珠海市2012--2013學年度第一學期期末學生學業質量監測
高三理科數學試題
（1） 選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．請在答題卡上填塗相應選項.
1．已知全集，集合a＝，則＝
ab．(0，＋∞)
c． (－∞，0] d．r
2．已知a，b是實數，則「」是「」的
a．充分不必要條件 b．必要不充分條件
c．充分必要條件 d．既不充分也不必要條件
3．若某程式框圖如圖所示，則該程式執行後輸出的值是
a．4 b．5 c．6 d．7
4. 已知直線l，m和平面α， 則下列命題正確的是
a．若l∥m，mα，則l
b．若l∥α，mα，則l∥m
c．若l⊥m，l⊥α，則m
d．若l⊥α，mα，則l⊥m
5．已知是虛數單位，複數＝
a． b． c． d．
6． 函式y＝sin (2x＋)的圖象可由函式y＝sin 2x的圖象
a．向左平移個單位長度而得到 b．向右平移個單位長度而得到
c．向左平移個單位長度而得到 d．向右平移個單位長度而得到
7．若實數x，y滿足不等式組則2x＋4y的最小值是
a．6 b．4 c． d．
8． 對於直角座標平面內的任意兩點、，定義它們之間的一種「距離」：
‖ab‖=，給出下列三個命題：
①若點c**段ab上，則‖ac‖+‖cb‖=‖ab‖；
②在△abc中，若∠c=90°，則‖ac‖+‖cb‖=‖ab‖；
③在△abc中，‖ac‖+‖cb‖>‖ab‖.
其中真命題的個數為
a. 0b. 1 c. 2d.3
二、填空題：本大題共7小題，每小題5分，滿分30分．其中14～15題是選做題，考生只能選做一題，兩題全答的，只計算前一題得分．請將答案填在答題卡相應位置.
（一）必做題（9-13題）
9．函式的導函式 ．
10．在遞增等比數列中，，則公比
11．某學校三個社團的人員分布如下表（每名同學只參加乙個社團）：
學校要對這三個社團的活動效果進行抽樣調查，按分層抽樣的方法從社團成員中抽取人，結果合唱社被抽出人，則這三個社團人數共有
12．在△abc中，內角a，b，c的對邊分別為a，b，c，已知c＝，，若△abc的面積為 ，則
13．如圖，f1，f2是雙曲線c：(a＞0，b＞0) 的左、右焦點，過f1的直線與的左、右兩支分別交於a，b兩點．若 | ab | : | bf2 | :
| af2 |＝3 : 4 : 5，則雙曲線的離心率為
（二）選做題（14-15題，考生只能從中選做一題）
14．（座標系與引數方程選做題）在直角座標系xoy中， 已知曲線： , (為引數）與曲線 ：,（為引數）相交於兩個點、，則線段的長為
15．（幾何證明選講選做題）如圖，pab、pcd為⊙o的兩條割線，
若pa=5，ab=7，cd=11，ac=2，則bd等於
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16．（本小題滿分12分）
設向量a＝，b＝，θ為銳角．
（1）若a·b＝，求sinθ＋cosθ的值；
（2）若a∥b，求sin(2θ＋)的值．
17．（本小題滿分12分）
某中學校本課程共開設了a，b，c，d共4門選修課，每個學生必須且只能選修1門選修課，現有該校的甲、乙、丙3名學生：
（1）求這3名學生選修課所有選法的總數；
（2）求恰有2門選修課沒有被這3名學生選擇的概率；
（3）求a選修課被這3名學生選擇的人數的數學期望.
18．（本小題滿分14分）
已知某幾何體的直觀圖和三檢視如下圖所示，其正檢視為矩形，側檢視為等腰直角三角形，俯檢視為直角梯形
（1）求證：； （2）求證：；
（3）設為中點，在邊上找一點，使平面,並求的值.
19．(本題滿分14分)
已知橢圓：，左、右兩個焦點分別為、，上頂點，為正三角形且周長為6.
（1）求橢圓的標準方程及離心率；
（2）為座標原點，是直線上的乙個動點，求的最小值，並求出此時點的座標．
20．(本小題滿分14分)
已知函式，.
