1．設x，y∈r，且2x＋3y＝13，則x2＋y2的最小值為( )
ab．169
c．13 d．0
解析：選c.(2x＋3y)2≤(22＋32)(x2＋y2)，
∴x2＋y2≥13.
2．已知a，b，c大於0，且a＋b＋c＝1，則a2＋b2＋c2的最小值為( )
a．1 b．4
c. d.
解析：選c.根據柯西不等式，有(a2＋b2＋c2)(12＋12＋12)≥(a＋b＋c)2＝1，
∴a2＋b2＋c2≥.
3．已知a2＋b2＋c2＝1，x2＋y2＋z2＝1，t＝ax＋by＋cz，則t的取值範圍( )
a．(0,1) b．(－1,1)
c．(0，－1) d．[－1,1]
解析：選d.設α＝(a，b，c)，β＝(x，y，z)．
∵|α|＝＝1，|β|＝＝1，
由得|t|≤1.
∴t的取值範圍是[－1,1]．
4．已知a＋b＝1，則a2＋b2
解析：由柯西不等式，得
(a＋b)2≤[a2＋(1－a2)][(1－b2)＋b2]＝1，
當且僅當＝時，上式取等號，
∴ab＝·，a2b2＝(1－a2)(1－b2)，
於是a2＋b2＝1.
答案：1
5．若x，y∈r，且x＋y＝1，則x2＋y2的最小值為( )
a．1 b.
c．－1 d．－
解析：選b.∵(x2＋y2)(12＋12)≥(x＋y)2，
∴2(x2＋y2)≥1，
∴x2＋y2≥，當且僅當x＝y＝時，等號成立，所以x2＋y2的最小值為，故選b.
6．已知a、b∈(0，＋∞)，x1，x2∈(0，＋∞)，要使不等式(ax1＋bx2)·(bx1＋ax2)≥x1x2成立的乙個條件是( )
a．a＋b＝1 b．a2＋b2＝1
c．a＝b＝1 d．a2＋b2＝
解析：選a.(ax1＋bx2)(bx1＋ax2)
＝[()2＋()2][()2＋()2]
≥(·＋·)2
＝(a＋b)2＝(a＋b)2x1x2，
∴a＋b＝1時，可有(ax1＋bx2)(bx1＋ax2)≥x1x2.
7．已知a、b、c均大於0，a＝，b＝，則a，b的大小關係是( )
a．a>b b．a≥b
c．a解析：選b.∵(12＋12＋12)·(a2＋b2＋c2)
≥(a＋b＋c)2，∴≥，
當且僅當a＝b＝c時，等號成立．
又a、b、c均大於0，∴a＋b＋c>0，
∴≥，故選b.
8．已知3x＋2y＝1.當x2＋y2取最小值時，x，y的值為( )
a. b.
c. d.
解析：選
≥(3x＋2y)2＝，
當且僅當＝，得.
9．已知a＋a＋…＋a＝1，x＋x＋…＋x＝1，則a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值為( )
a．1 b．－1
c．0 d．不確定
解析：選a.∵(a＋a＋…＋a)(x＋x＋…＋x)≥(a1x1＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn)2，
∴(a1x1＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn)2≤1.
即a1x1＋a2x2＋…＋anxn≤1.
10．函式y＝＋的最大值為
解析：由、非負且()2＋()2＝3，
所以＋≤
＝＝.答案：
11．設a，b，c，x，y，z都是正數，且a2＋b2＋c2＝25，x2＋y2＋z2＝36，ax＋by＋cz＝30，則
解析：由柯西不等式知：25×36＝(a2＋b2＋c2)·(x2＋y2＋z2)≥(ax＋by＋cz)2＝302＝25×36，
當且僅當＝＝＝k時取「＝」．
由k2(x2＋y2＋z2)2＝25×36，解得k＝.
所以＝k＝.
答案：12．已知θ為銳角，a，b均為正實數．
求證：(a＋b)2≤＋.
證明：設m＝，
n＝(cosθ，sinθ)，
則|a＋b|＝
＝|m·n|≤|m||n|
＝·＝，
∴(a＋b)2≤＋.
13．(2012·淮南質檢)已知x2＋3y2＋4z2＝2，求證：|x＋3y＋4z|≤4.
證明：由柯西不等式知
(x2＋3y2＋4z2)(1＋3＋4)≥(x＋3y＋4z)2.
又∵x2＋3y2＋4z2＝2，
∴2×8≥(x＋3y＋4z)2，
∴|x＋3y＋4z|≤4.
不等式訓練題
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