第三章數列
四數列綜合應用
【考點闡述】
數列綜合應用
【考試要求】
（4）運用等差數列、等比數列及求和知識解決數列綜合問題。
【考題分類】
（一）選擇題（共2題）
1.（湖北卷文7）已知等比數列{}中，各項都是正數，且，成等差數列，則
abcd
【答案】c
2.（江西卷理5）等比數列中，，=4，函式，則（ ）
abcd.
【答案】c
【解析】考查多項式函式的導數公式，重點考查學生創新意識，綜合與靈活地應用所學的數學知識、思想和方法。考慮到求導中，含有x項均取0，則只與函式的一次項有關；得：。
（二）填空題（共1題）
1.（遼寧卷理16）已知數列滿足則的最小值為
（三）解答題（共14題）
1.（安徽卷文21）設是座標平面上的一列圓，它們的圓心都在軸的正半軸上，且都與直線相切，對每乙個正整數,圓都與圓相互外切，以表示的半徑，已知為遞增數列.
(ⅰ)證明：為等比數列；
（ⅱ）設，求數列的前項和.
【命題意圖】本題考查等比列的基本知識，利用錯位相減法求和等基本方法，考察抽象概括能力以及推理論證能力.
【解題指導】（1）求直線傾斜角的正弦，設的圓心為，得，同理得，結合兩圓相切得圓心距與半徑間的關係，得兩圓半徑之間的關係，即中與的關係，證明為等比數列；（2）利用（1）的結論求的通項公式，代入數列，然後用錯位相減法求和.
【方法技巧】對於數列與幾何圖形相結合的問題，通常利用幾何知識，並結合圖形，得出關於數列相鄰項與之間的關係，然後根據這個遞推關係，結合所求內容變形，得出通項公式或其他所求結論.對於數列求和問題，若數列的通項公式由等差與等比數列的積構成的數列時，通常是利用前n項和乘以公比，然後錯位相減解決.
2.（福建卷文17）數列{} 中＝，前n項和滿足-＝ （n）.
( i ) 求數列{}的通項公式以及前n項和；
（ii）若s1, t ( s1+s2 ), 3( s2+s3 ) 成等差數列，求實數t的值。
3.（湖北卷文19）已知某地今年年初擁有居民住房的總面積為a（單位：m2），其中有部分舊住房需要拆除。
當地有關部門決定每年以當年年初住房面積的10%建設新住房，同事也拆除面積為b（單位：m2）的舊住房。
（ⅰ）分別寫出第一年末和第二年末的實際住房面積的表示式：
（ⅱ）如果第五年末該地的住房面積正好比今年年初的住房面積增加了30%，則每年拆除的舊住房面積b是多少？（計算時取1.15=1.6）
4.（湖南卷文20）給出下面的數表序列：
其中表n（n=1,2,3 ）有n行，第1行的n個數是1,3,5，2n-1，從第2行起，每行中的每個數都等於它肩上的兩數之和。
（i）寫出表4，驗證表4各行中數的平均數按從上到下的順序構成等比數列，並將結論推廣到表n（n≥3）（不要求證明）；
（ii）每個數列中最後一行都只有乙個數，它們構成數列1,4,12，記此數列為求和：
5.（江蘇卷19）設各項均為正數的數列的前n項和為，已知，數列是公差為的等差數列。
（1）求數列的通項公式（用表示）；
（2）設為實數，對滿足的任意正整數，不等式都成立。求證：的最大值為。
[解析] 本小題主要考查等差數列的通項、求和以及基本不等式等有關知識，考查探索、分析及論證的能力。滿分16分。
（1）由題意知：，
，化簡，得：
，當時，，適合情形。
故所求（2）（方法一）
， 恆成立。
又，，故，即的最大值為。
（方法二）由及，得，。
於是，對滿足題設的，，有
。所以的最大值。
另一方面，任取實數。設為偶數，令，則符合條件，且。
於是，只要，即當時，。
所以滿足條件的，從而。
因此的最大值為。
6.（江西卷理22）證明以下命題：
對任一正整a,都存在整數b,c(b存在無窮多個互不相似的三角形△，其邊長為正整數且成等差數列。
【解析】作為壓軸題，考查數學綜合分析問題的能力以及創新能力。
（1）考慮到結構要證，；類似勾股數進行拼湊。
證明：考慮到結構特徵，取特值滿足等差數列，只需取b=5a，c=7a，對一切正整數a均能成立。
結合第一問的特徵，將等差數列分解，通過乙個可做多種結構分解的因式說明構成三角形，再證明互不相似，且無窮。
證明：當成等差數列，則，
分解得：
選取關於n的乙個多項式，做兩種途徑的分解
對比目標式，構造，由第一問結論得，等差數列成立，
考察三角形邊長關係，可構成三角形的三邊。
下證互不相似。
任取正整數m，n，若△m，△相似：則三邊對應成比例，
由比例的性質得：，與約定不同的值矛盾，故互不相似。
7.（江西卷文22）正實數數列中,,且成等差數列.