（1）如果函式在上是單調減函式，求的取值範圍；
（2）是否存在實數，使得方程在區間內有且只有兩個不相等的實數根？若存在，請求出的取值範圍；若不存在，請說明理由．
21．（本題滿分14分）
已知正項數列的前項和為，且 .
（1）求的值及數列的通項公式；
（2）求證：；
（3）是否存在非零整數，使不等式
對一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
珠海市2012~2013學年第一學期普通高中學生學業質量監測
高三理科數學試題參***及評分標準
一、選擇題：cabd aadb
二、填空題：
9．函式的導函式 ．
10．在遞增等比數列中，，則公比
11．某學校三個社團的人員分布如下表（每名同學只參加乙個社團）：
學校要對這三個社團的活動效果進行抽樣調查，按分層抽樣的方法從社團成員中抽取人，結果合唱社被抽出人，則這三個社團人數共有
12．在△abc中，內角a，b，c的對邊分別為a，b，c，已知c＝，，若△abc的面積為，則
13．如圖，f1，f2是雙曲線c： (a＞0，b＞0) 的左、右焦點，過f1的直線與的左、右兩支分別交於a，b兩點．若 | ab | : | bf2 | :
| af2 |＝3 : 4 : 5，則雙曲線的離心率為
（二）選做題（14-15題，考生只能從中選做一題）
14．（座標系與引數方程選做題）在直角座標系xoy中， 已知曲線： , (為引數）與曲線：,（為引數）相交於兩個點、，則線段的長為
15．（幾何證明選講選做題）如圖，pab、pcd為⊙o的兩條割線，
若pa=5，ab=7，cd=11，ac=2，則bd等於
9、 10、2 11、150 12、
13、 14、 4 15、 6
11.解答題：12+12+14+14+14+14=80
16．（本小題滿分12分）
設向量a＝，b＝，θ為銳角．
（1）若a·b＝，求sinθ＋cosθ的值；
（2）若a∥b，求sin(2θ＋)的值．
17．（本小題滿分12分）
某中學校本課程共開設了a，b，c，d共4門選修課，每個學生必須且只能選修1門選修課，現有該校的甲、乙、丙3名學生：
（1）求這3名學生選修課所有選法的總數；
（2）求恰有2門選修課沒有被這3名學生選擇的概率；
（3）求a選修課被這3名學生選擇的人數的數學期望.
18．（本小題滿分14分）
已知某幾何體的直觀圖和三檢視如下圖所示，其正檢視為矩形，側檢視為等腰直角三角形，俯檢視為直角梯形
（1）求證：； （2）求證： ；
（3）設為中點，在邊上找一點，使平面,並求的值.
19．(本題滿分14分)
已知橢圓：，左、右兩個焦點分別為、，上頂點，為正三角形且周長為6.
（1）求橢圓的標準方程及離心率；
（2）為座標原點，是直線上的乙個動點，求的最小值，並求出此時點的座標．
20．(本小題滿分14分)
已知函式，.
（1）如果函式在上是單調減函式，求的取值範圍；
（2）是否存在實數，使得方程在區間內有且只有兩個不相等的實數根？若存在，請求出的取值範圍；若不存在，請說明理由．
21．（本題滿分14分）
已知正項數列的前項和為，且.
（1）求的值及數列的通項公式；
（2）求證： ；
（3）是否存在非零整數，使不等式
對一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
三、解答題：
16．（本小題滿分12分）
解：（1） 因為a·b＝2＋sinθcosθ＝，所以sinθcos3分
所以 (sinθ＋cosθ)2＝1＋2 sinθcosθ＝．
又因為θ為銳角，所以sinθ＋cos6分
（2） 解法一因為a∥b，所以tanθ＝28分
所以 sin2θ＝2 sinθcosθ＝＝＝，
cos2θ＝cos2θ－sin210分
所以sin(2θ＋)＝sin2θ＋cos2θ
12分解法二因為a∥b，所以tanθ＝28分
所以 sinθ＝，cosθ＝．
因此 sin2θ＝2 sinθcosθ＝， cos2θ＝cos2θ－sin210分
所以sin(2θ＋)＝sin2θ＋cos2θ12分
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