平行四邊形
平行四邊形是一類特殊的四邊形,它的特殊性體現在邊、角、對角線上,矩形、菱形是特殊的平行四邊形,矩形的特殊性體現在有乙個角是直角,菱形的特殊性體現在鄰邊相等,所以,它們既有平行四邊形的性質,又有各自特殊的性質.
對角線是解決四邊形問題的常用線段,對角線本身的特徵又可以決定四邊形的形狀、大小,連對角線後,平行四邊形就產生特殊三角形,因此解平行四邊形相關問題時,既用到全等三角形法,特殊三角形性質,又要善於在乎行四邊形的背景下探索問題,利用平行四邊形豐富的性質為解題服務.
熟悉以下基本圖形、基本結論:
例題求解
【例1】 如圖,在矩形abcd中,已知ad=12,ab=5,p是ad邊上任意一點,pe⊥bd於e,pf⊥ac於f,那麼pe+pf的值為
(全國初中數學聯賽試題)
思路點撥分別求出pe、pf困難,△aod為等腰三角形,若聯想「到等腰三角形底邊上任一點到兩腰距離的和等於腰上的高」這一性質,則問題迎刃而解.
注特殊與一般是對立統一的,在一定條件下可以互相轉化,相對於一般而言,特殊的事物往往更簡單、更直觀、更具體.因而人們常常通過特殊去認識一般;另一方面,一般概括了特殊,一般比特殊更為深刻地反映著事物的本質,所以人們也往往通過一般去了解特殊.
一般與特殊,是知識之間聯絡的一種重要形式,知識常常在一般到特殊或特殊到一般的變化過程中,不斬地得到延伸與拓展.
【例2】 已知四邊形abcd,從下列條件中:(1)ab∠cd,(2)bc∥ad;(3)ab=cd;(4)bc=ad;(5)∠a=∠c;(6)∠b=∠d.
任取其中兩個,可以得出「四邊形abcd是平行四邊形」這一結論的情況有( )
a.4種 b.9種 c.13種 d. 15種
(山東省競賽題)
思路點撥根據平行四邊形的判定方法及新的組合方式判定.
【例3】】 如圖,在△adc中,∠dac=90°,ad⊥bc,dc、af分別是∠abc、∠dac的平分線,be和ad交於g,求證:gf∥ac.
(湖北省荊州市中考題)
思路點撥從角的角度證明困難,鏈結cf,在四邊形agfe的背景下思考問題,證明四邊形agfe為特殊平行四邊形,證題的關鍵是能分解出直角三角形中的基本圖形.
【例4】 如圖,設p為等腰直角三角形acb斜邊ab上任意一點,pe⊥ac於點e,pf⊥bc於點f,pg⊥ef於g點,延長gp並在其延長線上取一點d,使得pd=pc,求證:bc⊥bd,且bc=bd.
(全國初中數學聯賽試題)
思路點撥儘管圖形複雜,但證明目標明確,只需證明△cpb≌△dpb,應從圖中分離出特殊三角形、特殊四邊形,充分運用它們的性質為證題服務.
【例5】 如圖,在等腰三角形abc中,延長邊ab到點d,延長邊ca到點e,鏈結de,恰有ad=bc=ce=de.求∠bac的度數.
(北京市競賽題)
思路點撥題設條件給出的是線段的等量關係,要求的卻是角的度數,相等的線段可得到全等三角形、特殊三角形,為此需通過構造平行四邊形改變它們的位置.
注課本中平行四邊形的判定定理是從邊、角、對角線三個方面**的,一般情況是,從四邊形邊、角、對角線三類元素任意選取兩類,任意組合就產生許多判定平行四邊形的命題.其中有真命題與假命題,對於假命題,要善於並熟悉構造反例.
構造反例是學習數學的一種重要技能,可以幫助我們理解概念.培養推理能力,數學史上就曾有許多著名的論斷被乙個巧妙的反例推翻的例項.
若題設條件中有彼此平行的線段或造成平行的因素,則通過作平行線,構造平行四邊形,這是解四邊形問題的常用技巧,這是由於平行四邊形能使角的位置更理想,送線段到恰當的地方,使線段比良性傳遞.
學力訓練
1.如圖,bd是平行四邊形abcd的對角線,點e、f在bd上,要使四邊形aecf是平行四邊形,還需要增加的乙個條件是填上你認為正確的乙個即可,不必考
慮所有可能情形)
(寧波市中考題)
2.(1)如圖,已知矩形abcd中,對角線ac、bd相交於o,ae⊥bd於e,若∠dae:∠bae=3:1,則∠cac河南省中考題)
(2)矩形的乙個角的平分線分矩形一邊為lcm和3cm兩部分,則這個矩形的面積
為 cm2. (武漢市中考題)
3.如圖,以△abc的三邊為邊在bc的同一側分別作三個等邊三角形,即△abd、△bce、△acf.
