2、減法:
減去乙個數等於加上這個數的相反數。
3、乘法:
(1)兩數相乘,同號取正,異號取負,並把絕對值相乘。
(2)n個實數相乘,有乙個因數為0,積就為0;若n個非0的實數相乘,積的符號由負因數的個數決定,當負因數有偶數個時,積為正;當負因數為奇數個時,積為負。
(3)乘法可使用乘法交換律、乘法結合律、乘法分配律。
4、除法:
(1)兩數相除,同號得正,異號得負,並把絕對值相除。
(2)除以乙個數等於乘以這個數的倒數。
(3)0除以任何數都等於0,0不能做被除數。
5、乘方與開方:乘方與開方互為逆運算。
6、實數的運算順序:乘方、開方為**運算,乘、除為二級運算,加、減是一級運算,如果沒有括號,在同一級運算中要從左到右依次運算,不同級的運算,先算高階的運算再算低階的運算,有括號的先算括號裡的運算。無論何種運算,都要注意先定符號後運算。
六、有效數字和科學記數法
1、科學記數法:設n>0,則n= a×(其中1≤a<10,n為整數)。
2、有效數字:乙個近似數,從左邊第乙個不是0的數,到精確到的數字為止,所有的數字,叫做這個數的有效數字。精確度的形式有兩種:(1)精確到那一位;(2)保留幾個有效數字。
例題:例1、已知實數a、b在數軸上的對應點的位置如圖所示,且。
化簡:分析:從數軸上a、b兩點的位置可以看到:a<0,b>0且
所以可得:解:
例2、若,比較a、b、c的大小。
分析:;;c>0;所以容易得出:
a<b<c。解:略
例3、若互為相反數,求a+b的值
分析:由絕對值非負特性,可知,又由題意可知:
所以只能是:a–2=0,b+2=0,即a=2,b= –2 ,所以a+b=0 解:略
例4、已知a與b互為相反數,c與d互為倒數,m的絕對值是1,求的值。
解:原式=
例5、計算:(1) (2)
解:(1)原式=
(2)原式==
代數部分
第二章:代數式
基礎知識點:
一、代數式
1、代數式:用運算符號把數或表示數的字母鏈結而成的式子,叫代數式。單獨乙個數或者乙個字母也是代數式。
2、代數式的值:用數值代替代數裡的字母,計算後得到的結果叫做代數式的值。
3、代數式的分類:
二、整式的有關概念及運算
1、概念
(1)單項式:像x、7、,這種數與字母的積叫做單項式。單獨乙個數或字母也是單項式。
單項式的次數:乙個單項式中,所有字母的指數叫做這個單項式的次數。
單項式的係數:單項式中的數字因數叫單項式的係數。
(2)多項式:幾個單項式的和叫做多項式。
多項式的項:多項式中每乙個單項式都叫多項式的項。乙個多項式含有幾項,就叫幾項式。
多項式的次數:多項式裡,次數最高的項的次數,就是這個多項式的次數。不含字母的項叫常數項。
公升(降)冪排列:把乙個多項式按某乙個字母的指數從小(大)到大(小)的順序排列起來,叫做把多項式按這個字母公升(降)冪排列。
(3)同類項:所含字母相同,並且相同字母的指數也分別相同的項叫做同類項。
2、運算
(1)整式的加減:
合併同類項:把同類項的係數相加,所得結果作為係數,字母及字母的指數不變。
去括號法則:括號前面是「+」號,把括號和它前面的「+」號去掉,括號裡各項都不變;括號前面是「–」號,把括號和它前面的「–」號去掉,括號裡的各項都變號。
添括號法則:括號前面是「+」號,括到括號裡的各項都不變;括號前面是「–」號,括到括號裡的各項都變號。
整式的加減實際上就是合併同類項,在運算時,如果遇到括號,先去括號,再合併同類項。
(2)整式的乘除:
冪的運算法則:其中m、n都是正整數
同底數冪相乘:;同底數冪相除:;冪的乘方:積的乘方:。
單項式乘以單項式:用它們係數的積作為積的係數,對於相同的字母,用它們的指數的和作為這個字母的指數;對於只在乙個單項式裡含有的字母,則連同它的指數作為積的乙個因式。
單項式乘以多項式:就是用單項式去乘多項式的每一項,再把所得的積相加。
多項式乘以多項式:先用乙個多項式的每一項乘以另乙個多項式的每一項,再把所得的積相加。
單項除單項式:把係數,同底數冪分別相除,作為商的因式,對於只在被除式裡含有字母,則連同它的指數作為商的乙個因式。
多項式除以單項式:把這個多項式的每一項除以這個單項,再把所得的商相加。
乘法公式:
平方差公式:;
完全平方公式:,
三、因式分解
1、因式分解概念:把乙個多項式化成幾個整式的積的形式,叫因式分解。
2、常用的因式分解方法:
(1)提取公因式法:
(2)運用公式法:
平方差公式:;完全平方公式:
(3)十字相乘法:
(4)分組分解法:將多項式的項適當分組後能提公因式或運用公式分解。
(5)運用求根公式法:若的兩個根是、,則有:
3、因式分解的一般步驟:
(1)如果多項式的各項有公因式,那麼先提公因式;
(2)提出公因式或無公因式可提,再考慮可否運用公式或十字相乘法;
