桂林市第十七中學王嶸
指導教師桂林師專數學系蔣曉雲
一． 教學目標
1. 知識方面
使學生理解斐波那契數列，掌握斐波那契數列通項公式的求法，能應用斐波那契數列解決日常生活中的一些問題。
2. 能力方面
培養學生的觀察能力、**發現的能力、解決實際問題的能力、審美意識。
3. 品質素養方面
使學生體會，數學**於生活的大眾數學思想；通過主動**，培養學生的認知力、觀察力、想象力、注意力、記憶力和獨創的實踐力。
二． 重點難點
重點：斐波那契數列、斐波那契數列的應用。
難點：斐波那契數列通項公式的求法、將實際問題轉化為數學問題。
三． 教學手段
多**輔助教學
四． 教學過程
（一）提出問題
今天這節課我們來看乙個有趣的問題，它最初是由一名義大利數學家在十三世紀初提出的：兔子出生兩個月後就能生小兔，若每次不多不少恰好生一對（一雌一雄），假如養了初生的小兔一對，試問第八個月共有多少對兔子（若生下的小兔都不死的話）？
（二）分析問題
１．先讓學生自由討論，教師再輔以課件分析：
第乙個月：只有一對小兔
第二個月：小兔未長成不會生殖，仍然只有一對。
第三個月：這對兔子生了一對小兔，這時共有兩對。
第四個月：老兔又生了一對小兔，而上月出生的小兔還未成熟，這時共三對。
第五個月：這時已有兩對兔子有生殖（原來的老兔和第三個月出生的小兔）於是生了兩對小兔，這時共五對兔子。
……如此推算下去，我們不難得出下面結果：
第八個月共21對兔子
2．如果我們把上表中下面一列數用表示，下標表示月份數，則有：
它給我們數列的形象，由於這個問題是由義大利數學家斐波那契提出的，故這個數列被稱為斐波那契數列，稱為斐波那契數，我們這節課就來研究這個有趣的數列問題（板書課題）。
3．還是回到生小兔問題，假如問一年後有多少對兔子？一年半後？兩年後？
顯然繼續用這種方法來推算，似乎有些「笨」，而且越往後越使人覺得複雜，有無簡單的辦法推算？提示學生觀察數列的項的關係？
4．學生討論得出該數列中各項有如下遞推關係：
鼓勵學生的同時，提出：在當時，這個簡單的遞推關係卻是在斐氏死後近四百年後由一名叫奇拉特的數學家發現的。其實這個式子並不難理解。
試想：第個月時的兔子可分為兩類：一類是第個月時的兔子，另一類是當月新出生的兔子，而這些兔子數恰好為第個月時的兔子數（它們到第個月時均可生殖）。
由於這一發現，生小兔問題引起人們的極大興趣，最重要的是計算這列數給我們帶來一定的方便。我們可以輕而易舉地計算一年後，一年半後……的兔子對數。
5．但是不是有了遞推關係，就能滿足我們的需要了呢？若要計算兩年，三年以後的兔子數，我們不得不要了解它前面兩項的兔子對數。而要用遞推關係，又出現了繁瑣，這時我們迫切地想知道：
若已知月份數，能夠馬上計算出兔子對數嗎？這又引起了另乙個問題——斐波那契數列的通項是什麼？
6．由學生先**，教師再分析：
這並不是我們熟悉的等差或等比數列，但能否採用化歸的思想，將其轉化為我們熟悉的數列來解決呢？
設 (p≠0,n≥3) ①
則{是以p為公比,首項為的等比數列.
有 ②
又由①有
有 代入②得
③×④×得
教師繼續指出：在當時，由十三世紀初裴氏提出問題開始，到十八世紀初，棣莫佛在其所著的《分析集錦》中才第一次給出以上通項表示式，從此人們對裴氏數列的研究活動蓬勃發展，很多數學家，如法國數學家拉姆，魯卡斯等都利用這一通項表示式得出裴氏數列的很多重要性質。美國還在2023年創刊了《裴波那契季刊》專門研究該數列。
雖然由於我們現有數學知識的限制無法深刻體會它的重要性質，但至少我們可以感受到的是這是繼其遞推關係後又一耐人尋味的等式：等式左邊是正整數，而式子右邊是由無理數來表達的。有了它，我們就可以計算出前面的生小兔問題。
（三）斐氏數列的應用
斐波那契數列不只是在生小兔問題中才會遇到，它也能出現在自然界、生活中……
1．樹枝生長問題：
（1） 波蘭數學函史坦因豪斯在其名著《數學萬花筒》中有這樣乙個問題：一棵樹一年後長出一條新枝，新枝隔一年後成為老枝，老枝便可每年長出一條新枝，如此下去，十年後樹枝將有多少？
（2） 由學生回答，教師指出：這個問題只是斐波那契數列問題的變化而已，即樹枝的繁衍方式是按斐波那契數列增加的。
2．上樓方式問題：
上樓梯時，若允許每次跨一級或兩級，那麼對於樓梯數為、、、。。。時上樓的方式數各是多少？
學生回答後，教師分析：樓梯數為時的上樓方式可分為兩類：一類是首次跨一級時，此時方式數為，另一類是首次跨兩級時，此時方式數有，所以
３．蜜蜂進蜂房問題：
（1） 一次蜜蜂從蜂房a出發，想爬到、、……、n號蜂房，但只允許它自左向右（不許反方向倒走）。則它爬到各號蜂房的路線數各是多少？
（2） 學生**，老師再分析：
4．街頭叫賣聲與裴氏數列
（1） 大家也許常在街頭聽到諸如「清倉大處理，每樣商品只賣2元」的叫賣聲，這個聲音不是人直接叫喊的，而是用錄音機**的，長時間地反覆地**同一句話，這是怎樣操作的呢？
