北京市西城區2010——2011學年度第一學期期末試卷（北區）
九年級數學2011.1
一、選擇題（本題共32分，每小題4分）
下面各題均有四個選項，其中只有乙個是符合題意的．
1. 拋物線的對稱軸為（ ）.
a．直線 b．直線 c．直線 d．直線
2. 如圖，ab為⊙o的直徑，點c在⊙o上，若∠c=15°，
則∠boc
a．60b．45° c．30° d．15°
3. 如圖，在8×4的矩形網格中，每格小正方形的邊長都
是1，若△abc的三個頂點在圖中相應的格點上，則
tan∠acb的值為（ ）.
a．1 b． c． d
4．用配方法將化成的形式為（ ）.
ab cd．
5．如圖，將△abc的三邊分別擴大一倍得到△
（頂點均在格點上），若它們是以p點為位似中心的
位似圖形，則p點的座標是（ ）.
ab．cd．6. 某商店購進一種商品，單價為30元．試銷中發現這
種商品每天的銷售量p（件）與每件的銷售價（元）滿足關係：.
若商店在試銷期間每天銷售這種商品獲得200元的利潤，根據題意，下面所列方程
正確的是（ ）.
a． b．
cd．7. 如圖，△oab中，oa=ob，∠a=30°，⊙o與ab相切，
切點為e，並分別交oa，ob於c，d兩點，連線cd.
若cd等於，則扇形oced的面積等於（ ）.
a．π b．π c．π d．π
8. 如圖，oa=4，線段oa的中點為b，點p在以o為圓心，
ob為半徑的圓上運動，pa的中點為q.當點q也落在
⊙o上時，cos∠oqb的值等於（ ）.
a． bcd．
二、填空題（本題共16分，每小題4分）
9. 如圖，在△abc中，de∥ab分別交ac，bc於點d，e，
若ad=2，cd=3，則△cde與△cab的周長比為
10. 兩圓的半徑分別為3cm和4cm，若圓心距為5cm，則這兩圓的位置關係為
11. 如圖，平面直角座標系xoy中，點a，以oa為半徑作⊙o，
若點p，b都在⊙o上，且四邊形aopb為菱形，則點p的座標
為12．拋物線（a ≠ 0）滿足條件：（1）；（2）；
（3）與x軸有兩個交點，且兩交點間的距離小於2．以下有四個結論：①；
②；③；④，其中所有正確結論的序號是
三、解答題（本題共31分，第13～17題每小題5分，第18題6分）
13．計算：．
14．若關於x的方程有實數根．
（1）求a的取值範圍；
（2）若a為符合條件的最小整數，求此時方程的根．
15．已知：如圖，在rt△abc中，∠c=90°，∠abc=60°，
ac=，d為cb延長線上一點，且bd=2ab．
求ad的長．
16．右圖為拋物線的一部分，它經過a，
b兩點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）將此拋物線向左平移3個單位，再向下平移1個單位，
求平移後的拋物線的解析式．
17. 如圖，熱氣球的探測器顯示，從熱氣球看一棟高樓的頂部b
的仰角為45°，看這棟高樓底部c的俯角為60°，熱氣球與高
樓的水平距離ad為50m，求這棟樓的高度.（取1.414，
取1.732）
18．對於拋物線.
（1）它與x軸交點的座標為 ，與y軸交點的座標為 ，頂點座標為 ；
（2）在座標系中利用描點法畫出此拋物線；
（3）利用以上資訊解答下列問題：若關於x的一元二次方程
（t為實數）在＜x＜的範圍內有
解，則t的取值範圍是
四、解答題（本題共19分，第20題4分，其餘每小題5分）
19．已知：如圖，在△abc中，ab=ac= 5，bc= 8，
d，e分別為bc，ab邊上一點，∠ade=∠c．
（1）求證：△bde∽△cad；
（2）若cd=2，求be的長．
20．兩個長為2，寬為1的矩形abcd和矩形efgh如圖1所示擺放在直線l上，de=2，將矩形abcd繞點d順時針旋轉角（） ，將矩形efgh繞點e逆時針旋轉相同的角度．
（1）當兩個矩形旋轉到頂點c，f重合時（如圖2），∠dce= °，點c到直線l的距離等於
（2）利用圖3思考：在旋轉的過程中，矩形abcd和矩形efgh重合部分為正方形時
21．已知：如圖，ab是⊙o的直徑，ac是弦，od⊥ac於
點e，交⊙o於點f，連線bf，cf，∠d=∠bfc.
