一、直線斜率的「隱性」應用
由於問題中的研究物件有著形式上、本質上相同或相似，啟發我們構造類似的數學形式，運用新數學形式的豐富內涵達到問題的解決．很多問題在結構上與斜率公式相似，啟示我們利用斜率解題．
1．用於證明不等式
例1已知、、r*，且，
求證：．
分析：觀察所證不等式的左邊，結構與斜率公式完全相似，故此式可看作點與點的連線的斜率．
解：如圖，∵，∴點在第一象限且必位於直線的下方．
又∵，∴點在第三象限且必在上，連線、，則，．
∵直線的傾斜角大於直線的傾斜角，
∴，即有．
評注：問題在結構上與斜公式相似時，可轉化思維視角，構造直線斜率解題，可取得意想不到的效果，這也是解題中思維遷移的一大技巧．
2．用於求引數的取值範圍
例2已知兩點，，直線與線段相交，求的取值範圍．
分析：已知直線是一條過定點的動直線，若與線段相交，則如圖所示直線、是其變化的邊界直線，所以只須求出直線、的斜率即可確定已知直線的斜率的變化範圍，從而得到的變化範圍．
解：如圖所示，直線：恆過定點，與線段相交，
故≤≤．
∵，，．
∴≤≤，∴≤≤．
評注：本題充分體現了數形結合思想和轉化思想的有效結合，利用圖形的直觀性可將直線與線段的相交問題轉化為求解直線斜率的變化範圍問題，這種轉化的思想和意識要在平時的練習中多加訓練．
3．用於比較大小
例3 已知函式，且，則，，的大小關係為
ab．cd．分析： 該題從特殊值和常規方法都不容易找到解題的捷徑，但仔細分析其結構具備特點，由此聯想到利用斜率進行求解．
解：作出函式的大致影象，由影象可知，曲線上各點與原點連線的斜率隨的增大而減小，因為，所以．故選b．
評注：結構特點的形式轉化，是解決此問題的一大思維突破，在此思維基礎上可聯想到利用斜率進行求解．此題提示我們，在解題中充分挖掘條件的結構特徵，進行思維轉化，可起到化難為易、化隱為顯的效果．
4．用於求最值問題
例4已知實數，滿足，當時，求的最大值與最小值．
分析：作恒等變形，它表示過兩點與的直線的斜率，即過原點的直線的斜率為，其中為點座標．
解：如圖所示，由於點滿足關係式且，可知點**段上移動，並且兩點、的座標可分別求得為、．
由於的幾何意義是直線的斜率且，．
所以可求得的最大值為，最小值為．
評注：式子的幾何意義是過點與點的直線的斜率，這一技巧經常用到，要牢記．數形結合是數學中常用的思想方法，不僅會給解題帶來極大的方便，而且有利於提高思維能力和綜合運用能力．
5．用於求點共線問題
例5如果三點，，在同一條直線上，確定常數的值．
分析：如果三點、、在同一條直線上，則直線的斜率與直線的斜率相等或都不存在．
解：由於三點、、所在直線不可能垂直於軸，因此設直線、的斜率為、．
由斜率公式得
，．∵、、在同一條直線上，∴
∴，即．
解得或．
評注：三點共線的潛在結論為：每兩點所在的斜率相等或斜率都不存在，所以遇見三線共點問題，可直接從直線斜率入手．
二、直線方程的多方位應用
我們知道直線方程的表示形式有點斜式、斜截式、兩點式、截距式、一般式，斜截式是點斜式的特例，截距式是兩點式的特例，而點斜式、兩點式又都可以轉化為一般式．在具體應用時，我們要清楚它們得來的過程及相互聯絡，以及每個表示式的特點和使用條件．如最常見的點斜式，當斜率不存在時，就不能用此形式，這時可設直線方程為．因此，我們應根據題目所給定的條件和要解決的問題，分析其特點尋找適合簡單的直線方程的形式．
1．巧設直線方程求三角形面積的最值問題
例6過點作直線，分別交軸、軸的正半軸於點，，若的面積最小，試求直線的方程．
分析:設出直線的點斜式方程，分別求出它在軸、軸的正半軸上的截距，將的面積表示為的函式，通過求該函式的最小值確定出相應的值．
解法一:設直線的方程為，
令，得，故，
令，得，故，
由題意知，，所以，
∴的面積，
由均值不等式得，．當且僅當，即時等號成立．
所以，直線的方程為，即．
解法二：設所求直線的方程為．
∵直線過點，∴．∴，解得．
∴，當且僅當時取等號．即，時有最小值，此時直線方程為．
評注：直線是解析幾何中基本的元素，而直線方程是解析幾何中常見和最基礎的知識，選用合適和簡單的形式求直線方程不僅能簡化解題過程，更重要的是在掌握基礎的同時提高分析和比較能力，培養全面、合理去尋找解決問題的品質．
2．巧設直線方程求線段中點等座標表示問題
例7過點的直線分別與兩座標軸交於，兩點，若為的中點，求直線的方程．
分析：設出直線的點斜式方程，求出直線與座標軸交點的座標，再根據中點座標公式可求出直線的斜率．
解：由題意知直線的斜率存在且不為零，設為，
則直線的方程為，即．
令，得，即．
令，得，即．
又點為線段的中點，∴，，得．
即所求直線方程為，即．
