一、知識網路
二、高考考點
1、空間直線，空間直線與平面，空間兩個平面的平行與垂直的判定或性質.其中，線面垂直是歷年高考試題涉及的內容.
2、上述平行與垂直的理論在以多面體為載體的幾何問題中的應用；求角；求距離等.其中，三垂線定理及其逆定理的應用尤為重要.
3、解答題循著先證明後計算的原則，融推理於計算之中，主要考察學生綜合運用知識的能力，其中，突出考察模型法等數學方法，注重考察轉化與化歸思想；立體問題平面化；幾何問題代數化.
三、知識要點
（一）空間直線
1、空間兩條直線的位置關係
（1）相交直線——有且僅有乙個公共點； （2）平行直線——在同乙個平面內，沒有公共點；
（3）異面直線——不同在任何乙個平面內，沒有公共點.
2、平行直線
（1）公理4（平行直線的傳遞性）：平行於同一條直線的兩條直線互相平行. 符號表示：設a,b,c為直線，
（2）空間等角定理如果乙個角的兩邊和另乙個角的兩邊分別平行且方向相同，那麼這兩個角相等.
推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那麼這兩條直線所成的銳角（或直角）相等.
3、異面直線 （1）定義：不同在任何乙個平面內的兩條直線叫做異面直線.
（2）有關概念：
（ⅰ）設直線a,b為異面直線，經過空間任意一點o作直線ａ＇，ｂ＇，並使ａ＇//a，ｂ＇//b,則把ａ＇和ｂ＇所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角.
特例：如果兩條異面直線所成角是直角，則說這兩條異面直線互相垂直.
認知：設為異面直線a，b所成的角，則 .
（ⅱ）和兩條異面直線都垂直相交的直線（存在且唯一），叫做兩條異面直線的公垂線.
（ⅲ）兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段（公垂線段）的長度，叫做兩條異面直線的距離.
（二）空間直線與平面
直線與平面的位置關係： （1）直線在平面內——直線與平面有無數個公共點；
（2）直線和平面相交——直線與平面有且僅有乙個公共點； （3）直線和平面平行——直線與平面沒有公共點.
其中，直線和平面相交或直線和平面平行統稱為直線在平面外.
1、直線與平面平行
（1）定義：如果一條直線和乙個平面沒有公共點，則說這條直線和這個平面平行，此為證明直線與平面平行的原始依據.
（2）判定判定定理：如果平面外的一條直線和這個平面內的一條直線平行，那麼這條直線和這個平面平行.
認知：應用此定理證題的三個環節：指出 .
（3）性質性質定理：如果一條直線和乙個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那麼這條直線和交線平行.
2、直線與平面垂直
（1）定義：如果直線l和平面內的任何一條直線都垂直，則說直線l和平面互相垂直，記作l⊥ .
（2）判定：
判定定理1：如果一條直線和乙個平面內的兩條相交直線都垂直，那麼這條直線垂直於這個平面.
判定定理2：如果兩條平行直線中的一條垂直於乙個平面，那麼另一條也垂直於這個平面. 符號表示： .
（3）性質
性質定理：如果兩條直線垂直於同乙個平面，那麼這兩條直線平行. 符號表示：
（4）概念
（ⅰ）點到平面的距離：從平面外一點引這個平面的垂線，則這個點和垂足間的距離叫做這個點到這個平面的距離.
（ⅱ）直線和平面的距離：當一條直線和乙個平面平行時，這條直線上任意一點到這個平面的距離，叫做這條直線和這個平面的距離.
（三）空間兩個平面
1、兩個平面的位置關係
（1）定義：如果兩個平面沒有公共點，則說這兩個平面互相平行.
（2）兩個平面的位置關係 （ⅰ）兩個平面平行——沒有公共點； （ⅱ）兩個平面相交——有一條公共直線.
2、兩個平面平行
（1）判定
判定定理1：如果乙個平面內有兩條相交直線都平行於另乙個平面，那麼這兩個平面平行.
判定定理2：（線面垂直性質定理）：垂直於同一條直線的兩個平面平行.
