第六章總體引數估計
統計中的很多問題都涉及到根據樣本來估計其總體的引數。如某地區體育主管人希望估計一下本地區兒童、青少年對某項運動可能「達標」的平均人數；又如某教練員需要了解一下新的訓練手段實施以後，運動員的成績或身體素質可能出現的波動性等。這些都可以用樣本來估計總體的方法。
獲得滿意的結果。本章主要介紹的是有了總體的乙個樣本的均值和標準差後，如何去估計該總體均值的方法。
第一節 t 分布
如果從乙個總體中隨機抽取出若干個樣本，當每個樣本的含量相當多時，不管其總體的分布如何，其樣本平均數的分布形式是正態分佈。當抽取的樣本含量較少（一般不超過30）時，其樣本的平均數分布具有的特殊形式稱為t 分布。
t分布的特點可以通過t分布與正態分佈的比較來加以說明。
一、t分布分布與正態分佈相類似處在於：平均數字於**，曲線兩側關於縱軸（t = 0）是對稱的，從**向兩側逐漸降低，尾部無限延長，但永遠不與橫軸相交。曲線下的總面積為1。
二、正態曲線的形式不隨總體含量（n）的大小而有所改變，而t分布曲線卻是一簇曲線，它的形式隨著樣本含量（n）的大小而不同，n愈小，分布的離散程度也愈大。
三、隨著樣本含量的加大，t分布逐漸與正態分佈接近。當n趨於無窮大時，t分布曲線與正態分佈曲線重合，所以也可以說正態分佈曲線是t分布曲線的極限。（圖6 — 1）
圖6—1 t分布與正態分佈的比較
t分布是另乙個重要的連續型隨機變數分布，可以求出t落在任意區間 [ a , b ] 內的概率，其值等於t落在 [ a , b ] 內的面積。這個面積可通過t分布表查得。
第二節 t值表
t值表見書後附表2，它給出了各種不同自由度下，不同顯著性水平量t的臨界值。查t值表時應注意以下幾點：
一、表中左側第一列的數值是自由度，它的值為= n －1。隨著值的不同，t分布曲線的形式也是呈現不同的態勢。每一橫行的資料，屬於一條t分布曲線。
最下面一行= ∞，t分布曲線與正態分佈曲線重合，因此t分布表中這一行的資料與正態分佈表中的值完全相同。
二、表中頂端一行是顯著性水平的值。它的值等於分布圖中位於兩尾部面積之和，單側尾部面積為，如（圖6 — 2）所示。
圖6—2 t值及其所對應的概率（ p =）
體育統計常用的顯著性水平是= 0. 05 或 0. 01。
在引數估計中，顯著性水平的意義是用概率值來刻劃以樣本統計量估計總體引數的可靠程度。如= 0. 05，是說由偶然因素造成的推估錯誤等於5%，也即是估計得到的總體引數的可靠性為95%。
三、表中的數值是代表t分布圖中單側尾部面積為時，所對應的臨界限值，如（圖6 — 2）所示。t 值的計算公式如下6 — 1）
由於，故上式可寫成：
6 — 2）
為總體的標準誤，對於它的概念，將在下節中詳細介紹。
第三節標準誤
標準誤是指樣本分佈的標準差。它是乙個可以廣泛應用的概念，凡由乙個樣本的方差推算出總體統計引數的估計值時，都需要計算標準誤。例如平均數的標準誤（），比例數（或率）的標準誤s比 （或sp）。
在用樣本統計量估計總體引數時，標準誤是這種估計的可靠性的指標。下面給出計算平均數的標準誤和比例數的標準誤公式：
6 — 3）
s比6 — 4）
式中： —— 總體標準差；
n —— 樣本含量；
s比—— 樣本比例數的標準誤；
p —— 由樣本計算得到的所關心的事件的比例；
q = 1 － p 。
標準誤與標準差雖然都是反映離散程度的指標，但兩者從意義、描述的物件以及應用上是有區別的，不能混淆，分別詳述如下：
一、從意義上講，標準差是隨著樣本含量的增加而趨於穩定。而標準誤則不同，由公式（6 — 3）、（6 — 4）可知，標準誤與樣本含量n 的平方根成反比，即隨著樣本含量的增加而減小的。在實際工作中總希望標準誤愈小愈好，故必須設法合理地增加樣本的含量。
二、從兩者所描述的物件來看，標準差的描述變數的實數值變異的大小，即觀測值系列的離散程度。凡同質的資料，標準差大，表示個體變異大；標準差小，表示個體變異小。而標準誤是樣本分佈的標準差，它所描述的是樣本統計量的抽樣誤差的大小，即樣本統計量的離散程度。
凡同質的資料，標準誤大，說明用樣本統計量估計總體引數的可靠性小；標準誤小，說明同樣本統計量估計總體引數的可靠性大。
三、從用途上來說，標準差是用以判斷某乙個隨機變數值是否在正常範圍（如）；而標準誤則是用來估計引數所在範圍。標準差用於計算標準誤和離差係數；而標準誤可用來進行統計引數的顯著性檢驗。
第四節總體平均數的區間估計
一、當總體方差（）已知時，總體均值的區間估計
在本章的第一節中已指出：從總體中抽出若干個樣本，當樣本的含量相當多時，不管其總體的分布如何，其樣本均數的分布形式是呈正態分佈。根據正態分佈的規律可知，有95%的樣本均數（）是包括在的範圍內。
即是說從該總體中隨意抽出乙個樣本並算得均數（），而這個均數（）落在下面範圍內
－ 1. 96 ≤≤＋ 1. 96 （5 — 5）
的概率為95%。
我們的目的是用樣本均數（）去估計總體均值所在區間。由式（6—5）推得的區間為：
－ 1. 96 ≤≤＋1. 96 （6 — 6）
簡記為。這一區間覆蓋總體均值（）的可靠性為95%。
同理，也可以推導出總體均值的概率為99 % 的估計區間為：。
例 6 — 1 從長期的觀測中知道，城市7歲小學男生的坐高指數（即坐高 / 身高×100）可以認為是服從正態分佈的。現從某地區隨機抽取6名城市7歲小學男生測量後，求得坐高指數分別是：56.