評注：斜率存在是利用點斜式求直線方程的前提條件，如未知時就應分別討論．
3．巧用直線的點斜式解直線系恆過定點問題
例8求證：不論為何實數，直線都通過一定點．
分析：將方程整理成點斜式，由點斜式判斷直線過定點，根據該定點可使問題獲解．
解：當時，將直線的方程化為，直線過定點；
當時，直線方程為，仍過點．
∴不論為何實數，直線都通過一定點．
評注：方程為過定點的直線系方程．由於直線的斜截式是點斜式的特殊形式，所以將斜截式變形為點斜式易做到，斜截式方程的優點是易看出直線的斜率與在軸上的截距，而點斜式的優點是易看出直線所經過的定點．
本題亦可取的兩個特殊值，確定出不同值下的兩直線的交點來，然後再證明該點適合直線方程即可，這種做法更能體現探索性問題中由特殊到一般的解題的思路．還可將直線方程與一次方程聯絡等措施進行處理．因此，解決此類直線系問題還可以用以下幾種方法：
方法二：賦值法
分析：因為不論取何值時，直線均通過一定點，所以可以通過取不同的兩個值，先找到乙個定點，然後證明此定點在直線上．
證明：取時，得到直線
取時，得到直線
故與的交點為
將點代入直線得
故點在直線上，
所以直線恆過一定點．
評注：利用賦值法求解時，不失一般性，可賦予引數兩個特殊值，利用方程組求解，此時的解即為定點的座標．同時利用賦值法可達到以解代證的目的．
方法三：分離引數法
分析：可利用過兩條直線，的交點的直線系方程為：（除外）．
證明：∵
∴則直線都通過直線與的交點．
由方程組，解得．
故直線恆過一定點．
評注：分離引數法在很多題型中都適用，在直線系中也能奏效．分離引數後的特殊結構特徵可將問題轉化為直線交點問題，也體現出了轉化法在解題中的特殊功效．
方法四：遷移思維法
分析：可將思維遷移到利用關於的一元一次方程的解的問題上，若的解r，則．
證明：∵，
∴．因為任意實數，故關於的一元方程的解集為r．，
∴解得，．
所以直線恆過一定點．
評注：思維遷移法的應用，可從一種思維轉移到另一種思維，常能將問題化隱性為顯性、化複雜為簡單、化未知為已知，在解題中要注意思維遷移的應用策略．
4．巧用斜截式中的截距求最值問題
例9已知，，，點在的邊界及內部運動，求的最大值和最小值．
分析：由，得，這是一組表示斜率為的直線系，要求的最值，其實質是求直線截距的最值．
解：∵，∴．從而當在圍成的區域內及邊界運動時，求的最大值和最小值可轉化為求當直線穿過所在區域時，它在軸上的截距的最大值和最小值，由圖知，當直線過點時，它在軸上的截距最大；當直線過點時，它在軸上的截距最小．
∴所求的最大值為，最小值為．
評注：本題將轉化為，將和截距結合起來，本題的創新之處就在於此．
5．巧將直線方程與一次函式互化解有關取值範圍問題
例10已知直線，（1）若時，恆成立，求的取值範圍；（2）若時，恒有，求的取值範圍．
分析：（1）可由直線過定點，根據數形結合求解；（2）可以將方程看成以為主元的一次函式，借助函式的思想求解．
解：（1）令，時，，只需
∴ ∴．
（2）令，將看成的一次函式，時，．
∴．評注：將方程與函式互相轉化研究是我們學習一種數學思想，在解題中應用相當廣泛．
6．巧將二次方程進行一次化處理
例12已知關於，的二次方程表示兩條直線，求這兩條直線的方程．
分析：將二次方程左邊因式分解即可，可用待定係數法求解．
解：設．
由多項式對應係數相等，可得
∴即方程表示直線和．
評注：本題應用待定係數法，其關鍵是會對多項式進行初步的因式分解．
《直線方程的概念與直線的斜率》教學設計
教學目標 知識與技能目標 1 了解直線的方程和方程的直線的概念.2 理解掌握直線的傾斜角 斜率的概念和過兩點直線的斜率公式.3 掌握直線的傾斜角和斜率的相互關係.過程與方法目標 1 引導學生進行數學閱讀，激發學生閱讀的動機和興趣，指導學生掌握數學閱讀的方法，循序漸進，使學生從願讀轉變到會讀，最後上公...
藝體生直線斜率及方程
知識體系 1.傾斜角與斜率 一.直線的傾斜角與斜率 2.三點共線問題 1 求各種形式的直線方程 或 2.直線方程的幾種形式 2.與座標軸圍成三角形的面積 3.恆過定點問題 1.兩直線平行 3.直線與直線的位置關係 2.兩直線垂直 4.點到直線的距離公式 5 有關對稱的問題 一 直線的傾斜角和斜率 1...
2 1 1直線的斜率 1
2.1.1 直線的斜率 1 教學目標 1 理解直線的斜率的概念，掌握過兩點的直線的斜率公式 2 使學生初步感受直線的方向與直線的斜率之間的對應關係，從而體會到要研究直線的方向的變化規律，只要研究直線斜率的變化規律 教學重點 過兩點的直線的斜率公式的運用 教學方法 合作交流法 教學過程 一 問題情境 ...