ⅰ、再現性題組：
1. f(x)是r上的奇函式，f(x＋2)＝f(x)，當0≤x≤1時，f(x)＝x，則f(7.5)等於_____。
a. 0.5 b. －0.5 c. 1.5 d. －1.5
2.設f(x)＝3x－2，則f [f(x)]等於______。
a. b. 9x－8 c. x d.
3. 若m、n、p、q∈r且m＋n＝a，p＋q＝b，ab≠0，則mp＋nq的最大值是______。
a. b. cd.
4. 如果複數z滿足|z＋ｉ|＋|z－ｉ|＝2，那麼|z＋ｉ＋1|的最小值為______。
a. 1 b. c. 2 d.
5. 設橢圓＋＝1 （a>b>0）的半焦距為c，直線l過(0,a)和(b,0)，已知原點到l的距離等於c，則橢圓的離心率為_____。
a. b. c. d.
6. 已知三稜錐s-abc的三條側稜兩兩垂直，sa＝5，sb＝4，sc＝3，d為ab的中點，e為ac的中點，則四稜錐s-bced的體積為_____。
a. b. 10 c. d.
【簡解】1小題：由已知轉化為週期為2,所以f(7.5)＝f(-0.5)＝－f(0.5)，選b；
2小題：設f(x)＝y，由互為反函式的值域與定義域的關係，選c；
3小題：由mp＋nq≤＋容易求解，選a；
4小題：由複數模幾何意義利用數形結合法求解，選a；
5小題：ab＝×，變形為12e－31e＋7＝0，再解出e，選b；
6小題：由s＝s和三稜椎的等體積轉化容易求，選a。
ⅱ、示範性題組：
例1. 若x、y、z∈r且x＋y＋z＝1，求(－1)(－1)(－1)的最小值。
【分析】由已知x＋y＋z＝1而聯想到，只有將所求式變形為含代數式x＋y＋z，或者運用均值不等式後含xyz的形式。所以，關鍵是將所求式進行合理的變形，即等價轉化。
【解】(－1)(－1)(－1)＝（1－x）(1－y)(1－z)
＝(1－x－y－z＋xy＋yz＋zx－xyz)＝(xy＋yz＋zx－xyz)
＝＋＋－1≥3－1＝－1≥－1＝9
【注】對所求式進行等價變換：先通分，再整理分子，最後拆分。將問題轉化為求＋＋的最小值，則不難由平均值不等式而進行解決。此題屬於代數恒等變形題型，即代數式在形變中保持值不變。
例2. 設x、y∈r且3x＋2y＝6x，求x＋y的範圍。
【分析】 設k＝x＋y，再代入消去y，轉化為關於x的方程有實數解時求引數k範圍的問題。其中要注意隱含條件，即x的範圍。
【解】由6x－3x＝2y≥0得0≤x≤2。
設k＝x＋y，則y＝k－x，代入已知等式得：x－6x＋2k＝0 ，
即k＝－x＋3x，其對稱軸為x＝3。
由0≤x≤2得k∈[0,4]。
所以x＋y的範圍是：0≤x＋y≤4。
【另解】 數形結合法**化為解析幾何問題）：
由3x＋2y＝6x得(x－1)＋＝1，即表示如圖所示橢圓，其乙個頂點在座標原點。x＋y的範圍就是橢圓上的點到座標原點的距離的平方。由圖可知最小值是0,距離最大的點是以原點為圓心的圓與橢圓相切的切點。
設圓方程為x＋y＝k，代入橢圓中消y得x－6x＋2k＝0。由判別式△＝36－8k＝0得k＝4,所以x＋y的範圍是：0≤x＋y≤4。
【再解】 三角換元法，對已知式和待求式都可以進行三角換元**化為三角問題）：
由3x＋2y＝6x得(x－1)＋＝1，設，則
x＋y＝1＋2cosα＋cosα＋sinα＝1＋＋2cosα－cosα
＝－cosα＋2cosα＋∈[0,4]
所以x＋y的範圍是：0≤x＋y≤4。
【注】本題運用多種方法進行解答，實現了多種角度的轉化，聯絡了多個知識點，有助於提高發散思維能力。此題還可以利用均值換元法進行解答。各種方法的運用，分別將代數問題轉化為了其它問題，屬於問題轉換題型。
例3. 求值：ctg10°－4cos10°
【分析】分析所求值的式子，估計兩條途徑：一是將函式名化為相同，二是將非特殊角化為特殊角。
【解一】ctg10°－4cos10°＝－4cos10°＝
＝＝＝＝＝＝
（基本過程：切化弦→通分→化同名→拆項→差化積→化同名→差化積）
【解二】ctg10°－4cos10°＝－4cos10°＝
＝＝＝＝
＝＝＝（基本過程：切化弦→通分→化同名→特值代入→積化和→差化積）
【解三】ctg10°－4cos10°＝－4cos10°＝
＝＝＝＝
＝＝（基本過程：切化弦→通分→化同名→拆角80°→和差角公式）
【注】無條件三角求值問題，是高考中常見題型，其變換過程是等價轉化思想的體現。此種題型屬於三角變換型。一般對，對於三角恒等變換，需要靈活運用的是同角三角函式的關係式、誘導公式、和差角公式、倍半形公式、和積互化公式以及萬能公式，常用的手段是：
