1．已知函式的圖象過點，且在處取得極值．
(1) 求實數的值； (2) 求在 （為自然對數的底數）上的最大值.
2．已知橢圓的左右焦點分別是，直線與橢圓交於兩點且當時，m是橢圓的上頂點，且△的周長為6.
（1）求橢圓的方程；（2）設橢圓的左頂點為a，直線與直線：
分別相交於點，問當變化時，以線段為直徑的圓被軸截得的弦長是否為定值？若是，求出這個定值，若不是，說明理由.
3．將正數數列中的所有項按每一行比上一行多一項的規則排成數表，如圖所示。記表中各行的第乙個數構成數列為，各行的最後乙個數構成數列為，第行所有數的和為。已知數列是公差為的等差數列，從第二行起，每一行中的數按照從左到右的順序每乙個數與它前面乙個數的比是常數，且.
（1）求數列的通項公式。（2)記，
求證：。
參***
1. 解：（1）當時1分
由題意得：，即3分
解得5分
（2）由（1）知：
①當時，，
解得；解得或
∴在和上單減，在上單增，
由得：或6分
∵ ，∴在上的最大值為8分
②當時，，
當時，；當時，在單調遞增；
∴在上的最大值為10分
∴當時，在上的最大值為11分
當時，在上的最大值為12分
2. 解：（1）當時，直線的傾斜角為，所以：…………3分
解得5分
所以橢圓方程是6分
15 當時，直線的方程為：，此時，點的座標分別是，又點座標是，由圖可以得到兩點座標分別是，以為直徑的圓過右焦點，被軸截得的弦長為6，猜測當變化時，以為直徑的圓恆過焦點，被軸截得的弦長為定值68分
證明如下：設點點的座標分別是，則直線的方程是：，
所以點的座標是，同理，點的座標是，…………………9分
由方程組得到：，
所以11分
從而：=0，
所以：以為直徑的圓一定過右焦點，被軸截得的弦長為定值6。……………13分
3．解：（1），前行共有個數，
因為，所以，即
又因為，所以，即，
解得4分
所以：，，……7分
（2）…………10分
又因為所以：。
……14分
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