（2） 學生回答具體錄音操作需兩台錄音機，相互之間反覆播音和錄音，當一台播音時，另一台同時開始錄音。如此反覆進行。
（3） 設第n步中，總錄入的聲音遍數記為，師生共同分析出，，， 這也是裴波那契數列。
（4） 更進一步，若吆喝一遍叫賣聲，連同中間停頓共需10秒，則錄製一盒時間長為1小時的磁帶只需操作幾步？
學生**，而後師生分析：
法一：用通項公式：
因 1小時＝3600秒，則u≥＝3601）
所以≥360
即≥360
設＝a ，則a－≥3602）
1 當n為奇數，由（2）得 a＋≥360 ，即－360a＋1≥0
解得a≥180＋ 或 a≤180－
即≥180＋ 或 ≤180
兩邊取對數： 解得n≥13.90 所以最小奇數為 15
2 當n為偶數，由（2）得 a－≥360 ，即－360a－1≥0
解得 n≥13.91 最小偶數為 14
綜合 ① ② ，最小整數 n＝14 ，即只要按上面步驟連續操作 14 次，就可錄製一盒時間長 1 小時的磁帶。
法二：用遞推公式：
我們也可用遞推公式，連加得， ，。 取最小正整數n為14
（四）課堂小結：
本節課我們認識了一類美妙的數列，但由於時間和我們現有知識儲備的限制，使我們對它的學習也僅僅停留在粗淺階段。大家有興趣的話，希望能隨著學習的深入來逐步認識它，如它的通項公式唯一嗎？它有什麼性質？
注意到通項公式中有一重要數 ，這又說明斐氏數列於**比（分割）有什麼關係？……斐波那契數列涉及的知識極為廣博，建議大家通過查詢資料來了解更多知識，當然這節課的意義遠不在於此，數學知識**於生活，只要我們細心觀察，就會發現數學的美妙。
附：板書設計
課題：斐波那契數列
一、 定義：{……
二、 遞推關係：
三、 通項公式：
【教學反思】
1、 生兔子問題激發了學生的好奇心和強烈的求知慾望，學生在研究每個月的兔子對數中得出斐波那契數列，體驗了成功的喜悅。
2、 通過觀察、比較、歸納、交流，學生發現了斐氏數列的遞推關係。
3、 通過師生互動共同**得出斐氏數列的通項公式。
4、 斐氏數列應用非常廣泛，而要應用它來解決生活中的數學問題，關鍵是要善於將這些實際問題轉化成數學問題，教師與學生一起學習了樹枝生長問題、上樓方式問題、蜜蜂進蜂房問題、聲音錄製問題，對每個問題都注意引導學生完成這種轉化，讓學生學會這種轉化的數學思想，為他們的終身學習打下基礎。
5、 通過對網上資源的介紹，擴大的學生的視野，將問題延伸到課外。
【導師評語】
本節課教師從學生的生活經驗和已有的知識背景出發，向他們提供了充分地從事數學活動和交流的機會，在分析和解決生兔子問題、樹枝生長問題、上樓方式問題、蜜蜂進蜂房問題、聲音錄製問題時，學生表現出極大的熱情和興趣，充分展示他們的聰明才智，這有利於促使他們在自主探索的過程中真正理解和掌握基本的數學知識技能，數學思想和方法，同時獲得廣泛的數學活動經驗，體現了《課程標準》倡導的自主探索、合作交流與實踐創新的數學學習方式。
教材即課程、教師即課程、學生即課程、環境即課程。伴隨著新的課程理念，教師創造性地選用斐波那契數列問題作為教學內容。教學內容呈現以「問題情境—建立模型—數學求解—解釋—應用與拓展」的基本模式展開，培養學生用數學建模的思想解決實際問題的能力。
現代教育技術運用得當，多**課件向學生提供豐富多彩的教學內容，創設良好的問題情景，拓寬了學生的視野，使教學內容形象化，生活化，激發學生的學習興趣，增進學生對數學的理解，最終提高了數學教學的質量。教師利用網上**的豐富的教育資源，鼓勵學生**，激發學生求知慾望。
如果教師能象使用粉筆、黑板、三角板、圓規、直尺等教具一樣使用計算機來輔助完成教學任務，通過數學實驗來降低了問題的難度，不用教師太多的語言，學生經過觀察就可以得出結論。那將是一節更加成功的展示課。
（蔣曉雲）
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知識拓展 斐波那契數列
斐波那契數列 斐波那契數列又因數學家列昂納多斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為 兔子數列 一般而言，兔子在出生兩個月後，就有繁殖能力，一對兔子每個月能生出一對小兔子來。如果所有兔都不死，那麼一年以後可以繁殖多少對兔子？我們不妨拿新出生的一對小兔子分析一下 第乙個月小兔子沒有繁殖能力，所以還是一...
斐波那契數列通項公式求解
解 設an an 1 an 1 an 2 得 1。1。構造方程x2 x 1 0，解得 1 5 2，1 5 2或 1 5 2，1 5 2。所以an 1 5 2 a n 1 1 5 2 a n 1 1 5 2 a n 2 1 5 2 n 2 a2 1 5 2 a1 an 1 5 2 a n 1 1 5 ...