旁切圓每個三角形都有3個旁切圓，各與三角形其中一邊和另外兩邊的延線相切。
而它們的圓心稱為旁心，旁心是三角形一內角平分線和另外兩外角平分線的交點，每個三角形有三個旁心，一般記為j。
在三線性座標系中，旁心分別是-1:1:1、1:
-1:1和1:1:
-1。其半徑分別是2s / ( a + b + c)、2s / (a b + c)和2s / (a + b c)，其中s表示三角形面積,a,b,c,表示3條邊。
旁切圓與三角形相切的點，和三角形相對的頂點連起，三線交於一點，稱為奈格爾點。
性質三角形關於頂點a、b、c的旁切圓的半徑分別是、和，其中表示三角形面積，a、b、c分別是a、b、c的對邊。
旁切圓和內切圓有密切的聯絡。它們都與九點圓相切，切點稱為費爾巴哈點。三個旁心與內心組成乙個垂心組，也就是說內心是三個旁心所組成的三角形的垂心，而相應的三個垂足則是旁心所對的頂點。
在右圖中，i、b、c、ja四點共圓，其中ija是這個圓的直徑，而圓心pa在三角形abc的外接圓上，並且過bc的中垂線，即等分劣弧bc。對其它兩邊也有同樣的結果。
對於乙個頂點（比如a）所對的旁切圓，三角形abc的外接圓半徑r、a所對旁切圓半徑ra以及內外心間距oja之間有如下關係：[1]:185
旁切圓與三角形的邊（或其延長線）相切的點稱為旁切點。從乙個頂點沿著三角形的邊走到與之相對的旁切圓在對邊的切點所用的距離必定是周長的一半，也就是說，這個頂點和它「對面」的旁切點將三角形的周界等分為兩半。將三角形的每個頂點和與之相對的旁切圓關於對邊的旁切點連起，則根據塞瓦定理，三線交於一點，這個點稱為奈格爾點。
內切圓在一邊上的切點與旁切圓在該邊的切點之間的距離恰好是另外兩邊的差（絕對值）。比如說，a的對邊：bc上面的內切點和外切點之間的距離等於。
座標表示
在三線性座標系中，三個旁心的座標分別是-1:1:1、1:-1:1和1:1:-1。
在直角座標系中，若頂點的座標分別為、、，則三個旁心的座標為：
梅涅勞斯定理
梅涅勞斯（menelaus）定理（簡稱梅氏定理）是由古希臘數學家梅涅勞斯首先證明的。它指出：如果一條直線與△abc的三邊ab、bc、ca或其延長線交於f、d、e點，那麼(af/fb)×(bd/dc)×(ce/ea)=1。
或：設x、y、z分別在△abc的bc、ca、ab所在直線上，則x、y、z共線的充要條件是(az/zb)*(bx/xc)*(cy/ya)=1 。
首先給出完整的定理內容：
當直線交三邊所在直線於點時，
以及逆定理：在三邊所在直線上有三點 ，且
，那麼三點共線。
注意：以上定理嚴格來說應該用有向線段形式，且乘積為-1；另外， 三點中有偶數個點**段上時，才有梅氏定理，否則為塞瓦定理.
過點a作ag∥df交bc的延長線於點g.則
證畢過點c作cp∥df交ab於p，則
bd：dc=fb：pf，ce：ea=pf：af
兩式相乘得
(af：fb)×(bd：dc)×(ce：ea)=(af：fb)×(fb：pf)×(pf：af)=1
鏈結cf、ad，根據「兩個三角形等高時面積之比等於底邊之比」的性質有。
af：fb =s△adf：s△bdf…………（1），
bd：dc=s△bdf：s△cdf…………（2），
ce：ea=s△cde：s△ade=s△fec：s△fea=（s△cde+s△fec
）：（s△ade+s△fea）
=s△cdf：s△adf………… （3）
（1）×（2）×（3）得
過三頂點作直線def的垂線aa『，bb'，cc'，如圖：
充分性證明：
△abc中，bc，ca，ab上的分點分別為d，e，f。
連線df交ca於e'，則由充分性可得，(af/fb)×(bd/dc)×(ce'/e'a)=1
又∵ ∴有ce/ea=ce'/e'a，兩點重合。所以共線
推論在△abc的三邊bc、ca、ab或其延長線上分別取l、m、n三點，又分比是λ=bl/lc、μ=cm/ma、ν=an/nb。於是al、bm、cn三線交於一點的充要條件是λμν=-1。（注意與塞瓦定理相區分，那裡是λμν=1）
此外，用該定理可使其容易理解和記憶：
第一角元形式的梅涅勞斯定理如圖：若e，f，d三點共線，則
(sin∠acf/sin∠fcb)(sin∠bad/sin∠dac)(sin∠cbe/sin∠abe)=1
即圖中的藍角正弦值之積等於紅角正弦值之積。