(3)對二次三項式,應先嘗試用十字相乘法分解,不行的再用求根公式法。
(4)最後考慮用分組分解法。
四、分式
1、分式定義:形如的式子叫分式,其中a、b是整式,且b中含有字母。
(1)分式無意義:b=0時,分式無意義; b≠0時,分式有意義。
(2)分式的值為0:a=0,b≠0時,分式的值等於0。
(3)分式的約分:把乙個分式的分子與分母的公因式約去叫做分式的約分。方法是把分子、分母因式分解,再約去公因式。
(4)最簡分式:乙個分式的分子與分母沒有公因式時,叫做最簡分式。分式運算的最終結果若是分式,一定要化為最簡分式。
(5)通分:把幾個異分母的分式分別化成與原來分式相等的同分母分式的過程,叫做分式的通分。
(6)最簡公分母:各分式的分母所有因式的最高次冪的積。
(7)有理式:整式和分式統稱有理式。
2、分式的基本性質:
(1);(2)
(3)分式的變號法則:分式的分子,分母與分式本身的符號,改變其中任何兩個,分式的值不變。
3、分式的運算:
(1)加、減:同分母的分式相加減,分母不變,分子相加減;異分母的分式相加減,先把它們通分成同分母的分式再相加減。
(2)乘:先對各分式的分子、分母因式分解,約分後再分子乘以分子,分母乘以分母。
(3)除:除以乙個分式等於乘上它的倒數式。
(4)乘方:分式的乘方就是把分子、分母分別乘方。
五、二次根式
1、二次根式的概念:式子叫做二次根式。
(1)最簡二次根式:被開方數的因數是整數,因式是整式,被開方數中不含能開得盡方的因式的二次根式叫最簡二次根式。
(2)同類二次根式:化為最簡二次根式之後,被開方數相同的二次根式,叫做同類二次根式。
(3)分母有理化:把分母中的根號化去叫做分母有理化。
(4)有理化因式:把兩個含有二次根式的代數式相乘,如果它們的積不含有二次根式,我們就說這兩個代數式互為有理化因式(常用的有理化因式有:與; 與)
2、二次根式的性質:
(1);(2);(3)(a≥0,b≥0);(4)
3、運算:
(1)二次根式的加減:將各二次根式化為最簡二次根式後,合併同類二次根式。
(2)二次根式的乘法:(a≥0,b≥0)。
(3)二次根式的除法:
二次根式運算的最終結果如果是根式,要化成最簡二次根式。
例題:一、因式分解:
1、提公因式法:
例1、分析:先提公因式,後用平方差公式解:略
[規律總結]因式分解本著先提取,後公式等,但應把第乙個因式都分解到不能再分解為止,往往需要對分解後的每乙個因式進行最後的審查,如果還能分解,應繼續分解。
2、十字相乘法:
例2、(1);(2)
分析:可看成是和(x+y)的二次三項式,先用十字相乘法,初步分解。解:略
[規律總結]應用十字相乘法時,注意某一項可是單項的一字母,也可是某個多項式或整式,有時還需要連續用十字相乘法。
3、分組分解法:
例3、分析:先分組,第一項和第二項一組,第
三、第四項一組,後提取,再公式。解:略
[規律總結]對多項式適當分組轉化成基本方法因式分組,分組的目的是為了用提公因式,十字相乘法或公式法解題。
4、求根公式法:
例4、解:略
二、式的運算
巧用公式
例5、計算:
分析:運用平方差公式因式分解,使分式運算簡單化。解:略
[規律總結]抓住三個乘法公式的特徵,靈活運用,特別要掌握公式的幾種變形,公式的逆用,掌握運用公式的技巧,使運算簡便準確。
2、化簡求值:
例6、先化簡,再求值:,其中x= – 1 y =
[規律總結]一定要先化到最簡再代入求值,注意去括號的法則。
3、分式的計算:
例7、化簡
分析:–可看成解:略
[規律總結]分式計算過程中:(1)除法轉化為乘法時,要倒轉分子、分母;(2)注意負號
4、根式計算
例8、已知最簡二次根式和是同類二次根式,求b的值。
分析:根據同類二次根式定義可得:2b+1=7–b。解:略
[規律總結]二次根式的性質和運算是中考必考內容,特別是二次根式的化簡、求值及性質的運用是中考的主要考查內容。
代數部分
第三章:方程和方程組
基礎知識點:
一、方程有關概念
1、方程:含有未知數的等式叫做方程。
2、方程的解:使方程左右兩邊的值相等的未知數的值叫方程的解,含有乙個未知數的方程的解也叫做方程的根。
3、解方程:求方程的解或方判斷方程無解的過程叫做解方程。
4、方程的增根:在方程變形時,產生的不適合原方程的根叫做原方程的增根。
二、一元方程
1、一元一次方程
(1)一元一次方程的標準形式:ax+b=0(其中x是未知數,a、b是已知數,a≠0)
(2)一玩一次方程的最簡形式:ax=b(其中x是未知數,a、b是已知數,a≠0)
(3)解一元一次方程的一般步驟:去分母、去括號、移項、合併同類項和係數化為1。
(4)一元一次方程有唯一的乙個解。
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