1234. 曲線在點處的曲率曲率半徑
5. 設收斂，請在下列橫線處新增一條件，使得
6. 某產品在生產99件以後，估計生產的經驗曲線是，其中是生產第件產品所需工時數. 則接著生產的301件產品所需工時數小時.
7. 設則其閉包
8. 已知函式， 則的fourier級數為該級數的和函式是
9.冪級數的收斂域是其和函式是
10. 在區間[0, 1]上riemann函式可積，而dirichlet函式不可積，對嗎？___.
1．任意個開集的交集是開集.
2．乙個任意階可導的函式的taylor級數一定收斂於函式本身.
3. 若，則兩級數與有相同的收斂性.
4. 若在區間上可導，且無定義，則為的奇異點，必為無界函式反常積分.
5. 設在區間上. 若有連續導函式，且在上但並非一致收斂，則必有
1. 已知，求.
2. 求極限.（若極限存在，求出其值；否則，請闡明理由）
3．設求積分
1．已知. (1) 求的fourier 級數，並求其和函式；(2)利用parseval等式求的和.
2. 求冪級數的和函式（需指明收斂域）.
1.設函式在閉區間[0,1]上連續，在開區間(0,1)內大於零，並滿足(為常數). 進一步，假設曲線與直線和所圍的圖形的面積為2. (1) 求函式；
(2) 當為何值時，圖形繞軸旋轉一周所得旋轉體的體積最小？
2. 討論反常積分的斂散性.
1．設正項級數發散，. 證明級數收斂.
2. 設函式在有限閉區間上遞減，證明在上可積.
3．設不是非負整數，,.
(1) 計算；
(2) 利用無窮乘積證明：存在非零常數，使得.
123..
4. 曲線的弧長
5. 設收斂，請在下列橫線處新增一條件，使得
6. 記是曲線與所界區域在的弧段繞軸旋轉一周所得旋轉體的體積，滿足，則__.
7. 設在與條件收斂，則其收斂域為
8.的余弦級數是
正弦級數是
9.設則其閉包
10.冪級數的收斂域是其和函式是
【 】1．任意個閉集的並集是閉集.
【 】2．若數列{}是無窮小量數列，則級數收斂.
【 】3. 乙個任意階可導的函式的taylor級數不一定收斂於函式本身.
【 】4. 若在區間上有第一類間斷點，則在上不可積.
【 】5. 若連續函式數列在區間（－1，1]上內閉一致收斂於極限函式, 則在（－1，1]上連續.
三. 計算題（每小題6分，共18分）
1. 求.
2. 求極限.（若極限存在，求出其值；否則，請闡明理由）
3．求不定積分.
1．已知. (1) 求的fourier 級數，並求其和函式；(2)利用parseval等式求的和.
2. 求冪級數的和函式（需指明收斂域）.
3討論反常積分的斂散性.
1．應用在的冪級數展開，證明：.
2. 設在上連續且遞減，證明對任意在上成立
.3．設為上的以為週期的連續函式. 證明：若的fourier係數全為零，則.12
34. 曲線的漸進線有條.
5. 設方程確定函式，則
6. riemann函式在區間內的每個點都是其極大值點..
7.實軸上有理點和無理點都是稠密分布的，所以一樣多. 對嗎
89. 函式的連續點是
10. 設，則
1．若在點處連續，則在點處連續.
2．若，為有限或無窮，則不存在.
3. 如果函式在區間上存在原函式，則在上必連續.
4. 設函式定義在區間i上，點在i的內部. 若函式在處連續，則一定在點的某鄰域內連續.
5. 若是函式的乙個極值點，則.
1. 求不定積分.
2. 求極限.
3．設，求
1．討論的極值點、凸性和拐點
2. 設函式，問當時，的極限是否存在？若存在，求出該極限；若不存在，請說明理由.
一艘輪船在航行中的燃料費和它的速度的立方成正比。已知當速度為10（公里/小時）時燃料費為每小時6元，而其他與速度無關的費用為每小時96元。問輪船的速度為多少時，每航行一公里的費用最小？。
1．證明：時，.
2. 設函式在閉區間上連續，在開區間（）內二階可導，且，，試證明：（），使.
