浦東新區2023年高考**
數學（文）試卷
2014.04
注意：1．答卷前，考生務必在答題紙上將學校、班級、姓名、考號填寫清楚；
2．本試卷共有23道試題，滿分150分，考試時間120分鐘．
一、填空題（本大題滿分56分）本大題共有14題，考生應在答題紙編號的空格內直接填寫結果，每個空格填對得4分，否則一律得零分.
1. 已知全集，若集合，則
2. 雙曲線的漸近線方程為
3.函式的最大值為
4.已知直線和，若，則 .
5.函式的反函式為，如果函式的影象過點，那麼函式的影象一定過點
6. 已知數列為等差數列，若，，則的前項的和
7.乙個與球心距離為的平面截球所得的圓的面積為，則球的體積為
8.把3本不同的語文書、7本不同的數學書隨機的排在書架上，則語文書排在一起的概率是
9.設，的二項展開式中含項的係數為7，則____．
10.乙個用若干塊大小相同的立方塊搭成的立體圖形，主檢視和俯檢視是同一圖形(如圖)，那麼搭成這樣乙個立體圖形最少需要個小立方塊．
11.已知資料的均值為6，方差為8，則
12.在中, 角所對的邊長,的面積為,外接圓半徑，則的周長為
13．拋物線的焦點為f，點為該拋物線上的動點，又點，則的最小值為
14.已知函式的定義域為，值域為集合的非空真子集，設點，，，且，則滿足條件的函式有________個．
二、選擇題（本大題滿分20分）本大題共有4題，每題有且只有乙個正確答案，考生應在答題紙的相應編號上，將代表答案的小方格塗黑，選對得5分，否則一律得零分.
15. 「」是「」的( )
（a）充分而不必要條件 （b）必要而不充分條件
（c）充分必要條件d）既不充分也不必要條件
16. 設x、y均是實數，i是虛數單位，複數的實部大於0，虛部不小於0，則複數在復平面上的點集用陰影表示為下圖中的（ ）
17.能夠把橢圓的周長和面積同時分為相等的兩部分的函式稱為橢圓的「可分函式」，下列函式不是橢圓的「可分函式」為（ ）
（a）（b）（c）（d）
18.方程的解的個數為（ ）
（a）2 (b）4 （c）6 （d）8
三、解答題（本大題滿分74分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應編號規定的區域內寫出必要的步驟.
19．（本題滿分12分）本題共有2個小題，第（1）小題滿分6分，第（2）小題滿分6分.
如圖，在直三稜柱中，，，，是的中點，點m**段上.
（1）當為中點時，求異面直線與所成角的大小.
（2）指出直線與平面的位置關係（不用證明），並求三稜錐的體積.
20．（本題滿分14分）本題共有2個小題，第（1）小題滿分6分，第（2）小題滿分8分.
如圖，abcd是邊長為10海浬的正方形海域.現有一架飛機在該海域失事，兩艘海事搜救船在處同時出發，沿直線、向前聯合搜尋，且（其中點、分別在邊、上），搜尋區域為平面四邊形圍成的海平面.設，搜尋區域的面積為.
（1）試建立與的關係式，並指出的取值範圍；
（2）求的最大值，並求此時的值.
21. （本題滿分14分）本題共有2個小題，第（1）小題滿分6分，第（2）小題滿分8分.
已知定義在上的函式，對任意正整數、，都有，且.
（1）若對任意正整數，有，求、的值，並證明為等比數列；
（2）若對任意正整數，使得不等式恆成立，求實數的取值範圍．
22. （本題滿分16分）本題共有3個小題，第（1）小題滿分4分，第（2）小題滿分6分，第（3）小題滿分6分.
定義區間，，，的長度均為，其中．
（1）已知函式的定義域為，值域為，寫出區間長度的最大值與最小值.
（2）已知函式，將函式的影象的每點橫座標縮短到原來的倍，然後向左平移個單位，再向上平移個單位，得到函式的影象，區間（且）滿足：在上至少含有個零點，在所有滿足上述條件的中，求區間長度的最小值．
（3）已知函式的定義域為實數集,滿足 (是的非空真子集) . 集合, ,求的值域所在區間長度的總和．
23．（本題滿分18分）本題共有3個小題，第（1）小題滿分4分，第（2）小題滿分6分，第（3）小題滿分8分.
已知中心在原點，左焦點為的橢圓的左頂點為，上頂點為，到直線的距離為.
(1) 求橢圓的方程；
(2) 過的直線交橢圓於、兩點，交直線於點，若是、的等比中項，求直線的方程；
(3) 圓以橢圓的兩焦點為直徑，圓的任意一條切線交橢圓於兩點、，試求弦長的取值範圍.
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數學（文）試卷參***
一、填空題
18．；
29．；
3．510．5 ；
411．2；
512．；
613．；
714．20.
二、選擇題： 15．a 16．a 17．d 18．c
三、解答題
19．（本題滿分12分）本題共有2個小題，第（1）小題滿分6分，第（2）小題滿分6分.
解：（1）∵
∴或其補角是異面直線與所成的角3分
連線，則三角形為直角三角形，且，，
5分∴異面直線與所成的角為.………6分
（2）//平面即∥平面（不必證明7分
∵， ，平面
所以到平面的距離為ca=1.
∥平面，
可知到平面的距離與到平面的距離相等，為ca=1. …………9分
又，∴的面積11分
12分20．（本題滿分14分）本題共有2個小題，第（1）小題滿分6分，第（2）小題滿分8分.
解：（12分
4分6分
（2）令8分
……………10分
，（當且僅當時，即，等號成立）…12分
當時，搜尋區域面積的最大值為（平方海里）
此時14分
21. （本題滿分14分）本題共有2個小題，第（1）小題滿分6分，第（2）小題滿分8分.
解：（1）令，得，
則1分令，得，則， ……2分
令，得，
即4分則，
所以，數列是等比數列，公比，首項6分
（2）令，得，即
則是等差數列，公差為2，首項.
故8分 設，則
當時，，即
當時，，即時，是遞減數列.
所以11分
從而，即12分
則，解得14分
22. （本題滿分16分）本題共有3個小題，第（1）小題滿分4分，第（2）小題滿分6分，第（3）小題滿分6分.
解：（1），解得或，
，解得，……………………2分
畫圖可得：區間長度的最大值為，最小值為. …………………4分
（26分
或，即的零點相離間隔依次為和8分
故若在上至少含有個零點，則的最小值為
10分（312分
當13分
當14分
所以時15分
所以值域區間長度總和為16分
23．（本題滿分18分）本題共有3個小題，第（1）小題滿分4分，第（2）小題滿分6分，第（3）小題滿分8分.
解：(1)設橢圓方程為：（）
所以直線方程為1分
∴到直線距離為……2分
又，解得3分
故：橢圓方程為4分
(2) 當直線與軸重合時，，而，所以
故可設直線方程為5分
代人橢圓的方程，得：，即：
∴記7分
∵，即，∴
∴，解得：，符合，所以…………… 9分
故直線的方程為，即10分
(3) 橢圓的兩焦點為、，所以圓的方程為：
①若切線垂直於軸，則其方程為：，易求得……………… 11分
②若切線不垂直於軸，可設其方程為：
所以將代人橢圓方程，得：
∴（*）…13分
記、兩點的座標分別為、
此時：，
∴ ………………15分
令，所以，
∴…………17分
綜合①②,得：弦長的取值範圍為18分
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