必修4檢測題
總分：150分
一單選題 (共12題 ，總分值60分 )
1. 已知是第二象限角， ，則sin2 =（ ） （5 分）
25 分）
3. 函式最小正週期是 （5 分）
4. 在中，已知是中點，設 , ，則 （ ） （5 分）
5. 已知向量 ，則下列關係正確的是（ ） （5 分）
6. 若 ，且 ，則 （ ） （5 分）
7. 函式f(x)= (x∈(-π,0)∪(0,π))的圖象可能是（ ） （5 分）
8. 已知f（x）＝sinx＋ cosx（x∈r），函式y＝f（x＋φ）的圖象關於直線x＝0對稱，則φ的值可以是（ ） （5 分）
9. 已知平面向量滿足 ， 與的夾角為120°，若 ，則實數m的值為（ ） （5 分）
10. 平行四邊形中是平行四邊形所在平面內一點，且 ，若 ，則的取值範圍為 （ ） （5 分）
11. 如圖，在平面四邊形abcd中，ab⊥bc，ad⊥cd，∠bad＝120°，ab＝ad＝1。 若點e為邊cd上的動點，則的最小值為
（5 分）
12. 已知函式f(x)=asin(ωx+φ)(a＞0,ω＞0,|φ|＜ )的部分圖象如圖所示,把f(x)的圖象向右平移個單位長度得到g(x)的圖象,則g(x)的單調遞增區間為( )
（5 分）
二填空題 (共4題 ，總分值20分 )
13. 已知定義在r上的函式y=f（x）對任意實數r滿足①f（x）=f（﹣x）;②f（﹣x+π）=f（x）且當x∈[0， ]時，f（x）=sinx，則f5 分）
14. 已知函式的單調遞減區間為5 分）
15. 已知非零向量 ，滿足 ，若 ,向量夾角的範圍是5 分）
16. 給出下列命題：
①若是第一象限的角，且 ，則 ；
②存在實數x，使 ；
③若 ，則 ；
④函式是偶函式；
⑤函式的圖象向左平移個單位，得到的圖象。
其中正確命題的序號是把所有正確命題的序號都填上）。 （5 分）
三解答題（簡答題） (共6題 ，總分值70分 )
17. 若函式f（x）是奇函式，當x＞0時，f（x）=x﹣sinx，求當x＜0時，f（x）的解析式． （10 分）
18. 求值：
（1） ；
（2） （12 分）
19. 求函式y＝－cosx的單調區間。 （12 分）
20. 已知函式 ．
（1）求函式的最小正週期；
（2）求函式在區間上的最大值和最小值． （12 分）
21. 已知為銳角， ， 。
（1）求的值;
（2）求的值。 （12 分）
22. 函式f（x）的定義域是r，對任意實數a，b都有f（a）+f（b）=f（a+b）．當x＞0時，f（x）＞0且f（2）=3．
（1）判斷的奇偶性、單調性;
（2）求在區間[﹣2，4]上的最大值、最小值;
（3）當時，f（cos2θ﹣3）+f（4m﹣2mcosθ）＞0對所有θ都成立，求實數m的取值範圍． （12 分）
一單選題 (共12題 ，總分值60分 )
1. 答案：c
解析過程：略
2. 答案：d
解析過程：試題分析： .
考點：運用誘導公式求值
點評：本題考查利用誘導公式進行化簡求值，把要求的式子化為-sin60°，是解題的關鍵．
3. 答案：c
解析過程：本題考查三角函式的週期。由週期公式 ，可知所求函式的最小正週期是 。
4. 答案：a
解析過程：本題主要考查平面向量的基本定理及線性運算.
.故選a.
5. 答案：c
解析過程：
6. 答案：a
解析過程：因為 ，所以 ，即 ，
因為 ，所以 ，所以 ，
所以 ，即 ，又因為 ，
故 ， ，所以 。
命題依據：本題考查倍角公式和降冪公式。考查運算求解能力。
解題技巧：三角恒等變換中，高次式一般要先降次。
7. 答案：c
解析過程：本題主要考查函式的圖象問題,考查考生的識圖能力.解題時,先認真分析函式的奇偶性、單調性、最值,分別由這些性質排除.
通解 f(x)= 是偶函式,故排除a.令g(x)=x-sin x,x∈(0,π),則g'(x)=1-cos x,x∈(0,π),易知g'(x)＞0,即g(x)在(0,π)上是增函式,又g(x)＞g(0)=0,x∈(0,π),∴f(x)= ＞1,排除b,d,故選c.
優解當x∈(0, )時,由三角不等式可得0＜sin x＜x,∴f(x)= ＞1,故選c.
