小學數學競賽實際上就是解題能力的競賽，多做好題是提高解題能力的有效途徑，本講中精選了各類數學競賽的一些典型試題進行分析與解答，希望對開拓思路能起一點作用.
例1 龜兔賽跑，全程5.2公里，兔子每小時跑20公里，烏龜每小時3公里，烏龜不停地跑，但兔子卻邊跑邊玩，它先跑1分鐘後玩20分鐘，又跑2分鐘然後玩20分鐘，再跑3分鐘然後玩20分鐘，…，問先到達終點的比後到達終點的快多少分鐘？
分析只要分別求出烏龜和兔子到達終點各用了多少分鐘.
解：烏龜到達終點所用時間為：
5.2÷3＝26/15（小時）
也就是26/25×60104（分鐘）.
如果兔子不停地跑，那麼它到達終點所用時間為：5.2÷20＝13/50（小時）
化為分鐘：13/50×60＝78/5（分鐘）.
又由於78/5＝15＝1+2+3+4+5+3/5.這就說明，兔子共停下來玩了5次，玩過第5次之後再跑3/5分鐘，就到達終點了，共用時間：15+20×5＝115（分鐘）
所以烏龜比兔子早到：115－104＝11（分鐘）.
例2 下圖是兩個互相嚙合的齒輪，大的是主動輪，小是從動輪，大齒輪半徑為105，小齒輪半徑為90，現在兩個齒輪的標誌線在同一直線上，問大齒輪至少轉了多少整圈後，兩條標誌線又在同一直線上？
分析這道題可以看成下面的問題：
在a點有甲、乙二人，同時、同速出發分別沿著兩條跑道跑圈，問甲沿左邊大圈至少跑了多少圈後，乙沿右邊小圈跑到了a點或b點？
解：由於要求乙到達a點或b點，所以乙跑的路程應該是小圓周長一半的倍數；又由於乙與甲跑的路程相等，所以問題就變成了：
大圓周長的至少多少倍是小圓周長一半的倍數？設甲跑了n 圈，則有是整數，約分後可得：＝，這就說明n至少取3使是整數.
答：主動輪至少轉3圈，兩條標誌線又在一條直線上.
說明：變換問題的敘述方式，往往是發現解題思路的重要手段.
例3 王師傅在某個特殊崗位上工作，他每上8天班後，就連續休息兩天，如果這個星期六和星期天他休息，那麼至少再過幾個星期後，他才能又在星期天休息？
分析首先應該計算出至少過了多少天，王師傅又在星期天休息，由於他是連續休息2天，因此可能出現兩種情況：星期六和星期天，星期天和星期一.
解：由於王師傅工作8天，休息2天，所以每10天一迴圈，設過了n個10天又是星期天，那麼總天數就是10n是7的倍數，因此n至少等於7，總天數就是70天；另外一種情況是過了n個10天是星期一，也可以使王師傅在星期天休息，同樣的分析可以知道，10n－1是7的倍數，這時n至少等於，總天數為10×5－1＝49（天）.由天49＜70，所以第二種情況在第一種情況之前出現，這就說明王師傅至少過49天才又在星期天休息，而不難算出49天等於個星期.
答：王師傅至少過了7個星期又在星期天休息.
例4 祖父現在的年齡是小明年齡的6倍，幾年後，祖父的年齡將是小明年齡的5倍，又過幾年經後，祖父年齡將是小明年齡的4倍，求祖父今年多少歲？
分析在「年齡問題」中，有一條差不變原理要注意，也就是說無論什麼時候，祖、孫二人的年齡差都是一樣的。
解：設祖、孫二人今年的年齡分別為x和y,根據已知條件：今年祖父年齡是小明年齡的6倍，就有：
x-y=5y,設過a年後，祖父年齡是小明年齡的5倍，由差不變原理知道：x-y=4(y+a),設過b年後，祖父年齡是小年齡的4倍，同樣道理又有：x-y=3(y+b),
綜合上面三個式子有：
5y=4(y+a)
5y=3(y+b)
整理後得：y=4a
2y=3b
也就是 8a=3b.
