一：集合的含義與表示
1、集合的含義：集合為一些確定的、不同的東西的全體，人們能意識到這些東西，並且能判斷乙個給定的東西是否屬於這個整體。
把研究物件統稱為元素，把一些元素組成的總體叫集合，簡稱為集。
2、集合的中元素的三個特性：
（1）元素的確定性：集合確定，則一元素是否屬於這個集合是確定的：屬於或不屬於。
（2）元素的互異性：乙個給定集合中的元素是唯一的，不可重複的。
（3）元素的無序性:集合中元素的位置是可以改變的，並且改變位置不影響集合
3、集合的表示：
（1）用大寫字母表示集合：a=,b=
（2）集合的表示方法：列舉法與描述法。
a、列舉法：將集合中的元素一一枚舉出來
b、描述法：
①區間法：將集合中元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內表示集合。
,②語言描述法：例：
③venn圖:畫出一條封閉的曲線，曲線裡面表示集合。
4、集合的分類：
（1）有限集：含有有限個元素的集合
（2）無限集：含有無限個元素的集合
（3）空集：不含任何元素的集合
5、元素與集合的關係：
（1）元素在集合裡，則元素屬於集合，即：a a
（2）元素不在集合裡，則元素不屬於集合，即：a￠a
注意：常用數集及其記法：
非負整數集（即自然數集）記作：n
正整數集n*或n+
整數集z
有理數集q
實數集r
6、集合間的基本關係
（1）.「包含」關係（1）—子集
定義：如果集合a的任何乙個元素都是集合b的元素，我們說這兩個集合有包含關係，稱集合a是集合b的子集。
7、集合的運算
二、函式的概念
函式的概念：設a、b是非空的數集，如果按照某個確定的對應關係f，使對於集合a中的任意乙個數x，在集合b中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那麼就稱f：a---b為從集合a到集合b的乙個函式．記作：
y=f(x)，x∈a．
（1）其中，x叫做自變數，x的取值範圍a叫做函式的定義域；
（2）與x的值相對應的y值叫做函式值，函式值的集合叫做函式的值域．
函式的三要素：定義域、值域、對應法則
函式的表示方法：（1）解析法：明確函式的定義域
（2）圖想像：確定函式影象是否連線，函式的影象可以是連續的曲線、直線、折線、離散的點等等。
（3）列表法：選取的自變數要有代表性，可以反應定義域的特徵。
4、函式圖象知識歸納
(1)定義：在平面直角座標系中，以函式y=f(x),(x∈a)中的x為橫座標，函式值y為縱座標的點p(x，y)的集合c，叫做函式y=f(x),(x∈a)的圖象．c上每一點的座標(x，y)均滿足函式關係y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y為座標的點(x，y)，均在c上.
(2)畫法
a、描點法：b、圖象變換法：平移變換；伸縮變換；對稱變換，即平移。
（3）函式影象平移變換的特點：
1）加左減右——————只對x
2）上減下加——————只對y
3）函式y=f(x)關於x軸對稱得函式y=-f(x)
4）函式y=f(x)關於y軸對稱得函式y=f(-x)
5）函式y=f(x)關於原點對稱得函式y=-f(-x)
6）函式y=f(x)將x軸下面影象翻到x軸上面去，x軸上面影象不動得
函式y=|f(x)|
7）函式y=f(x)先作x≥0的影象，然後作關於y軸對稱的影象得函式f(|x|)
三、函式的基本性質
1、函式解析式子的求法
（1、函式的解析式是函式的一種表示方法，要求兩個變數之間的函式關係時，一是要求出它們之間的對應法則，二是要求出函式的定義域.
（2、求函式的解析式的主要方法有：
1）代入法：
2）待定係數法：
3）換元法：
4)拼湊法：
2．定義域：能使函式式有意義的實數x的集合稱為函式的定義域。
求函式的定義域時列不等式組的主要依據是：
(1)分式的分母不等於零；
(2)偶次方根的被開方數不小於零；
(3)對數式的真數必須大於零；
(4)指數、對數式的底必須大於零且不等於1.
(5)如果函式是由一些基本函式通過四則運算結合而成的.那麼，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.
(6)指數為零底不可以等於零，
(7)實際問題中的函式的定義域還要保證實際問題有意義.
