測試6 實際問題與二次函式
學習要求
靈活地應用二次函式的概念解決實際問題．
課堂學習檢測
1．矩形窗戶的周長是6m，寫出窗戶的面積y(m2)與窗戶的寬x(m)之間的函式關係式，判斷此函式是不是二次函式，如果是，請求出自變數x的取值範圍，並畫出函式的圖象．
2．如圖，有一座拋物線型拱橋，已知橋下在正常水位ab時，水面寬8m，水位上公升3m， 就達到警戒水位cd，這時水面寬4m，若洪水到來時，水位以每小時0.2m的速度上公升，求水過警戒水位後幾小時淹到橋拱頂．
3．如圖，足球場上守門員在o處開出一高球，球從離地面1m的a處飛出(a在y軸上)，運動員乙在距o點6m的b處發現球在自己頭的正上方達到最高點m，距地面約4m高．球第一次落地後又彈起．據試驗，足球在草坪上彈起後的拋物線與原來的拋物線形狀相同，最大高度減少到原來最大高度的一半．
(1)求足球開始飛出到第一次落地時，該拋物線的表示式；
(2)運動員乙要搶到第二個落點d，他應再向前跑多少公尺?(取，)
綜合、運用、診斷
4．如圖，有長為24m的籬笆，圍成中間隔有一道籬笆的長方形的花圃，且花圃的長可借用一段牆體(牆體的最大可用長度a＝10m)．
(1)如果所圍成的花圃的面積為45m2，試求寬ab的長；
(2)按題目的設計要求，能圍成面積比45m2更大的花圃嗎?如果能，請求出最大面積，並說明圍法；如果不能，請說明理由．
5．某商場以每件30元的**購進一種商品，試銷中發現，這種商品每天的銷售量m(件)與每件的銷售價x(元)滿足一次函式m＝162－3x．
(1)寫出商場賣這種商品每天的銷售利潤y(元)與每件的銷售價x(元)間的函式關係式；
(2)如果商場要想每天獲得最大的銷售利潤，每件商品的售價定為多少最為合適?最大銷售利潤為多少?
6．某工廠現有80臺機器，每台機器平均每天生產384件產品．現準備增加一批同類機器以提高生產總量．在試生產中發現，由於其他生產條件沒有改變，因此，每增加一台機器，每台機器平均每天將減少生產4件產品．
(1)如果增加x臺機器，每天的生產總量為y件，請寫出y與x之間的函式關係式；
(2)增加多少臺機器，可以使每天的生產總量最大?最大生產總量是多少?
7．某公司推出了一種高效環保型洗滌用品，年初上市後，公司經歷了從虧損到盈利的過程，下面的二次函式圖象(部分)刻畫了該公司年初以來累積利潤s(萬元)與銷售時間t(月)之間的關係(即前t個月的利潤總和s與t之間的關係)．
根據圖象提供的資訊，解答下列問題：
(1)由已知圖象上的三點座標，求累積利潤s(萬元)與時間t(月)之間的函式關係式；
(2)求截止到幾月末公司累積利潤可達到30萬元；
3)求第8個月公司所獲利潤為多少萬元?
拓展、**、思考
8．已知：在平面直角座標系xoy中，二次函式y＝ax2＋bx－3(a＞0)的圖象與x軸交於a，b兩點，點a在點b的左側，與y軸交於點c，且oc＝ob＝3oa．
(1)求這個二次函式的解析式；
(2)設點d是點c關於此拋物線對稱軸的對稱點，直線ad，bc交於點p，試判斷直線ad，bc是否垂直，並證明你的結論；
(3)在(2)的條件下，若點m，n分別是射線pc，pd上的點，問：是否存在這樣的點m，n，使得以點p，m，n為頂點的三角形與△acp全等?若存在請求出點m，n的座標；若不存在，請說明理由．
測試6答案
1．y＝－x2＋3x(0＜x＜3)圖略． 2．5小時．
3．(1) (2)17公尺．
4．(1)設花圃的寬ab＝x公尺，知bc應為(24－3x)公尺，故面積y與x的關係式為
y＝x(24－3x)＝－3x2＋24x．
當y＝45時，－3x2＋24x＝45，解出x1＝3，x2＝5．
當x2＝3時，bc＝24－3×3＞10，不合題意，捨去；
當x2＝5時，bc＝24－3×5＝9，符合題意．
故ab長為5公尺．
(2)能圍成面積比45m2更大的矩形花圃．
由(1)知，y＝－3x2＋24x＝－3(x－4)2＋48．
， 由拋物線y＝－3(x－4)2＋48知，在對稱軸x＜4的左側，y隨x的增大而增大，當x＞4時，y隨x的增大而減小．
∴當時，y＝－3（x－4)2＋48有最大值，且最大值為此時， bc＝10m，即圍成長為10公尺，寬為公尺的矩形abcd花圃時，其最大面積為
5．(1)y＝－3x2＋252x－4860；
(2)當x＝42時，最大利潤為432元．
6．解：(1)由題意得
y＝(80＋x)(384－4x)＝－4x2＋64x＋30720．
(2)∵y＝－4x2＋64x＋30720＝－4(x－8)2＋30976，
∴當x＝8時，y有最大值，為30976．
即增加8臺機器，可以使每天的生產總量最大，最大生產總量為30976件．
7．解：(1)設s與t的函式關係式為x＝at2＋bt＋c，圖象上三點座標分別為
(1，－1．5)，(2，－2)，(5，2．5)．分別代入，得
解得(2)把s＝30代入
解得t1＝10，t2＝－6(捨去)．
即截止到10月末，公司累積利潤可達到30萬元．
(3)把t＝7代入
得7月末的累積利潤為s7＝10．5(萬元)．
把t＝8代入
得8月末的累積利潤為s8＝16(萬元)．
∴s8－s7＝16－10.5＝5.5(萬元)．
即第8個月公司獲利潤5.5萬元．
8．(1)y＝x2－2x－3； (2)ad⊥bc；
(3)存在，m1(1，－2)，n1(4，－3)．或m2(0，－3)，n2(3，－4)．
實際問題與二次函式
要點梳理 知識點一 列二次函式解應用題 列二次函式解應用題與列整式方程解應用題的思路和方法是一致的，不同的是，學習了二次函式後，表示量與量的關係的代數式是含有兩個變數的等式 對於應用題要注意以下步驟 1 審清題意，弄清題中涉及哪些量，已知量有幾個，已知量與變數之間的基本關係是什麼，找出等量關係 即函...
二次函式與實際問題反思
從二次方程轉換到二次函式 例1 已知某商品的進價為每件40元，現在的售價是每件60元，每星期可賣出300件。市場調查反映 如調整 每漲價一元，每星期要少賣出10件 每降價一元，每星期可多賣出20件。如何定價才能使利潤最大？我知道二次函式應用是難點，何況該題目又是漲價又是降價。我怕把學生弄糊塗，在九四...
二次函式實際問題集錦
解 1 依題意，可建立的函式關係式為 2 由題目已知條件可設 圖象過點 3 設純收益單價為w元，則w 銷售單價 成本單價 故化簡得 當時，有時，w最大，最大值為100 當時，由圖象知，有時，w最大，最大值為 當時，有時，w最大，最大值為56 綜上所述，在時，純收益單價有最大值，最大值為100元 50...