3．設數列{}單調遞減且有下界,試用確界原理證明極限存在.
一、1,; 2.; 3. 1; 4. 2; 5. ;
6. 有理; 7. 不對; 8.; 9. 1; 10..
二、1...
2．，但l』hospital法則失效.
3.，在任何區間上有原函式但.在x=0處間斷.
4. rieman函式或，後者僅在x=0處連續.
5.,是其極小值點但不存在..
三、解：1. 3分
6分2．,
4分）原式6分）
33分）
而所以6分）
四、解：1.,
時, ,單調遞減,時, ,單調遞增; 極小值為3分）
,為上的凸函式, 無拐點6分）
2. 因為， 2分4分
即， 所以當時，的極限等於16分
五、解：設船速為（），據題意，每航行一小時的耗費為
2分）時，，故得。
令得穩定點。
由第一充分條件知是極小值點4分）
（元6分）
六、證明：1.設，則
，是的極大值點， （4分）
，於是單調遞減，
6分）2．及得,
由羅爾中值定理知,存在,使3分）
因,在閉區間上連續，在開區間（）內二階可導,所以函式在滿足
羅爾中值定理條件,於是（），使6分）
3．因數列{}有下界,由確界原理數列{}有下確界,記為3分）
下證事實上,任給,按下確界的定義,存在,使,而數列{}單調遞減,於是時,.於是6分）.
1. 3; 2.; 3. 2; 4.,; 5.在上一致連續（或存在有限極限）6. 40; 7.; 8.,; 9.,; 10.對.
二. 舉例說明下列命題是錯誤的(每小題3分，共15分. 需要簡單說明)
1.,而為閉集.
2. 在（－，+）上收斂於和函式=0; 當時，
3.、，前者收斂，後者發散；其通項等價.
4.的不是奇異點，因為.
5.，d=[0,1], 其極限函式；，其極限函式，但並非一致收斂；有.
三. 計算題（每小題6分，共18分）
1. 令，(2分)則原式(4分).(6分
2.因為=（3分5分）
與k有關，所以原極限不存在. （6分） （直接取曲線也對）
3. 令，則原式（2分）（4分）（6分） （）
四. 解答題（每小題6分，共12分）
1.(1)所給函式為偶函式，所以（1分）
4分）或
（5分）
(2) 因為在可積且平方可積，由parseval等式，
.所以. (8分)
2. 由級數cauchy乘積，原式= (2分). (4分)
五. 以下兩題中任選一題作答 (7分；若都做，取較高分者)
1.(1)由已知， ，所以， （2分）
對兩邊關於積分，有
，從而，於是，.（4分）
(2). 令，得且此時，所以在時旋轉體的體積取得最小值.（7分）
2..(1分)
由，可知當時積分收斂，在其餘情況下發散.（3分） 當時積分發散.（4分）
當時,因為，遞減且,由dirichlet判別法，收斂.（6分）
綜上所述，當時，積分條件收斂，在其餘情況下發散.（7分）
六. 證明題（每小題6分，共18分）
1.由有. 所以(4分)
由，得到. 故，收斂. (6分)
2. 若，則由單調性，為常數函式，在上可積. 若對的任意劃分，在其任意小區間上的振幅. (2分)於是，，取，當分割細度小於時，
. （5分）
故，在上可積.（6分）
數學分析試題
數學系一年級 數學分析 期末考試題 2002.6.22.班級學號姓名 一 滿分 2 0 分，每小題 4 分 單項選擇題 1.如果數列發散但有界，則 a.的每個子列都發散 b.子列和中至少有乙個發散 c.數列必不單調d.有且僅有乙個聚點 2.如果函式在區間上不是 r 可積 則a.在區間上有無窮多個間斷...
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一 敘述題 每小題5分，共15分 1 darboux和 2 無窮限反常積分的cauchy收斂原理 3 euclid空間 二 計算題 每小題7分，共35分 1 2 求由下列兩條曲線圍成的平面圖形的面積 3 n是非負整數 4 設具有二階連續偏導數，求 5 求的冪級數展開式 三 討論與驗證題 每小題10分...
數學分析報告
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