(1)四邊形adef是 ;
(2)當△abc滿足條件時,四邊形adef為矩形;
(3)當△abc滿足條件時,四邊形adef不存在. (2023年貴州省中考題)
4.已知乙個三角形的一邊長為2,這邊上的中線為1,另兩邊之和為1+,則這兩邊之積為2023年天津市選拔賽試題)
5.四邊形的四條邊長分別是a、b、c、d,其中a、c為對邊,且滿足,則這個四邊形一定是( )
a.平行四邊形b.兩組對角分別相等的四邊形
c.對角線互相垂直的四邊形 d.對角線相等的四邊形
6.如圖,周長為68的矩形abcd被分成7個全等的矩形,則矩形abcd的面積為( )
a.98 b.196 c.280 d. 284
(湖北省荊州市中考題)
7.如圖,菱形花壇abcd的邊長為6m,∠b=60°,其中由兩個正六邊形組成的圖形部分種花,則種花部分的圖形的周長(粗線部分)為( )
a.12 m b.20m c. 22m d.24m
(吉林省中考題)
8.在凸四邊形abcd中,ab∥cd,且ab+bc=cd+da,則( )
a.ad>bc b.ad c.ad=bc d.ad與bc的大小關係不能確定
(「希望盃」邀請賽試題)
9.如圖,△abc為等邊三角形,d、f分別是bc、ab上的點,且cd=bf,以ad為邊作等邊△adc.
(1)求證:△acd≌△cnbf;
(2)當d**段bc上何處時,四邊形cdef為平行四邊形,且∠def=30°?
證明你的結論. (南通市中考題)
10.如圖,在rt△abc中,ab=ac,∠a=90°,點d為bc上任一點,df⊥ab於f,de⊥ac於c,m為bc的中點,試判斷△mef是什麼形狀的三角形,並證明你的結論.
(黑龍江省中考題)
11.如圖,△abc中,點o是ac邊上的乙個動點,過點o作直線mn∥bc,設mn交∠bca的平分線於點e,交∠bca的外角平分線於點f.
(1)求證:co=fo;
(2)當點o運動到何處時,四邊形aecf是矩形?並證明你的結論.
(3)當△abc滿足什麼條件時,四邊形aecf是正方形?
12.如圖,在平行四邊形abcd中,ef∥bc,gh∥ab,ef、gh的交點p在bd上,圖中有對四邊形面積相等,它們是
(常州市中考題)
13.如圖,菱形abcd的對角線ac、bd相交於o,△aob的周長為3+,∠abc=60°,則菱形abcd的面積為
14.如圖,矩形abcd的對角線相交於o,ae平分∠bad交bc於e,∠cae=15°,則∠boe
15.如圖,矩形abcd中,ab=8,bc=4,將矩形沿ac摺疊,點d落在點d′處,則重疊部分△afc的面積為山東省競賽題)
16.如圖,平行四邊形abcd中,∠abc=75°,af⊥bc於f,af交bd於e,若de=2ab,則∠aed的大小是( )
a.60° b.65° c.70° d.75° (「希望盃」邀請賽試題)
17.如圖,正△aef的邊長與菱形abcd的邊長相等,點e、f分別在bc、cd上,則∠b的度數是( )
a.70° b.75° c.80° d.95°
(重慶市競賽題)
18.如圖,正方形abcd外有一點p,p在bc外側,並在平行線ab與cd之間,若pa=,pb=,pc=,則pd=( )
a.2 b. c .3 d. (「五羊杯」競賽題)
19.如圖,在平行四邊形abcd中,bc=2ab,cz⊥ab於e,f為ad的中點,若∠aef=
54°,則∠b
a.54° b.60° c.66° d.72°
(武漢市選拔賽試題)
20.如圖,在rt△abc中,∠abc=90°,∠c=60°,bc=2,d是ac的中點,以d作de⊥ac與cb的延長線交於e,以ab、be為鄰邊作長方形abef,鏈結df,求df的長.
21.如圖,菱形的對角線ac與bd交於點o,延長ba到e,使ae=ab,鏈結oe,延長de交ca的延長線於f.求證:oe=df.
平行四邊形及特殊平行四邊形
一 平行四邊形 知識梳理 1 掌握平行四邊形的概念和性質 2 四邊形的不穩定性 3 掌握平行四邊形有關性質和四邊形是平行四邊形的條件 4 能用平行四邊形的相關性質和判定進行簡單的邏輯推理證明 例題精講 例題1.下列命題中錯誤的是 a 兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形 b 對角線相等的平行四邊形是...
平行四邊形
平行四邊形 導學案 班級姓名設計者 李遠芸 課題 平行四邊形課型 新授 學習目標 1通過生活情景與實踐操作,直觀認識平行四邊形。2在觀察與比較中,使學生在頭腦裡建成長方形與四邊形間的區別與聯絡。3體會平行四邊形與生活的密切聯絡 學習重難點 通過生活情景與實踐操作,直觀認識平行四邊形。學習程序 課件引...
平行四邊形
平行四邊形 教學設計 第2課時 湖北省赤壁市車站中學王紅華 一 內容和內容解析 1 內容 平行四邊形對角線的性質 2 內容解析 這節課承接了上一節平行四邊形的性質 對邊相等,對角相等,本節繼續研究對角線互相平分的性質,課本先設定乙個 欄目,讓學生發現結論,形成猜想,然後利用三角形全等證明這個結論,對...