8. 答案：d
解析過程：f（x）＝2sin ，y＝f（x＋φ）＝2sin 的圖象關於x＝0對稱，即為偶函式kπ，φ＝kπ＋ （k∈z），當k＝0時，φ＝ 。
9. 答案：d
解析過程：
10. 答案：a
解析過程：令 ，則
由得即 從而即該方程有解
所以解得
所以的取值範圍為 ，故選a.
解題技巧:對於求雙元最值的問題，當不易求解時，可以考慮整體換元，構造關於乙個變元的方程，該方程有解，從而使得判別式大於等於零，從而問題得解.
11. 答案：a
解析過程：由題意建立平面直角座標系，然後結合點的座標得到數量積的座標表示，最後結合二次函式的性質整理計算即可求得最終結果。
詳解：建立如圖所示的平面直角座標系，則
點e在cd上，則 ，設 ，則：
，即 ，
據此可得： ，且：
，由數量積的座標運算法則可得：
，整理可得： ，
結合二次函式的性質可知，當時， 取得最小值 。
本題選擇a選項。
點睛：求兩個向量的數量積有三種方法：利用定義;利用向量的座標運算;利用數量積的幾何意義。具體應用時可根據已知條件的特徵來選擇，同時要注意數量積運算律的應用。
12. 答案：a
解析過程：本題考查三角函式的圖象變換、週期性和單調性、解析式的求解等基礎知識,考查考生的數形結合思想、運算求解能力.求解時,先求出f(x)的解析式,進而得到g(x)的解析式,再求出g(x)的單調遞增區間.
解法一由題圖可知a=2,t=4所以ω=2,所以2× +φ= +2kπ(k∈z).因為|φ|＜ ,所以φ= ,因此f(x)=2sin(2x+ ).將f(x)的圖象向右平移個單位長度得到g(x)=2sin(2x- )的圖象,令- +2kπ≤2x- +2kπ(k∈z),解得- +kπ≤x≤ +kπ(k∈z),所以g(x)的單調遞增區間為[- +kπ, +kπ](k∈z),選a.
解法二由題圖可知a=2,t=4所以ω=2,所以2× +φ= +2kπ(k∈z).因為|φ|＜ ,所以φ= ,因此f(x)=2sin(2x+ ).令- +2kπ≤2x+ +2kπ(k∈z),解得- +kπ≤x≤ +kπ(k∈z),所以f(x)的單調遞增區間為[- +kπ, +kπ](k∈z).
由於把f(x)的圖象向右平移個單位長度得到g(x)的圖象,所以g(x)的單調遞增區間為[- +kπ, +kπ](k∈z),選a.
二填空題 (共4題 ，總分值20分 )
13. 答案：
解析過程：由題意可得函式為週期為π的偶函式，可得f（﹣ ）=f（ ）=f（ ）=sin ，計算可得．
解：∵f（x）=f（﹣x），
∴f（﹣x+π）=f（x）=f（﹣x），
∴函式y=f（x）為週期函式，且週期為π，
∴f（﹣ ）=f（﹣2π﹣ ）=f（ ）
=f（ ）=sin =
14. 答案： ，
解析過程： ，
所以 ， ,即 ， .
所以函式的單調遞減區間為 ， .
解題技巧:此類題型要熟練掌握三角函式相關公式，熟悉三角函式的圖象與性質.
15. 答案：
解析過程：因為 ，而 ，即 ，即 ，所以 ，即 ，所以 ，向量夾角的範圍是 .
解題技巧:處理向量的模長問題，最主要的是把向量進行平方以後再處理.
16. 答案：③④
解析過程：
三解答題（簡答題） (共6題 ，總分值70分 )
17. 答案：見解析
解析過程：由題意設x＜0，則﹣x＞0，代入解析式化簡，再由奇函式的性質求出f（x）即可．
解：設x＜0，則﹣x＞0，
∴f（﹣x）=﹣x﹣sin（﹣x）=﹣x+sin x，
又∵f（x）是奇函式，
∴f（﹣x）=﹣f（x）
∴f（x）=x﹣sin x（x＜0）．
18. 答案：（1） ；（2）
解析過程：（1）原式
；（2）原式
.19. 答案：單調增區間為［2kπ，（2k＋1）π］（k∈z），單調減區間為［（2k－1）π，2kπ］（k∈z）
解析過程：由y＝－cosx的圖象可知：
單調增區間為［2kπ，（2k＋1）π］（k∈z）
單調減區間為［（2k－1）π，2kπ］（k∈z）
20. 答案：（1） 的最小正週期為 ；（2） 的最大值為 ，最小值為 ．
解析過程：（1）降冪後利用輔助角公式化為形式；（2）把看成乙個整體，求出範圍，再利用單調性求出最大值和最小值．
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高中數學必修4複習
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