（1）求證：ad是⊙o的切線；
（2）若ac=8，tanb =，求ad的長.
22．請閱讀下面材料：
若， 是拋物線（a ≠ 0）上不同的兩點，證明直線為此拋物線的對稱軸.
有一種方法證明如下：
證明：∵ ，是拋物線（a ≠ 0）上不同的兩點，
且≠.①-②得.
∴.∴. 又∵ 拋物線（a ≠ 0）的對稱軸為，
∴ 直線為此拋物線的對稱軸.
（1）反之，如果， 是拋物線（a ≠ 0）上不同的
兩點，直線為該拋物線的對稱軸，那麼自變數取，時函式值相等嗎？寫出你的猜想，並參考上述方法寫出證明過程；
（2）利用以上結論解答下面問題：
已知二次函式當x = 4 時的函式值與x = 2007 時的函式值相等，求x = 2012時的函式值.
五、解答題（本題共22分，第23題7分，第24題7分，第25題8分）
23. 已知關於x的一元二次方程.（其中m為實數）
（1）若此方程的乙個非零實數根為k，
① 當k = m時，求m的值；
② 若記為y，求y與m的關係式；
（2）當＜m＜2時，判斷此方程的實數根的個數並說明理由.
24. 已知拋物線（其中a ≠ c且a ≠0）.
（1）求此拋物線與x軸的交點座標；（用a，c的代數式表示）
（2）若經過此拋物線頂點a的直線與此拋物線的另乙個交點為，
求此拋物線的解析式；
（3）點p在（2）中x軸上方的拋物線上，直線與 y軸的交點為c，若
，求點p的座標；
（4）若（2）中的二次函式的自變數x在n≤x＜（n為正整數）的範圍內取值時，記它的整數函式值的個數為n， 則n關於n的函式關係式為 .
25. 含30°角的直角三角板abc中，∠a=30°.將其繞直角頂點c順時針旋轉角（且≠ 90°），得到rt△，邊與ab所在直線交於點d，過點 d作de∥交邊於點e，連線be.
（1）如圖1，當邊經過點b時
（2）在三角板旋轉的過程中，若∠cbd的度數是∠cbe度數的m倍，猜想m的值並證明你的結論；
（3） 設 bc=1，ad=x，△bde的面積為s，以點e為圓心，eb為半徑作⊙e，當s=
時，求ad的長，並判斷此時直線與⊙e的位置關係.
北京市西城區2010 — 2011學年度第一學期期末試卷（北區）
九年級數學參***及評分標準 2011.1
一、選擇題（本題共32分，每小題4分）
二、填空題（本題共16分，每小題4分）
9.. 10. 相交. 11.，.（每個2分）
12.②，④.（寫對乙個給2分，每寫乙個錯誤答案扣1分，最低0分不倒扣分）
三、解答題（本題共31分，第13～17題每小題5分，第18題6分）
13．解：
3分5分14．解：（11分
∵ 該方程有實數根，
∴≥02分
解得a3分
（2）當a為符合條件的最小整數時，a4分
此時方程化為，方程的根為．…………………5分
15．解：在rt△abc中，∠c=90°，∠abc=60°，ac=，
bc=1．……………………2分
d為cb延長線上一點，bd=2ab ，
∴ bd=4，cd=54分
5分16．解：（1）∵ 拋物線經過a，b兩點，1分
西城區初三數學試卷 北區
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