石家莊鐵道大學
創新實踐實習報告
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完成時期 2023年7月2日
題目：兩跨連續鋼梁受10kn/m的均布力，已知截面尺寸0.1m*0.1m,每跨長度10m,
鋼的密度:每立方公尺7800kg,左跨彈性模量e=210gpa, 右跨彈性模量e=420gpa.
求跨中撓度。
一、理論求解
根據結構力學求解超靜定結構內力的力法和求解位移的圖乘法，可以求得跨中撓
度，解題如下：
（1）求原結構彎矩圖
基本結構如圖為兩跨簡支梁。
基本結構彎矩圖如下：
基本結構受均布力的彎矩圖如下：
p1= 0.510
p2=帶入公式p1m+p2=0得
m=疊加得出原結構彎矩圖如下
（2）圖乘法求跨中撓度
在所求位置和方向加上單位一的力，彎矩如圖：
上圖和原結構彎矩圖相乘即可得出跨中撓度，但是原結構彎矩圖比較複雜，因此可以將原結構彎矩圖分解為兩個簡單的彎矩圖，再分別和上圖相乘，最後疊加即可得出跨中撓度。
2 (1250005)=
-102.5= -
左跨跨中撓度 - =0.2976m
同理可得右跨的跨中撓度為0.1488m.
二、利用有限元法和matlab求解跨中撓度
（1）計算總剛
由於鋼梁截面尺寸較小，跨度較大，所以可以利用「平面剛架的有限元法」求解跨中撓度。
首先將原結構劃分為四個杆單元如圖：
本題不用考慮座標變換，所以桿件1、2的單元剛度矩陣相同；桿件3、4的單元剛度
矩陣相同。可以首先建立求解單元剛度矩陣的方程：
function k=dygd(e,a,i,l)
k=e*i/(l^3)*[a*l*l/i 0 0 -a*l*l/i 0 0
0 12 6*l 0 -12 6*l
0 6*l 4*l*l 0 -6*l 2*l*l
a*l*l/i 0 0 a*l*l/i 0 0
0 -12 -6*l 0 12 -6*l
0 6*l 2*l*l 0 -6*l 4*l*l]
1、由程式語言k=dygd(210000000000,0.01,0.0001/12,5)得出桿件1、2的單元剛度矩陣
k =420000000 00 -420000000 00
0 168000 4200000 -168000 420000
0 420000 14000000 -420000 700000
-420000000 00 420000000 00
0 -168000 -4200000 168000 -420000
0 420000 7000000 -420000 1400000
2、由程式語言k=dygd(420000000000,0.01,0.0001/12,5)得出桿件3、4的單元剛度矩陣
k = 42000000000 -42000000000
0 168000 4200000 -168000 420000
0 420000 14000000 -420000 700000
-42000000000 42000000000
0 -168000 -4200000 168000 -420000
0 420000 7000000 -420000 1400000
再將四個單元剛度矩陣擴階成1515
k1=zeros(15,15)
k1(1:6,1:6)=k
k2=zeros(15,15)
k2(4:9,4:9)=k
k3=zeros(15,15)
k3(7:12,7:12)=k
k4=zeros(15,15)
k4(10:15,10:15)=k
最後形成總剛：kk=k1+k2+k3+k4
總剛划行劃列：kkk=kk([3 5 6 11 12 15],[3 5 6 11 12 15])
結果為kkk=
1400000 -420000 700000 0 0 0
-420000 336000 00 0 0
700000 0 2800000 0 0 0
0 00672000 0 840000
0 000 5600000 1400000
0 00840000 1400000 2800000
（2）節點力等效
共有兩種基本單元型別：兩端固定梁和一端固定一端鉸支梁
單元1單元2單元3、4同理可得
最後得出綜合結點向量為
f= kn
根據公式v=inv(kkk)*f得出跨中撓度
v= m
左跨的跨中撓度為0.2976m，右跨的跨中撓度為0.1488m.與理論解完全一致。
matlab程式
k=dygd(210000000000,0.01,0.0001/12,5)
k1=zeros(15,15)
k1(1:6,1:6)=k
k2=zeros(15,15)
k2(4:9,4:9)=k
k=dygd(420000000000,0.01,0.0001/12,5)
k3=zeros(15,15)
k3(7:12,7:12)=k
k4=zeros(15,15)
k4(10:15,10:15)=k
kk=k1+k2+k3+k4
kkk=kk([3 5 6 11 12 15],[3 5 6 11 12 15])
f=1000*[0
-25*9/4
250/24
-25*9/4
-250/24
0]v=inv(kkk)*f
方法二由以上節點力等效過程發現：跨中支座處無轉角，因此可以看做是固定端，這樣原結構就可以分為左右兩部分，可以分別求出其跨中撓度，這樣可以減少一半的運算量。
左半部分
右半部分
計算過程相似，現給出matlab程式
k=dygd(210000000000,0.01,0.0001/12,5)
k1=zeros(15,15)
k1(1:6,1:6)=k
k2=zeros(15,15)
k2(4:9,4:9)=k
kk=k1+k2
kkk=kk([3 5 6],[3 5 6])
f=1000*[0
-25*9/4
250/24]
v=inv(kkk)*f
兩種方法的結果相同
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