切割化弦、拆角、將次與公升次、和積互化、異名化同名、異角化同角、化特殊角等等。對此，我們要掌握變換的通法，活用2公式，攻克三角恒等變形的每一道難關。
例4. 已知f(x)＝tgx，x∈(0,)，若x、x∈(0,)且x≠x，
求證： [f(x)＋f(x)]>f() （94年全國高考）
【分析】從問題著手進行思考，運用分析法，一步步探求問題成立的充分條件。
【證明】[f(x)＋f(x)]>f() [tgx＋tgx]>tg
(＋)> >
1＋cos(x＋x)>2cosxcosx 1＋cosxcosx＋sinxsinx>2cosxcosx
cosxcosx＋sinxsinx<1 cos(x－x)<1
由已知顯然cos(x－x)<1成立，所以[f(x)＋f(x)]>f()
samd n c
b【注】 本題在用分析法證明數學問題的過程中，每一步實施的都是等價轉化。此種題型屬於分析證明型。
例5. 如圖，在三稜錐s-abc中，s在底面上的射影n位於底面的高cd上，m是側稜sc上的一點，使截面mab與底面所成角等於∠nsc。求證：
sc垂直於截面mab。（83年全國高考）
【分析】 由三垂線定理容易證明sc⊥ab，再在平面sdnc中利用平面幾何知識證明sc⊥dm。
【證明】由已知可得：sn⊥底面abc，ab⊥cd，cd是斜線sc在底面ab的射影，
∴ ab⊥sc。
∵ ab⊥sc、ab⊥cd
∴ ab⊥平面sdnc
∴ ∠mdc就是截面mab與底面所成的二面角
由已知得∠mdc＝∠nsc
又∵ ∠dcm＝∠s**
∴ △dcm≌△scm
∴ ∠dmc＝∠snc＝rt∠
即 sc⊥dm
所以sc⊥截面mab。
【注】立體幾何中有些問題的證明，可以轉化為平面幾何證明來解決，即考慮在乙個平面上的證明時運用平面幾何知識。
ⅲ、鞏固性題組：
1. 正方形abcd與正方形abef成90°的二面角，則ac與bf所成的角為_____。
a. 45° b. 60° c. 30° d. 90°
2. 函式f(x)＝|lgx|，若0f(b)，則下列各式中成立的是_____。
a. ab≤1 b. ab<1 c. ab>1 d. a>1且b>1
3. [－] (n∈n)的值為______。
a. b. c. 0 d. 1
4. (a＋b＋c)展開式的項數是_____。
a. 11 b. 66 c. 132 d. 3
5. 已知長方體abcd-a』b』c』d』中，aa』＝ad＝1，ab＝，則頂點a到截面a』bd的距離是_______。
6. 已知點m(3cosx，3sinx)、n(4cosy，4siny)，則|mn|的最大值為
7. 函式y＝＋的值域是
8. 不等式log（x＋x＋3）>log (x＋2)的解是
9．設x>0，y>0，求證：(x＋y)>(x＋y) (86年上海高考)
10. 當x∈[0,]時，求使cosx－mcosx＋2m－2>0恆成立的實數m的取值範圍。
11. 設△abc的三內角a、b、c的對邊分別是a、b、c，若三邊a、b、c順次成等差數列，求複數z＝[cos(π＋)＋ｉsin(π＋)]·[sin(－)＋ｉcos(－)]的輻角主值argz的最大值。
12. 已知拋物線c：y＝(t＋t－1)x－2(a＋t) x＋(t＋3at＋b)對任何實數t都與x軸交於p(1,0)點，又設拋物線c與x軸的另一交點為q(m,0)，求m的取值範圍。
高中數學解題基本方法
一 配方法 配方法是對數學式子進行一種定向變形 配成 完全平方 的技巧，通過配方找到已知和未知的聯絡，從而化繁為簡。何時配方，需要我們適當 並且合理運用 裂項 與 添項 配 與 湊 的技巧，從而完成配方。有時也將其稱為 湊配法 最常見的配方是進行恒等變形，使數學式子出現完全平方。它主要適用於 已知或...
高中數學解題方法
今天先講講高中數學的九大思想 1，函式思想 2，方程思想 3，複數思想 4，換元思想 5，整體思維 6，逆反思維 7，以退求進 8，分類討論 9，數形結合 1，已知方程中，a為正整數，問a取何值時，方程至少有乙個整數根。大部分人第一眼看去就會想到用求根公式，反正我曾經用求根公式的方法沒求出來，我公布...
高中數學解題基本方法與數學思想
高中數學解題基本方法 一 配方法 配方法是對數學式子進行一種定向變形 配成 完全平方 的技巧，通過配方找到已知和未知的聯絡，從而化繁為簡。何時配方，需要我們適當 並且合理運用 裂項 與 添項 配 與 湊 的技巧，從而完成配方。有時也將其稱為 湊配法 最常見的配方是進行恒等變形，使數學式子出現完全平方...