封二數學教學２０１２年第８期
２１５５００江蘇常熟理工學院數學與統計學院
潘榮菲譯
黃興豐校
１．反思２００７
問題．其實這些我們在歐氏幾何和力學中都曾經擁有過，只是後來丟棄了．
在教育中，很少有新的思想出現，人們只是簡單重複，所做的就是冠乙個新名詞．
２．一系列問題
新加坡２００７年ｏ水平數學教學大綱出現了哪些新的變化？在我看來，主要是教學方法
的改變，即關注了數學的「過程」和「情境」；至於數學內容基本沒有變化．
事實上，「過程」和「情境」並不是新事物．
接下來，我們具體討論這個所謂教學「新
方法」的四個問題．
２．１我們期望什麼？
中國早在２０００年以前就有了．如果你看了中
國古代的經典之作一《九章算術》，或者其他
的數學著作，你就會明白我所說的了．這些著作通常包含了許多問題．這些問題都是以生活
我們期望學生能掌握所學的數學知識，同
時也期望他們能應用這些知識．我們希望學
情境的方式呈現，並且總是以過程的方式解決．
那時，自然沒有什麼公式．不過，如果過程本
生能回答ｔｉｍｓｓ中的數學問題，同時也希望
他們能回答ｐｉｓａ中的數學問題．大家認為，ｔｉｍｓｓ測試的是學生的數學知識，而ｐｉｓａ更多的是評價學生的應用能力．換句話說，我們希望學生既懂得數學，又懂得如何應用數學．
身就可以得到答案，也就沒有公式存在的必要．我們現在只是重新把這些東西撿起來，事實上
並沒有任何新意．
同樣，「過程」和「情境」在新加坡也不是什麼新鮮事物．許多年前，確切地說是在５０年以
在教學實踐中，我們打算引入開放題，並
期望學生能夠回答這些問題．這裡的關鍵詞是開放．為了回答這些問題，學生必須要思考，而不是只憑記憶．
前，歐氏幾何和牛頓力學是中小學數學課程的
一部分．在歐氏幾何中，我們要證明定理，為了
證明定理，我們不得不經歷過程；在力學裡，我
２．２我們該怎麼做？
我們可以提出一些開放問題，比如建模，就是乙個很好的途徑．儘管還有其他的說法，
們要構造模型，為了構造模型，我們不得不回到情境之中．所以，沒有什麼新的．
自６０年代西方的數學教育改革、７０年代新加坡的數學教育改革之後，歐氏幾何逐漸離我們遠去．改革導致中學的數學變成了純數學，力學也逐漸被統計學代替．從此以後，我們喪
失了兩個豐富的，應該說是非常豐富的數學學
比如表現性任務但只是
說法不同，本質和建模是一樣的．有一點請注
意，建模問題總是在情境中提出的．
我們經常使用等級評定ｆｒｕｂｒｉｃ）的方法來
評價學生的表現．不過要注意，教育研究中使用的等級評定方法和課堂教學中使用的等級評
定方法是不一樣的，我們不可能把研究中的方
習和考試的領域．往往失去了才知道珍惜，現
在，我們所作的努力，正是試圖恢復我們所失
去的東西．換句話說，在當前的數學教學中，我
們強調過程，以及在（擬）現實情境中提出數學
法全盤照搬到教學中來，初步採用就足夠了．
２．３我們怎麼著手？
本文是新加坡南洋理工大學李秉彝先生受邀發表在第１卷
第１期（２０１１年ｌ１月）上題為的文章．感謝李先生和原文期刊授權我們譯成中文，同時還要感謝李先生審讀了譯文．希望此文能對我國中學數學教育改革有所啟迪．
２０１２年第８期數學教學一ｊ
經常聽至０教師抱怨說「沒有時間呀！」我
們並不是說每天都要做建模，一年中至少要
有一次，不過每個學期最多也只能做一次（如果一年有四個學期的話）．提問也是一種有效的方式，可以說是一門藝術．比如，我們先假
的：７０年代我們向西方學習數學教育改革，這次是我們完全獨立思考的結果．現在不僅僅是新加坡，還有至少三個國家在這麼做，正如我
所說，這是一種自然的結果．
設四邊形的面積公式是ｆ下ａ＋ｃ）ｆ），其