從這個式子看出應該有：a=3,b=8,
從而就有 y=4×3=12
x=6×12=72.
答：祖父今年71歲.
說明：事實上，從8a=3b這個公式看出a應為3的倍數，b為8的倍數，如果取a=6、b=16或更大話，將得出不合常理的結果.
例5 下圖中8個頂點處標註數字a,b,c,d,e,f,g,h,其中的每乙個數都等於相鄰三個頂點處數的和的1/3，求：（a+b+c+d）-(e+f+g+h)的值
解：由已知條件得：
3a=b+d+e
3b=a+c+f
3c=b+d+g
3d=a+c+h
把這四式相加，得
3(a+b+c+d)=2(a+b+c+d)+(e+f+g+h)
∴a+b+c+d=e+f+g+h
∴(a+b+c+d)-(e+f+g+h)=0.
例6 從1～100這100個不等的數中，每次取出2個數，要使它們的和大於100，有多少種不同的取法？
分析在這100個不等的數中，每次取出2個其中必有乙個較小的，又這二數之和要大於100，我們可以列舉較小數的所有可能取值情況.
解：較小數是1，有1種取法，即（1,100）
較小數是2，有2種取法，即（2,99），（2,100）；…
較小數是50，有50種取法，即（50,51），（50,52），（50,53），…，（50,100）；
較小數是51，有49種取法，即（51,52），（51,53），（51,54），…，（51,100）；
…較小數是99，有1種取法，即（99,100）.
所以共有取法：
1+2+…+49+50+49+…+2+1＝2（1+2+…+49+50）－50＝2-50=2500(種).
例7 有a、b、c三人參加m項全能比賽，在每乙個專案中，第一各、第二名和第三名分別得分p1，p2和p3，它們都是自然數，並且p1＞p2＞p3，最後計算總分時，a得22分，b與c均得9分，b跑百公尺第一，問：①m等於多少？②在跳高比賽中，誰得第二名？
分析我們來分析如何求m，由於題中已知有百公尺和跳高兩項比賽，所以m至少是2，又由已知條件知有：m（p1＋p2＋p3）＝22+9×2＝40所以m是40的約數，m的可能取值只有2、4、5、8、10、20、40以下只需依次列舉試驗，淘汰非解.
解：由於p1≥3，p2≥2，p1≥，因此m（1+2+3）≤m（p1+p2+p3）＝40.也就是m≤6，這樣一來m只有三種可能取值了：2、4、5.下面我們分別討論.
如果m＝2，這時只有百公尺和跳高兩項比賽，由於b在麵公尺賽中得分p1，他的總分只有9分，因此p1至多等於8，這樣a無論如何也得不到22分，所以m＝2.
如果m＝4，這時有：p1+p2+p3＝10
由於b得了乙個第一，所以他至少得分：
p1+3p3
又由於b的總分是9，所以我們有：p1＋3p3≤9
由此不難看出p1不能超過6，又由a得總分22知p1還不能小於6，所以p1＝6，這樣一來就有p2＋p3＝4，所以就有p3＝1，p2＝3，這是不可能的，因為這時a最多得分為6×3＋3＝21，不夠22，因此m＝4.
排除了以上兩種情況，只有m＝5，下面我們來分析每個人的得分情況，這時我們有：p1＋p2＋p3＝8.
由於p1、p2、p3互不相同，所以p3＝1，否則的話，左邊至少等於2+3+4＝9＞8，因此就有p1＋p2＝7.不難發現p1至多等於5，同時又不能小於5，所以p1＝5，從而也卞有p2＝2，我們用下表來表示每個人的名次：且由表可見，c是跳高比賽的第二名
這個表的填充過程讀者應自己獨立地作一遍.
例8 2023年，有個人在介紹自己的家庭時說：我有一兒一女，他們不是雙胞胎，兒子年齡的立方，加上女兒年齡的平方，正好是我的出生年，我是在2023年以後出生的，我的兒女都不滿21歲，我比我妻子大8歲，請求出全家每個人的年齡.
分析本題的關鍵在於先確定兒子的年齡，其次是求出女兒的年齡，這可是用前面介紹的「篩」法來做到.
