聰明人的三門問題

作者：小五

**：《數學大王·中高年級》2023年第04期

三門問題又被稱為蒙提霍爾問題，出自美國乙個電視益智遊戲節目，這個問題一被提出就引起了相當大的爭議。

在一次有獎競猜活動中，參賽者需要面對三扇門的**。參賽者會看見三扇關著的門，其中一扇門的後面藏有一輛汽車，選中這扇門就可以獲得汽車，而另外兩扇門後面則各藏有一頭山羊。雖然山羊和汽車一樣都可以充當交通工具，但和汽車相比起來，山羊還是便宜了一些，所以參賽者的目標是——選中汽車。

當參賽者選定了一扇門但還未開啟它的時候，知道門後情況的節目主持人開啟另外兩扇門中的一扇，出現了一頭山羊。然後，主持人會問參賽者要不要改變主意選擇另一扇關著的門。這時，參賽者就有這樣的疑問了：

換另一扇門是否會增加獲得汽車的概率？

假設參賽者最初選擇的是1號門，現在主持人開啟了3號門，後面是一頭山羊。如果你是參賽者，你會改變主意選擇2號門嗎？

對於這個問題，一位高智商女性瑪麗蓮·莎凡特給出了她的答案，她認為參賽者應該改變主意選擇2號門，因為這個選擇將會使他獲得汽車的概率增加一倍。這個答案引起了軒然大波，因為它不合乎大多數人的直覺。

事實上，大多數人的回答都是「不改變主意，堅持選擇1號門」。他們認為不應該更換選擇，因為汽車在哪扇門的後面是不能改變的，無論改不改變選擇，參賽者選中汽車的概率都是50%。所以，順從自己最初的直覺會比較好。

瑪麗蓮給出自己的答案後，數千封投訴信紛至沓來。但很快，她漂亮地解釋了自己的答案，讓大家心服口服。她是怎麼解釋的呢？

參賽者選中一扇門時，有三種可能情況，它們的概率相等，都是1/3：

我們對比一下會發現，在後兩種情況下，參賽者都可以通過更換選擇而獲得汽車。第一種情況是唯一一種參賽者更換選擇會吃虧的情況，所以改變主意而獲得汽車的概率是2/3。