3、相同函式的判斷方法：①表示式相同（與表示自變數和函式值的字母無關）；②定義域一致(兩點必須同時具備)
4、區間的概念：
（1）區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間
（2）無窮區間
（3）區間的數軸表示
5、值域（先考慮其定義域）
（1）觀察法：直接觀察函式的影象或函式的解析式來求函式的值域；
（2）反表示法：針對分式的型別，把y關於x的函式關係式化成x關於y的函式關係式，由x的範圍類似求y的範圍。
(3)配方法：針對二次函式的型別，根據二次函式影象的性質來確定函式的值域，注意定義域的範圍。
(4)代換法（換元法）：作變數代換，針對根式的題型，轉化成二次函式的型別。
6.分段函式
（1）在定義域的不同部分上有不同的解析表示式的函式。
（2）各部分的自變數的取值情況．
（3）分段函式的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的並集．
（4）常用的分段函式有取整函式、符號函式、含絕對值的函式
7．對映
一般地，設a、b是兩個非空的集合，如果按某乙個確定的對應法則f，使對於集合a中的任意乙個元素x，在集合b中都有唯一確定的元素y與之對應，那麼就稱對應f：a---b為從集合a到集合b的乙個對映。記作「f（對應關係）：
a（原象）---b（象）」
對於對映f：a→b來說，則應滿足：
(1)集合a中的每乙個元素，在集合b中都有象，並且象是唯一的；
(2)集合a中不同的元素，在集合b中對應的象可以是同乙個；
(3)不要求集合b中的每乙個元素在集合a中都有原象。
注意：對映是針對自然界中的所有事物而言的，而函式僅僅是針對數字來說的。所以函式是對映，而對映不一定的函式
8、函式的單調性(區域性性質)及最值
（1、增減函式
（1）設函式y=f(x)的定義域為i，如果對於定義域i內的某個區間d內的任意兩個自變數x1，x2，當x1（2）如果對於區間d上的任意兩個自變數的值x1，x2，當x1注意：函式的單調性是函式的區域性性質；函式的單調性還有單調不增，和單調不減兩種
（2、圖象的特點
如果函式y=f(x)在某個區間是增函式或減函式，那麼說函式y=f(x)在這一區間上具有(嚴格的)單調性，在單調區間上增函式的圖象從左到右是上公升的，減函式的圖象從左到右是下降的.
（3、函式單調區間與單調性的判定方法
(a)定義法：
任取x1，x2∈d，且x1作差f(x1)－f(x2)；
變形（通常是因式分解和配方）；
定號（即判斷差f(x1)－f(x2)的正負）；
下結論（指出函式f(x)在給定的區間d上的單調性）．
(b)圖象法(從圖象上看公升降)
(c)復合函式的單調性
復合函式：如果y=f(u)(u∈m),u=g(x)(x∈a),則y=f[g(x)]=f(x)(x∈a)稱為f、g的復合函式。
復合函式f[g(x)]的單調性與構成它的函式u=g(x)，y=f(u)的單調性密切相關，其規律：「同增異減」
注意：函式的單調區間只能是其定義域的子區間,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其並集.
9：函式的奇偶性（整體性質）
（1、偶函式
一般地，對於函式f(x)的定義域內的任意乙個x，都有f(－x)=f(x)，那麼f(x)就叫做偶函式．
（2、奇函式
一般地，對於函式f(x)的定義域內的任意乙個x，都有f(－x)=—f(x)，那麼f(x)就叫做奇函式．
（3、具有奇偶性的函式的圖象的特徵
偶函式的圖象關於y軸對稱；奇函式的圖象關於原點對稱．
利用定義判斷函式奇偶性的步驟：
a、首先確定函式的定義域，並判斷其是否關於原點對稱；若是不對稱，則是非奇非偶的函式；若對稱，則進行下面判斷；
b、確定f(－x)與f(x)的關係；
c、作出相應結論：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，則f(x)是偶函式；
若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，則f(x)是奇函式．
（4）利用奇偶函式的四則運算以及復合函式的奇偶性
a、在公共定義域內，偶函式的加減乘除仍為偶函式；
奇函式的加減仍為奇函式；
奇數個奇函式的乘除認為奇函式；
偶數個奇函式的乘除為偶函式；
一奇一偶的乘積是奇函式；
a、復合函式的奇偶性：乙個為偶就為偶，兩個為奇才為奇。
注意：函式定義域關於原點對稱是函式具有奇偶性的必要條件．首先看函式的定義域是否關於原點對稱，若不對稱則函式是非奇非偶函式.若對稱，
(1)再根據定義判定;
(2)由f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1來判定;
(3)利用定理，或借助函式的圖象判定.
10、函式最值及性質的應用
（1、函式的最值
a利用二次函式的性質（配方法）求函式的最大（小）值
b利用圖象求函式的最大（小）值
c利用函式單調性的判斷函式的最大（小）值：
如果函式y=f(x)在區間[a，b]上單調遞增，在區間[b，c]上單調遞減則函式y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；
如果函式y=f(x)在區間[a，b]上單調遞減，在區間[b，c]上單調遞增則函式y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；
（2、函式的奇偶性與單調性
奇函式在關於原點對稱的區間上有相同的單調性；
偶函式在關於原點對稱的區間上有相反的單調性。
（3、判斷含糊單調性時也可以用作商法，過程與作差法類似，區別在於作差法是與0作比較，作商法是與1作比較。
（4）絕對值函式求最值，先分段，再通過各段的單調性，或影象求最值。
（5）在判斷函式的奇偶性時候，若已知是奇函式可以直接用f(0)=0，但是f(0)=0並不一定可以判斷函式為奇函式。（高一階段可以利用奇函式f(0)=0）。
高一數學必修1知識點總結集合與函式
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