（2）性質
性質定理1：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那麼它們的交線平行.
性質定理2（定義的推論）：如果兩個平面平行，那麼其中乙個平面內的所有直線都平行於另乙個平面.
3、有關概念
（1）和兩個平行平面同時垂直的直線，叫做兩個平行平面的公垂線，它夾在這兩個平行平面間的部分，叫做這兩個平行平面的公垂線段.
（2）兩個平行平面的公垂線段都相等. （3）公垂線段的長度叫做兩個平行平面間的距離.
4、認知：
兩平面平行的判定定理的特徵：線面平行面面平行，或線線平行面面平行；
兩平面平行的性質定理的特徵：面面平行線面平行，或麵麵平行線線平行.
它們恰是平行範疇中同一事物的相互依存和相互貫通的正反兩個方面.
四、高考真題
（一）選擇題
1，設為兩個不同的平面，l，m為兩條不同的直線，且 ，有如下的兩個命題：
①若 ；②若那麼（ ）
a、①是真命題，②是假命題； b、①是假命題，②是真命題； c、①②都是真命題； d、①②都是假命題.
分析：這裡 . 對於①，若 ，則l，m可能平行，也可能異面；
對於②，若則可能垂直，也可能不垂直. 故應選d.
2、已知m,n是兩條不重合的直線， 是三個兩兩不重合的平面，給出下列四個命題：
① ②
③ ④若m,n是異面直線，
其中真命題是（ ）
a、①和b、①和③ c、③和d、①和④
分析： 由麵麵平行判定定理知①為真命題； 注意到垂直於同乙個平面的兩個平面不一定平行，②為假命題；
③顯然為假命題； ④由於m,n為異面直線，故可在內確立兩條相交直線與平行，因而為真命題. 故應選d.
3，設為平面，m,n,l為直線，則m⊥ 的乙個充分條件是（ ）
分析：對於選項a，由於這裡的直線m不一定在內，故不一定有m⊥ ；
對於選項b，它與m⊥ 構成的命題是：若兩個平面都和第三個平面垂直，則其中乙個平面與第三個平面的交線垂直於另乙個平面，此命題為假； 對於選項c，它與m⊥ 構成的命題是：若兩個平面都和第三個平面垂直，且直線m垂直於其中乙個平面，則m也垂直於另乙個平面，此命題亦為假命題； 排除法可知應選d.
選項d與m⊥ 構成的命題是：若直線m與兩個平行平面中的乙個平面垂直，那麼它和另乙個平面也垂直，這顯然為真命題.
4、對於不重合的兩個平面 ，給定下列條件：
①存在平面 ，使得都垂直於 ； ②存在平面 ，使得都平行於 ；
③ 內有不共線三點到的距離相等； ④存在異面直線l,m，使得 ；
其中可以判定平行的條件有（ ）
a、1個 b、2個 c、3個 d、4個
分析：對於①，垂直於同一平面的兩個平面可能相交；
對於②，由麵麵平行的傳遞性可以判定 ；對於③，當相交時， 內仍可存在不共線三點到的距離等；
對於④，在m上取定點p，經過點p在l與點p確定的平面內作l＇//l，則ｌ＇與m可確定平面 .由於於是可知，本題應選b.
（二）填空題
1、已知m,n是不同的直線， 是不重合的平面，給出下列命題：
①若 ②若
③若 ④m,n是兩條異面直線，若
上面的命題中，真命題的序號是寫出所有真命題的序號）
分析：①顯然為假命題； 對於②， 內的直線m,n不一定相交，故②亦為假命題；
對於③，由題設知 ∴③為真命題； 對於④，由前面選擇題第4題知此為真命題.
因此，答案為③、④.
2、在正方體中，過對角線的乙個平面交於e，交於f，則
①四邊形一定是平行四邊形； ②四邊形有可能是正方形；
③四邊形在底面abcd的投影一定是正方形； ④平面有可能垂直於平面
以上結論正確的為寫出所有正確結論的編號）
分析：注意到正方體的特性，由麵麵平行性質定理和 ，故四邊形為平行四邊形，①正確；在這裡，當時，平行四邊形即為矩形，且不可能為正方形，②不正確；③正確；而當平面與底面abcd（或 ）重合時有平面 ，故④正確.於是可知答案為①，③，④.