該形式的梅涅勞斯定理也很實用。
證明：可用面積法推出：第一角元形式的梅氏定理與頂分頂形式的梅氏定理等價。
第二角元形式的梅涅勞斯定理
在平面上任取一點o，且edf共線，則（sin∠aof/sin∠fob)(sin∠bod/sin∠doc)(sin∠coe
/sin∠aoe)=1。(o不與點a、b、c重合)
在△abc內任取一點o，直線ao、bo、co分別交對邊於d、e、f，則 (bd/dc)×(ce/ea)×(af/fb)=1。
（ⅰ）本題可利用梅涅勞斯定理（簡稱梅氏定理）證明：
∵△adc被直線boe所截，
∴(cb/bd)*(do/oa)*(ae/ec)=1①
∵△abd被直線cof所截，
∴ (bc/cd)*(do/oa)*(af/fb)=1②
②*①得：(db/bc)×(ce/ea)×(ao/od)×(bc/cd)×(af/fb)×(do/oa)=1
∴(db/cd)×(ce/ea)×(af/fb)=1
（ⅱ）也可以利用面積關係證明
∵bd/dc=s△abd/s△acd=s△bod/s△cod=(s△abd-s△bod)/(s△acd-s△cod)=s△aob/s△aoc ③
同理 ce/ea=s△boc/ s△aob ④ ，af/fb=s△aoc/s△boc ⑤
③×④×⑤得(bd/dc)*(ce/ea)*(af/fb)=1
①利用塞瓦定理逆定理證明三角形三條高線必交於一點:
設△abc三邊的高分別為ae、bf、cd，垂足分別為d、e、f，
根據塞瓦定理逆定理，因為(ad:db)*(be:ec)*(cf:
fa)=[(cd*cot∠bac)/[(cd*cotabc)]*[(ae*cotabc)/(ae*cotacb)]*[(bf*cotacb)/[(bf*cotbac)]=1，所以三條高cd、ae、bf交於一點。
②三角形三條中線交於一點（重心）:
如右圖：已知，d、e分別為△abc的邊bc、ac 的中點，連線ad、be相交於點o，連線co並延長
塞瓦定理證明三條中線交於一點
交ab於f
求證：af=fb
證明：∵bd=dc，ce=ea
∴bd/dc=1，ce/ea=1
由塞瓦定理得
(af/fb)*(bd/dc)*(ce/ea)=1
∴af/fb=1∴ af=fb ，
∴cf為ab邊上的中線
∴三角形三條中線交於一點（重心）
③用塞瓦定理還可以證明三條角平分線交於一點
此外，可用定比分點來定義塞瓦定理：
在△abc的三邊bc、ca、ab或其延長線上分別取l、m、n三點，又分比是λ=bl/lc、μ=cm/ma、ν=an/nb。於是al、bm、cn三線交於一點的充要條件是λμν=1。（注意與梅涅勞斯定理相區分，那裡是λμν=-1）
塞瓦定理推論
1.塞瓦定理角元形式
ad,be,cf交於一點的充分必要條件是：
(sin∠bad/sin∠dac)*(sin∠acf/sin∠fcb)*(sin∠cbe/sin∠eba)=1
由正弦定理及三角形面積公式易證
2.如圖，對於圓周上順次6點a，b，c，d，e，f，直線ad，be，cf交於一點的充分必要條件是：
(ab/bc)×(cd/de)×(ef/fa)=1
由塞瓦定理的角元形式，正弦定理及圓弦長與所對圓周角關係易證。
使用塞瓦定理可以進行直線形中線段長度比例的計算，其逆定理還可以用來進行三點共線、三線共點等問題的判定方法，是平面幾何學以及射影幾何學中的一項基本定理，具有重要的作用。塞瓦定理的對偶定理是梅涅勞斯定理。
塞瓦定理的優點多多，但是卻不是特別好記，這裡有乙個方法分享給大家
(bd/dc)*(ce/ea)*(af/fb)=1
相當於bd*ce*af=dc*ea*fb
各位發現等式左右兩端字母竟然是一樣的！
可以如下表述，在記憶(bd/dc)*(ce/ea)*(af/fb)=1時，可理解為在符合在三邊線段的前提下，分母分子字母一樣，且分母、分子內部有相同字母.。
另外一種記憶方式是，將圖中的abc作為頂點，圖中的def作為分點，則(bd/dc)*(ce/ea)*(af/fb)可以看做是：頂點到分點（bd），該分點到另一頂點（dc），頂點再到分點（ce），分點再到頂點（ea），頂點再到分點（af），分點再到頂點（fb）。乙個迴圈。
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