harbin institute of technology
實驗報告
課程名稱： 數字訊號處理
實驗題目： 實驗一： 用fft作譜分析
院系： 航天學院
班級姓名
學號指導教師： 冀振元
實驗時間： 2023年10月
哈爾濱工業大學
實驗一： 用fft作譜分析
一、實驗目的
(1) 進一步加深dft演算法原理和基本性質的理解(因為fft只是dft的一種快速演算法， 所以fft的運算結果必然滿足dft的基本性質)。
(2) 熟悉fft演算法原理和fft子程式的應用。
(3) 學習用fft對連續訊號和時域離散訊號進行譜分析的方法，了解可能出現的分析誤差及其原因，以便在實際中正確應用fft。
二、實驗步驟
(1) 複習dft的定義、 性質和用dft作譜分析的有關內容。
(2) 複習fft演算法原理與程式設計思想， 並對照dit-fft運算流圖和程式框圖。
(3) 編制訊號產生子程式， 產生以下典型訊號供譜分析用：
圖 10.4.1
(4) 編寫主程式。圖 10.4.1 給出了主程式框圖， 供參考。
(5) 按實驗內容要求， 上機實驗， 並寫出實驗報告。
三、 上機實驗內容
(1) 畫出2 中所給出的訊號，並逐個進行譜分析。 下面給出針對各訊號的fft變換區間n以及對連續訊號x6(t)的取樣頻率fs， 供實驗時參考。
x1(n), x2(n), x3(n), x4(n), x5(n): n=8, 16
x6(t): fs=64(hz), n=16, 32, 64（n=0:1:69）
(2) 令x(n)=x4(n)+x5(n)， 用fft計算 8 點和 16 點離散傅利葉變換，
x(k)=dft［x(n)］
(3) 令x(n)=x4(n)+jx5(n)， 重複(2)。
四、實驗程式執行結果
1、對x1(n)做n點dft（使用fft實現），其中n=8、16
圖12、對x2(n)做n點dft（使用fft實現），其中n=8、16
圖23、對x3(n)做n點dft（使用fft實現），其中n=8、16
圖34、對x4(n)做n點dft（使用fft實現），其中n=8、16
圖45、對x5(n)做n點dft（使用fft實現），其中n=8、16
6、對x6(t)進行抽樣，抽樣頻率fs=64hz得x6（n），求x6（n）的n點dft，其中n=16、32、64
圖67、令x(n)=x4(n)+x5(n)， 用fft計算 8 點和 16 點離散傅利葉變換
圖78、令x(n)=x4(n)+jx5(n) ， 用fft計算 8 點和 16 點離散傅利葉變換
圖8五、實驗結果及誤差分析
實驗結果分析：
1、實驗1
（1）、圖1說明的8點dft和16點dft分別是的頻譜函式的8點和16點取樣；
（2）、圖2、圖3表明與的8點dft的模相等，因為。但是，當n=16時，與不滿足迴圈移位關係，此時與的16點dft的模不相等。
（4）、圖4所示的週期為8， n=8和n=16均是其週期的整數倍，得到正確的單一頻率正弦波的頻譜，僅在0.25π和1.75π處有2根單一譜線。
（5）、圖所示的週期為16， n=8不是其週期的整數倍，得到的頻譜不正確。 n=16是其乙個週期，得到正確的頻譜，僅在1.875π和0.125π處有2根單一譜線。
（6）、圖6所示，其中有3個頻率成分，。則的週期為0.5s 且取樣頻率。
變換區間n=16時，觀察時間tp=16t=0.25s，不是的整數倍週期，所以所得頻譜不正確。變換區間n=32,64 時，觀察時間tp=0.
5s，1s，是的整數週期，所以所得頻譜正確，圖中3根譜線正好位於處。變換區間n=64 時頻譜幅度是變換區間n=32 時2倍，這種結果正好驗證了用dft對中期序列譜分析的理論。
2、實驗2
如圖7所示x(n)=x4(n)+x5(n)的週期為16，所以n=8不是其週期的整數倍，得到的頻譜不正確， n=16是其乙個週期，得到正確的頻譜。
3、實驗3
比較圖4、圖5、圖7、圖8，發現圖7與圖8的16點的頻譜相同，是圖4與圖5的16點頻譜的疊加，但是8點頻譜則不同，這是由於n=8不是其週期的原因。
4、總結
（1）、對離散序列作離散傅利葉變換時，取樣的週期n要大於離散序列的長度m，即。才能得到正確的頻譜。當時，會發生混疊，從而導致頻譜錯誤。
（2）、離散傅利葉變換滿足線性關係，已知，如果，則。
（3）、如果dft[x(n)]=x(k),則re[x(n)]=idft[xe(k)],jim[x(n)]=idft[xo(k)],即離散傅利葉變換的對稱性。
六、思考題
1、在n=8時， x2(n)和x3(n)的幅頻特性會相同嗎? 為什麼? n=16呢?