（三）解答題
1、如圖1，已知abcd是上下底面邊長分別為2和6，高為的等腰梯形，將它沿對稱軸折成直二面角，如圖2.
（1）證明： ；
（2）求二面角的大小.
分析：循著解決平面圖形摺疊問題的基本思路：
（1）認知平面圖形中有關線段的長度與聯絡；
（2）了解摺疊前後有關線段的長度或聯絡的＂變＂與＂不變＂； （3）利用＂不變＂的量與＂不變＂的關係解題.
在這裡，由圖1知， .至此（1）易證；對於（2），由（1）知 ， ，故 ，於是可利用三垂線定理構造所求二面角的平面角.
解：（1）證明：由題設知 ∴∠aob是所成的直二面角的平面角，即 ，
∴ ∴oc是ac在平面上的射影 ①
又由題設得
從而 ② ∴根據三垂線定理由①②得， .
（2）解：由（1）知 ， ， ∴
設 ，在平面aoc內過點e作ef⊥ac於f，鏈結 （三垂線定理）
由題設知，
∴ ∴
又 ∴ 即所求二面角的大小為 .
點評：利用原來平面圖形摺疊後「不變的量」與線段間不變的垂直或平行關係，推出立體圖形中 ，是證明（1）以及解答（2）的基礎與關鍵.由此可見，這類問題中認知平面圖形的重要.
2、在四面體p-abc中，已知pa=bc=6，pc=ab=10，ac=8，pb＝ .f是線段pb上一點， ，點e**段ab上，且ef⊥pb.
（1）證明：pb⊥平面cef； （2）求：二面角b-ce－f的大小.
分析：（1）要證pb⊥平面cef，只要證pb垂直於ce或cf.這一設想的實現與否，要看對有關三角形的特性的認知與把握.在這裡， ， 故易得 bc⊥平面pac，bc⊥ac等.
注意到 ， ，便得pb⊥cf，於是問題獲證.
（2）由（1）知ce⊥pb，從而ce⊥平面pab，ce⊥ab，ce⊥ef，故∠bef為所求二面角的平面角.至此，解題的難點得以突破.
解：（1）證明： ∵pa2+ac2=36+64=100=pc2 ∴△pac是以∠pac為直角的直角三角形，
同理可證：△pab是以∠pab為直角的直角三角形， △pcb是以∠pcb為直角的直角三角形。
故pa⊥平面abc 而
故cf⊥pb, 又已知ef⊥pb ∴pb⊥平面cef
（ii）由（i）知pb⊥ce，pa⊥平面abc ∴ab是pb在平面abc上的射影， 故ab⊥ce
在平面pab內，過f作ff1垂直ab交ab於f1，則ff1⊥平面abc， ef1是ef在平面abc上的射影，
∴ef⊥ec 故∠feb是二面角b—ce—f的平面角。 tan∠feb=cot∠pba=
二面角b—ce—f的大小為arctan
點評：條件求值或證明中的已知資料經常具有雙重作用，一是明確給出可用於計算或推理的量值，二是從中隱含有關各量之間的特殊聯絡.對於本題，揭露並認知有關線段的垂直關係，乃是解題取勝的關鍵環節.
3、如圖，直二面角d-ab-e中，四邊形abcd是邊長為2的正方形，ae＝eb，f為ce上的點，且bf⊥平面ace.
（1）求證：ae⊥平面bce； （2）求二面角b-ac-e的大小；
（3）求點d到平面ace的距離.
分析：（1）注意到bf⊥平面ace，故ae⊥bf.又ae⊥cb明顯，問題易證.
（2）注意到四邊形abcd為正方形，故想到鏈結bd交ac於g，若取ac中點為g，鏈結bg，則ac⊥bg.再鏈結gf，只要證gf⊥ac，便得出∠bgf為所求二面角的平面角.
