與是群，且是到的同態滿射，則與的關係 5 設是有理數域，關於變換的復合運算，下列不是上的變換群的是 a b.c.d.7.是剩餘類環，則的零因子的個數為 8 是階大於2的環，且對任意，有，則下列正確的是 a的特徵為2b.的特徵大於2 c.不是交換環d.是...
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p115.3 證 如果，由得 令由得 由得 因此線性無關。4.解 本題中 1 2 3 4 5.證 得 6.1 因不滿足且,如,但 不構成內積 2 滿足內積定義要求,構成內積 7.因此是正交多項式 由知 8.本題中 這裡9.10.兩邊求導得 11.零次最佳一致逼近多項式為 12.易知,而是最高次項係數...
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