解：由於13＝2197，所以兒子的年齡一定小於13歲；又由於11＝1331，既使加上21＝441，也只是1331+441＝1772＜1900，所以兒子的年齡一定大於11歲，只有12歲了.
設女兒的年齡為x，根據已知條件有：
12＋x＞1900
所以x>1900-12
x>172
也就是說女兒的年齡大於13歲，以已知這個年齡小於21歲，所以女兒的年齡可能歲數是：
14，15，16，17，18，19，20
如果x=15,那麼父親的出生年數就等於：
12＋15＝1953
這顯然是不合理的（想一想為什麼？）同樣道理，女兒的年齡也不能是大於15的數，只能是14歲。
這時父親的出生年數為：
12＋14＝1924
2023年時的年齡為：
1978－1924＝54（歲）
2023年時母親的年齡為：
54－8＝46（歲）：
答：（略）。
說明：從本題的解答可以發現，運用篩選法解題時，關鍵是確定篩選的範圍，範圍越小，篩選的工作量越小。
從上面的幾個例子我們看出，用列舉法解題的基本方法是：
按某種規律一一枚舉問題的有限個解;或者是：把研究物件劃分為不重複、不遺漏的若干類一一解決，從而得到原問題的解答。
有時為了求出某一答案，若不能直接解得，就可以運用篩選法，也叫排除法，它的做法可以用四句話概括：
確定範圍，逐一試驗，淘汰非解，一時不知從何下手，有時可先把問題簡單化，考慮它的特殊情形。在解決這個特殊情形的過程中，得到啟發，從而獲得解決原題的方法，這樣的解題方法，我們叫作從特殊到一般的分析方法，簡單地說就是難的不會，想簡單的。
例 9 問5條直線最多將平面分為多少份？
分析直接想五條直線的情況不好想，先研究一些簡單的情況，不難知道：
一條直線最多將平面分為2部分；
二條直線最多將平面分為3部分；
三條直線最多將平面分為7部分；
四條直線最多將平面分為11部分；
五條直線的圖不易畫出，所以很難下結論，分析一下上面特殊情形的結論，看看能不能發現一些規律。
二條直線分平面的4部分恰好是在一條直線分平面的2部分的基礎上增添了2部分；三條直線分平面的7部分，類似地，四條直線分平面的11部分是在三條直線分平面的7部分的基礎上增添4部分，怎樣解釋這個規律呢？我們以四條直線的情形作為例子。
三條直線將平面分為7部分，新加上一條虛線，由於新添虛線不能過實線的交點，這樣，虛線與三條實線有三個交點，這三個交點將虛線分為四段，其中的每一段都將所在的平面部分一分為二，所以也就是使所分平面的份數增加4。
五上數學典型錯題及原因分析
典型錯題一 判斷題 60分的十分之七就是0.7小時。原因分析 1 學生對這塊知識的理解不夠深入 2 審題不夠認真。典型錯題二 檢驗x 5是不是方程2.5x 8 17的解。原因分析 1 教師缺乏對學生數學應用能力的培養 2 學生平時缺乏對自身數學應用能力的訓練。典型錯題三 解方程 3.8x x 0.7...
平衡影象典型專題訓練
解化學平衡影象題的技巧 1 弄清橫座標和縱座標的意義。2 弄清影象上點的意義，特別是一些特殊點 如與座標軸的交點 轉折點 幾條曲線的交叉點 的意義。3 弄清影象所示的增 減性。4 弄清影象斜率的大小。5 看是否需要輔助線。6 看清曲線的起點位置及曲線的變化趨勢 7 先出現拐點的曲線先平衡，所處的溫度...
典型試題 物理
1.下圖所示的電路中，屬於串聯電路的是 解答試題點評 2.下列工具中，屬於省力槓桿的是 解答試題點評 3.下圖中，反映發電機工作原理的是 解答試題點評 4.岸邊的房屋和物體在水中的像看上去都是倒立的，而且水中的房子看起來比岸上的房子要暗一些。對這些現象，下列解釋正確的是 a.房子在水中的倒影是由於光...