（3）注意到平面ace經過線段bd的中點，故b、d兩點到平面ace的距離相等.據此，在直接畫出並求解這一距離有困難時，可轉而去求點b到平面ace的距離，或運用體積法求這一距離.
解法一：
（1） 平面ace.
∵二面角d—ab—e為直二面角，且 ， 平面abe，
（2）鏈結bd交ac於g，鏈結fg， ∵正方形abcd邊長為2，
∴bg⊥ac，bg= ， 平面ace， 由三垂線定理的逆定理得fg⊥ac.
是二面角b—ac—e的平面角. 由（ⅰ）ae⊥平面bce， ∴ae⊥eb，
又 ， ∴在等腰直角三角形aeb中，be= .
又直角 ，
∴二面角b—ac—e等於
（3）方法一：過點e作交ab於點o.，oe=1. ∵二面角d—ab—e為直二面角， ∴eo⊥平面abcd
設d到平面ace的距離為h，
平面bce， ∴點d到平面ace的距離為
方法二： ∵g為bd中點， ∴d到平面ace的距離等於b到平面ace的距離.
∵bf⊥平面ace ∴bf即為點b到平面ace的距離.
又由（2）知， ∴所求點d到平面ace的距離為 .
解法二：
（1）同解法一.
（2）以線段ab的中點為原點o，oe所在直線為x軸，ab所在直線為y軸，過o點平行於ad的直線為z軸，建立空間直角座標系o—xyz，如圖.
面bce，be 面bce， ，
在的中點，
設平面aec的乙個法向量為 ， 則即解得
令得是平面aec的乙個法向量. 又平面bac的乙個法向量為 ，
∴cos< , >= ∴二面角b—ac—e的大小為
（3）∵ad//z軸，ad=2， ∴ ， ∴點d到平面ace的距離
點評：直面點到平面的距離，當垂線段難以作出或者難以求出時，要注意適時轉化或變通。這裡（3）的解法，便給出了變通與轉化的範例.
4、如圖，在長方體中， ，ab＝2，點e在稜ab上移動. （1）證明
（2）當e為ab中點時，求點e到平面的距離；
（3）ae等於何值時，二面角的大小為 .
分析：（1）注意到這裡的不管在什麼位置，它在側面的射影總是 ，要證 ，只要證 ，問題易證. （2）注意到面積易求，想到運用「體積法」.
（3）注意到 ，故考慮運用三垂線定理構造二面角的平面角.
解法一：（1）證明：∵在長方體中， ，∴四邊形為正方形 ∴
∵ ， 為在側面上的射影. ∴ （三垂線定理）
即 .（2）設點e到平面的距離為h
由題設知在中， ∴
而又∵ ∴
∴ ∴ 由此得 ∴所求點e到平面的距離為 .
（3） ∵ ∴在平面aed內過點d作dh⊥ce於h，鏈結 ，de，則
∴ 為二面角的平面角設
在又 ∴
∴ 另一方面，
∴ 由此解得 .∴當時，二面角的大小為 .
解法二：以d為座標原點，直線da，dc，dd1分別為x,y,z軸，建立空間直角座標系，
設ae=x，則a1（1，0，1），d1（0，0，1），e（1，x，0），a（1，0，0）c（0，2，0）
（1）（2）因為e為ab的中點，則e（1，1，0）， 從而 ， ，
設平面acd1的法向量為 ，則也即 ，得 ，
從而 ， 所以點e到平面ad1c的距離為
（3）設平面d1ec的法向量 ， ∴
由令b=1, ∴c=2,a=2－x， ∴
依題意∴ （不合，捨去）， . ∴ae= 時，二面角d1—ec—d的大小為 .
點評：對於（3），設則有 .據此，一方面利用二面角的平面角 ，可用x錶出 ；另一方面，注意到ec在下底面內，又可從底面為矩形途徑用x錶出 .
進而由ec的唯一性匯出關於x的方程，通過解方程獲得問題的答案.這一解方程的思路，也是解決立體幾何問題的重要思路之一.
8 3空間點 直線 平面之間的位置關係
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考點34空間點直線平面之間的位置關係
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考點31空間點 直線 平面之間的位置關係
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