4, 55. 0, 53. 9, 57.
3, 54. 8, 52. 4。
如果已知該地區城市7歲小學男生坐高指數的方差是 1. 112，試找出該地區城市7歲小學男生坐高指數均值的概率為95%的估計區間。
解：由題意知= 1. 11。根據樣本值計算
55按（6 — 2）式計算得
根據（6 — 6）式，可以認為該地區城市七歲小學男生坐高指數均值有95% 的可能性是在如下區間裡 [ 55－0. 88， 55＋0. 88 ] 。
二、當總體方差（）未知時，總體均值的區間估計
在實際工作中，常只能抽取乙個樣本，並不知道和的值。但當樣本含量相當大時，一般就用樣本標準差（s）代替總體的標準差（）來計算的估計值。即
6 — 7）
於是用大樣本的平均數、標準差推算總體均值的概率為95%的估計區間為：
－ 1. 96 ≤≤＋1. 96 （6 — 8）
簡記為1. 96。
同理，也可推導得總體均值的概率為99%的估計區間為 : 2. 58 。
例 6 — 2 假定10歲男孩的體重服從正態分佈的。從某地區10歲男孩隨機抽取126名，測體重，算得= 32. 3千克，s = 6.
5千克。試求出該地區10歲男孩平均體重的概率為95%的估計區間。
解：按（6 — 7）式有= =≈ 0. 58（千克），再由（6 — 8）式得概率為95%的估計區間 [ 32.
3－1. 14， 32. 3＋1.
14 ] 。故該地區10歲男孩體重的均值有95%的可能性在 31. 2 — 33.
4 千克之間。
當樣本含量較少時，即所謂小樣本（一般來說指樣本的含量小於30）。這時樣本的統計量t不服從正態分佈，而服從自由度為 = n － 1 的t分布。根據分布曲線的性質知t分布曲線下的面積有95%位於 －t 0.
025 與 t 0.025 之間，即
－t 0. 025 () ≤ t ≤ t 0. 025 ()
於式（6 — 1）中以代替，並將其代入上式後得：
－t 0. 025 ()≤≤＋ t 0. 025 () （6 — 9）
即總體均值落在上述區間的概率為95%。（圖6—3）。
圖6 — 3 t值及其據點對應的概率（）
同理得總體均值落在下列區間
－t 0. 005 ()≤≤＋t 0. 005() （6 — 10）
的概率為99%。這就是用小樣本值（）推算總體均值（）的區間估計方法。
例 6 — 3 已知20名10歲男孩立定跳遠成績的均值為1. 65公尺，標準差為0. 20公尺，試求出其總體均值的95%及99%的估計區間。
解：假定總體是正態分佈的。已知= 1.
65公尺，s = 0. 20公尺， = 20－1 = 19，查t值 t 0. 025(19) = 2.
093 ; t 0. 005(19) = 2. 861 按 （6 — 9）式計算得95%的估計區間：
t 0. 025 (19) = t 0. 025 (19)
1. 65 2. 093 ×
1. 65 0. 09（公尺）
按（6 — 9）式計算得99%的估計區間：
t 0. 005 (19) = t 0. 005 (19)
1. 65 2. 861 ×
1. 65 0. 13（公尺）
故總體均值的概率為95%的估計區間為1. 56 — 1. 74公尺；概率為99% 的估計區間1. 52 — 1. 78公尺。
第五節總體比例數的區間估計
在體育教學和科研中，有些結果資料只能以比例或百分比來表示，如籃球運動員投籃的命中率；體操運動員完成動作的成功率等。當由乙個樣本獲得某一比例數（p）時，如何用這一比例數去估計總體在這方面的比例數（π）呢？
統計學研究結果表明：當樣本含量（n）相當大（一般要求n ＞50），且 n p及n (1－p)均大於5時，樣本比例數近似服從正態分佈。因此，可利用正態分佈曲線下面的分布規律來計算用樣本比例數推算總體比例數的估計區間。
第六章第六章財務計畫
6.1 資金 投資比例餅圖 希吉雅食品責任 成立初期，準備籌集資金100萬元。發起人自投60萬元，申請大學生創業貸款30萬元,10萬元尋求投資，企業固定資產作投資160萬元，向銀行貸款100萬元。共計註冊資本360萬元。投資比例如圖所示 圖8 1 投資比例 創業自籌資金由創業者個人以其個人名義籌集的...
第六章經濟學
第六章勞動關係輔導練習 一 選擇題 一 單選題 每題均有四個備選項，只有乙個選項是正確的 1 勞動合同可以約定試用期，試用期的期限 a 最長不得超過六個月 b按合同期限的1 12確定 c.平等協商確定 d.按合同期限的一定比例確定 2 在現代市場經濟條件下，人力資源的配置是通過 實現的。a 雇主的選...
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