(1) 證明數列中有無窮多項為無理數；
(2)當為何值時，為整數，並求出使的所有整數項的和.
證明：（1）由已知有：，從而，
方法一：取，則（）
用反證法證明這些都是無理數.
假設為有理數，則必為正整數，且，
故.,與矛盾，
所以（）都是無理數，即數列中有無窮多項為無理數;
方法二：因為，當的末位數字是時，的末位數字是和，它不是整數的平方，也不是既約分數的平方，故此時不是有理數，因這種有無窮多，故這種無理項也有無窮多．
(2) 要使為整數，由可知：
同為偶數，且其中乙個必為3的倍數，所以有或
當時，有（）
又必為偶數，所以（）滿足
即（）時，為整數；
同理有（）
也滿足，即（）時，為整數；
顯然和（）是數列中的不同項；
所以當（）和（）時，為整數；
由（）有，
由（）有.
設中滿足的所有整數項的和為，則
8.（全國ⅰ新卷理17）設數列滿足
求數列的通項公式；
令，求數列的前n項和
解：（ⅰ）由已知，當n≥1時，。而
所以數列{}的通項公式為。
（ⅱ）由知
①從而 ②
①-②得
。即9. （上海卷理20）已知數列的前項和為，且，
（1）證明：是等比數列；
（2）求數列的通項公式，並求出n為何值時，取得最小值，並說明理由。
解析：(1) 當n1時，a114；當n≥2時，ansnsn15an5an11，所以，
又a1115≠0，所以數列是等比數列；
(2) 由(1)知：，得，從而(nn*)；解不等式sn10. （上海卷文21）已知數列的前項和為，且，
(1)證明：是等比數列；
(2)求數列的通項公式，並求出使得成立的最小正整數.
解析：(1) 當n1時，a114；當n≥2時，ansnsn15an5an11，所以，
又a1115≠0，所以數列是等比數列；
(2) 由(1)知：，得，從而(nn*)；
由sn1>sn，得，，最小正整數n15．
12. （天津卷理22）在數列中，，且對任意，成等差數列，其公差為。
(ⅰ)若=2k，證明成等比數列（）；
(ⅱ)若對任意，成等比數列，其公比為.
（i）設1.證明是等差數列；
(ii)若，證明
【命題意圖】本小題主要考查等差數列的定義及通項公式，前n項和公式、等比數列的定義、數列求和等基礎知識，考查運算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法。
【解析】（ⅰ）證明：由題設，可得。所以=
=2k(k+1)
由=0，得
於是。所以成等比數列。
（ⅱ）證法一：（i）證明：由成等差數列，及成等比數列，得
當≠1時，可知≠1，k
從而所以是等差數列，公差為1。
（ⅱ）證明：，，可得，從而=1.由（ⅰ）有
所以因此，
以下分兩種情況進行討論：
當n為偶數時，設n=2m()
若m=1,則.
若m≥2，則+所以
(2)當n為奇數時，設n=2m+1（）
所以從而···
綜合（1）（2）可知，對任意,,有
證法二：（i）證明：由題設，可得
所以由可知。可得，
所以是等差數列，公差為1。
（ii）證明：因為所以。
所以，從而，。於是，由（i）可知所以是公差為1的等差數列。由等差數列的通項公式可得= ，故。
從而。所以，由，可得
。於是，由（i）可知
以下同證法一。
13. （天津卷文22）在數列中，=0，且對任意k，成等差數列，其公差為2k.
（ⅰ）證明成等比數列；
（ⅱ）求數列的通項公式；
（ⅲ）記，證明.
【命題意圖】本小題主要考查等差數列的定義及前n項和公式、等比數列的定義、數列求和等基礎知識，考查運算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法。
【解析】（i）證明：由題設可知，，，，，
。從而，所以，，成等比數列。
（ii）解：由題設可得
所以由，得 ，從而.
所以數列的通項公式為或寫為，。
（iii）證明：由（ii）可知，，
以下分兩種情況進行討論：
當n為偶數時，設n=2m
若，則，
若，則.
所以，從而
當n為奇數時，設。
所以，從而
綜合（1）和（2）可知，對任意有
14. （上海春捲23）已知首項為的數列滿足（為常數）。
（1）若對於任意的，有對於任意的都成立，求的值；
（2）當時，若，數列是遞增數列還是遞減數列？請說明理由；
（3）當確定後，數列由其首項確定，當時，通過對數列的**，寫出「是有窮數列」的乙個真命題（不必證明）。
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