答：當n=8時，x2(n)和x3(n)的幅頻特性相同；當n=16時，x2(n)和x3(n)的幅頻特性不同。
因為x2(n)和x3(n)的表示式不同。x2(n)=[1,2,3,4,4,3,2,1]，x3(n)=[4,3,2,1,1,2,3,4]。作頻譜分析時，依據公式，其中。
當n=8時，。，易知x2(k)=x3(k)。故x2(n)和 x3(n)的幅頻特性相同。
當n=16時，。，易知。即n=16時，x2(n)和 x3(n)的幅頻特性不同。
2、如果週期訊號的週期預先不知道， 如何用fft進行譜分析?
答：在用fft對訊號進行頻譜分析時，首先要對訊號進行取樣，使之變成離散訊號，然後就可按照前面的方法用fft對離散訊號進行頻譜分析。按照取樣定理，取樣頻率fs應當大於訊號最高頻率的2倍。
如果訊號的週期預先不知道，可以選擇乙個較大的取樣頻率，用試驗法逐步增大取樣頻率，直到滿足條件，幅頻特性較完整。
七、程式**
1、對x1(n)做n點dft（使用fft實現），其中n=8、16
程式：clear all;
x=[1,1,1,1];
n=8;
y1=fft(x,n);
n=0:n-1;
subplot(2,1,1);
stem(n,abs(y1));
axis([0,7,0,max(abs(y1))+1]);
title('x1(n)在n=8點的dft');
hold on;
n=16;
y2=fft(x,n);
n=0:n-1;
subplot(2,1,2);
stem(n,abs(y2));
axis([0,15,0,max(abs(y2))+1]);
title('x1(n)在n=16點的dft');
2、對x2(n)做n點dft（使用fft實現），其中n=8、16
程式：clear all;
x=[1,2,3,4,4,3,2,1];
n=8;
y1=fft(x,n);
n=0:n-1;
subplot(2,1,1);
stem(n,abs(y1));
axis([0,7,0,max(abs(y1))+1]);
title('x2(n)在n=8點的dft');
hold on;
n=16;
y2=fft(x,n);
n=0:n-1;
subplot(2,1,2);
stem(n,abs(y2));
axis([0,15,0,max(abs(y2))+1]);
title('x2(n)在n=16點的dft');
3、對x3(n)做n點dft（使用fft實現），其中n=8、16
程式：x=[4,3,2,1,1,2,3,4];
n=8;
y1=fft(x,n);
n=0:n-1;
subplot(2,1,1);
stem(n,abs(y1));
axis([0,7,0,max(abs(y1))+1]);
title('x3(n)在n=8點的dft');
hold on;n=16;
y2=fft(x,n);
n=0:n-1;
subplot(2,1,2);
stem(n,abs(y2));
axis([0,15,0,max(abs(y2))+1]);
title('x3(n)在n=16點的dft');
4、對x4(n)做n點dft（使用fft實現），其中n=8、16
程式：clear all;
t=0:19;
x=cos(pi*t/4);
n=8;
y1=fft(x,n);
n=0:n-1;
subplot(2,1,1);
stem(n,abs(y1));
axis([0,7,0,max(abs(y1))+1]);
title('x4(n)在n=8點的dft');
hold on;
n=16;
y2=fft(x,n);
n=0:n-1;
subplot(2,1,2);
stem(n,y2);
axis([0,15,0,max(abs(y2))+1]);
title('x4(n)在n=16點的dft');
5、對x5(n)做n點dft（使用fft實現），其中n=8、16
程式：clear all;
t=0:19;
x=sin(pi*t/8);
n=8;
y1=fft(x,n);
n=0:n-1;
subplot(2,1,1);
stem(n,abs(y1));
axis([0,7,0,6]);
title('x5(n)在n=8點的dft');
hold on;
n=16;
y2=fft(x,n);
n=0:n-1;
subplot(2,1,2);
stem(n,abs(y2));
axis([0,15,0,10]);
title('x5(n)在n=16點的dft');
6、對x6(t)進行抽樣，抽樣頻率fs=64hz得x6（n），求x6（n）的n點dft，其中n=16、32、64
程式：n=0:1:69;
fs=64;
t=n/fs;
x=cos(8*pi*t)+cos(16*pi*t)+cos(20*pi*t);
n=16;
y1=fft(x,n);
n=0:n-1;
subplot(3,1,1);
stem(n,abs(y1));
axis([0,15,0,max(abs(y1))+1]);
title('x6(n)在n=16點的dft');
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