中ａ、ｂ、ｃ、ｄ分別是四條邊長．不管這個公式
是好還是壞，可以問「這個公式好在**？」這２０１３年的教學大綱一公布你就可以在網
站上看到所有的細節，你會發現２０１３年的大綱要比２００７年的大綱有所拓展．我們謀求變革，但不可能在一夜之間徹底完成．這僅僅是一樣就保證了問題的開放性．
個開端，我們將逐步推進，或許這是唯一取得２．４我們為什麼要這麼做？
成功的辦法．課程改革不是滅火行動，也不應該我們教數學，也應該教會學生理解數學．是滅火行動．同時，我們也不能採用教育學生為此，我們必須重視過程．我相信這是眾所周的方式來培訓教師，我們必須採用其他方法來知的．做好這件事．
然而，我們還是需要公式和代數．因為公４．課堂
式常常可以讓數學變得簡單，讓數學變得便於改革，如果它是乙個真正的改革，那麼它應用，不要摒棄公式，過程和公式我們同樣需
能走多快，就看教師能走多快．假設我們的教要．
師相信這次改革，假設我們的教師也希望推動３．展望２０１３
這場改革那麼我們希望教師在課堂上怎麼做
新加坡２０１３年的ｏ水平數學教學大綱會呢？
出現哪些變化呢？至少有乙個元素是新的，即
毫無疑問，我們會有培訓計畫，事實上已學習經驗瑞典２０１１年
的教學大綱稱它為知識需求
經開始了．我在此說的，是我覺得２０１３年可能會發生的事．下面就用我曾發給學生的電子郵簡單地說，就是明確提出要讓
學生在學習過程中積累經驗．比如教二次函式件來作些說明吧：「ｆ１）為什麼答案是重要的？時，希望學生能認識到二次函式的影象是一條假如你在造一棟住宅，竣工後，房子塌了．你拋物線，這是乙個經驗；還希望學生用二次函願意因為僅僅是過程正確而向建築商支付報酬數的影象找到最大值或最小值點，這就是應用，嗎？
ｆ２）為什麼過程是重要的？你可以在過程也是乙個經驗．從某種程度上說，這是強調過程做錯的情況下，得到正確的答案．但我不肯定
的自然結果，我們只是又向前走了一步，明確你下次還會那麼幸運．如果你的過程是正確的，
提出了學習經驗．我就有充分的理由相信，你不是靠運氣得到正並不是只有我們在教學大綱中提出了這確答案的．（３）為什麼表達是重要的？如果你
種觀念．瑞典也正在這麼做，雖然不盡相同．說得很好，你可以通過一扇門，我是說，你可以
美國在２０１０年的《各州公共標準》ｆｃｏｍｍｏｎ把所要表達的意思傳遞給門後的那個人；如果中也提出了類似的觀你寫得很好，你至少可以通過三扇門，我是說，念．南美洲的智利在２０１１年《中學數學教你可以把所要表達的意思傳遞給你老闆的老闆
師教育的學科和教學標準
的老闆．只有完美的表達才可以傳遞得更遠
總之，我們希望課堂：第一能保證所教的的草案中
數學是正確的；第二，明確提出學生的學習經也提到了這個想法．美國沒有統一的數學教學
驗：第三，關注學生的數學表達．
大綱，《各州公共標準》的作用幾乎等同於國應試教學沒有錯，但教學不能只是應付考
家教學大綱．儘管美國和智利還沒有為此提出
試．短時間內考試改變不了，不過將來可能要
乙個新名詞，但是他們在教學大綱中已經闡明改．所以，如果我們不改變當前的教學方式，學了學習經驗這一觀念．不過有一點是全然不同生恐怕就不能適應將來的變化．
８—２數學款學２０１２年第８期
一套德國高中數學教材中的極限知識介紹冰
１０００８１北京人民教育出版社
龍正武我們知道，極限知識在微積分的發展中扮演了乙個非常有趣的角色：１７世紀，牛頓和萊
布尼茨發明微積分時，極限並未出現；１８世紀，
總的來說，德國教材既不強調極限知識的
嚴格化ｆ例如，沒有專門的章節來處理極限的內容，也沒有極限的嚴格定義），也不避諱使用極限知識ｆ例如，極限符號、左極限、右極限和趨向無窮的極限等都有所涉及），很有借鑑價值．
１．思想和方法的鋪墊德國教材中，首次涉及極限思想的內容是第１０冊的１．１節（即第一章第一節，下同）圓周率丌的測定．教材先給出了不等式ｔ￥ｎ≤
ｒ微積分進一步深入發展時，達朗貝爾嘗試用極
限觀點對微積分的有關量進行表述ｆ比如定義量ｙ的極限為 ，如果「量ｙ可任意逼近ｘ，這
就是說，ｙ與之間的差可任意小」．１ｊ）；１９世
紀分析嚴格化時，柯西和魏爾斯特拉斯建立了
嚴格的極限理論ｆ極限的￡一表述），從而完成了微積分在嚴格化基礎上的重建．
雖然極限的￡一表述為微積分提供了嚴
，廠丌≤（其中和分別是半徑為ｒ的圓外
格的理論基礎，但其高度的抽象性和嚴謹性也
為微積分的教與學帶來了困難，這一點在中學
切和內接正ｎ邊形的周長），接著通過**的形式，對ｎ取不同的值進行計算，在此基礎上給
出階段體現得尤其明顯．因此，怎樣在不違反嚴謹性的基礎上，直觀易懂地講授微積分的知識，成為了很多中學數學教育工作及其關心者的
研究內容［２－－４】．正因為如此，了解和分析其他國家中學數學教材有關極限知識的處理方法，無疑是有借鑑意義的．本文要介紹的是德國巴
在這裡，德國教材沒有使用有關極限的符
號，但是在得出７ｒ的近似值過程中體現了極限的思想，而且通過計算列表這種常見的方式呈現極限過程，讓讀者體會逼近的含義．
實際上，德國教材在極限符號出現之前，還有多處使用了類似的處理方法，為極限概念
的出現做了充分的準備．比如，第１０冊５．１節
伐利亞州高中數學教材［５ｊ（第１０冊、第ｌ１冊和
第１２冊，以下簡稱「德國教材」）中涉及的極限
內容．講授多項式函式的性質時，德國教材通過具體
我們必須接受這樣的事實，即我們教給不
同的學生同樣的東西，但不同的學生學到的東西絕不會是相同的．因此，我們要制訂不同的
設計同仁、教師培訓專家和中小學教師必須攜
起手來，共同尋找一條切合我們實際的課程改革措施．比如，我們可以專門為課堂開發一些
教學資源．
總之，教無定法．我們應當教會學生解決超出課本之外的問題，也許超綱不再是問題，不過我們也不贊成總是那樣做．請記住一點：
課程大綱，採用不同的教學方法，接受不同的
學習方式．
正如我在其他地方所說的那樣，我們正在
不斷地改革，我們所走的歷程無處可以仿效，只能靠自己尋找解決問題的辦法．我們的課程
學生，先學精，才創新．
本文是國家社會科學**「十一五」規劃２０１０年度教育學重點課題主要國家高中數學教材比較研究》
子課題４《主要國家高中微積分教學內容的組織和呈現方式的比較研究》的研究成果．
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2023年中學數學教師招聘考試試卷三
10 建構主義數學學習觀認為 數學學習是主動建構的過程 也是乙個充滿生動活潑 主動和富有個性的過程。11 數學活動 的數學教學觀認為 數學教學要關注學生的已有的知識和經驗。12 數學新教材實現從學科中心向促進人的發展的價值取向。13 新課程理念下教師的角色發生了變化。已有原來的主導者轉變成了學生學習...
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1 加大硬體建設.完善電子備課室,添置新軟體 改進校園互連,為教育資訊化教學做好準備.2 加強對 資訊科技 課程的教學管理.要求資訊科技教師積極探索構建新型的教學結構,更新教育模式和方法,培養學生對資訊科技的興趣,培養學生良好的資訊素養.3 及時配合上級上傳學校教育成果和最新教學動態,構建教育互動平...