圓——知識點總結歸納
要點歸納
一.圓的認識
1.圓的定義
(1)在乙個平面內,線段oa繞它的乙個端點o旋轉一周,另乙個端點a隨之旋轉所形成的圖形叫做圓。固定的端點o叫做圓心,線段oa叫做半徑,如右圖所示。
(2)圓可以看作是平面內到定點的距離等於定長的點的集合,定點為圓心,定長為圓的半徑。
說明:圓的位置由圓心確定,圓的大小由半徑確定,半徑相等的兩個圓為等圓。
2.圓的有關概念
(1)弦:鏈結圓上任意兩點的線段。
(2)直徑:經過圓心的弦.直徑等於半徑的2倍。
(3)弧:圓上任意兩點間的部分叫做圓弧。其中大於半圓的弧叫做優弧,小於半圓的弧叫做劣弧。
3.圓心角、弧、弦、弦心距之間的關係。
(1)定理:在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弧相等,所對的弦的弦心距相等。
(2)推論:在同圓或等圓中,如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等,那麼它們所對應的其餘各組量都分別相等。
4.過三點的圓。
(1)定理:不在同一條直線上的三點確定乙個圓。
(2)三角形的外接圓圓心(外心)是三邊垂直平分線的交點。
5.垂徑定理。
垂直於弦的直徑平分這條弦,並且平分弦所對的兩條弧。
推論:(1)①平分弦(不是直徑)的直徑垂直於弦,並且平分弦所對的兩條弧;②弦的垂直平分線經過圓心,並且平分弦所對的兩條弧;③平分弦所對的一條弦的直徑,垂直平分弦,並且平分弦所對的另一條弧。 (2)圓的兩條平行弦所夾的弧相等。
6.與圓相關的角
(1)與圓相關的角的定義
①圓心角:頂點在圓心的角叫做圓心角
②圓周角:頂點在圓上且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。
③弦切角:頂點在圓上,一邊和圓相交,另一連軸和圓相切的角叫做弦切角。
(2)與圓相關的角的性質
①圓心角的度數等於它所對的弦的度數;
②一條弧所對的圓周角等於它所對的圓心角的一半;
③同弧或等弧所對的圓周角相等;
④半圓(或直徑)所對的圓周角相等;
⑤弦切角等於它所夾的弧所對的圓周角;
⑥兩個弦切角所夾的弧相等,那麼這兩個弦切角也相等;
⑦圓的內接四邊形的對角互補,並且任何乙個外角都等於它的內對角。
二.與圓有關的位置關係
1.點與圓的位置關係
如果圓的半徑為r,某一點到圓心的距離為d,那麼:
(1)點在圓外
(2)點在圓上
(3)點在圓內
2.直線和圓的位置關係
設r為圓的半徑,d為圓心到直線的距離
(1)直線和圓相離,直線與圓沒有交點;
(2)直線和圓相切,直線與圓有唯一交點;
(3)直線和圓相交,直線與圓有兩個交點。
3.圓的切線
(1)定義:和圓有唯一公共點的直線叫做圓的切線,唯一公共點叫做切點。
(2)切線的判定定理
經過半徑的外端且垂於這條半徑的直線是圓的切線。
(3)切線的性質定理及推論
定理:圓的切線垂直於經過切點的半徑。
推論:①經過圓心且垂直於切線的直線必經過切點;
②經過切點且垂直於切線的直線必經過圓心。
4.兩圓的位置關係
設r、r為兩圓的半徑,d為圓心距
(1)兩圓外離;
(2)兩圓外切;
(3)兩圓相交;
(4)兩圓內切;
(5)兩圓內含。(注意:如果為,則兩圓為同心圓。)
5.兩圓連心線的性質
(1)相交兩圓的連心線,垂直平分公共弦,且平分兩條外公切線所夾的角。(注:平分兩外公切線所夾的角,通過角平分線的判定「到角的兩邊距離相等的點,在這個角的平分線上」,很易證明。)
(2)相切兩圓的連心線必經過切點。
(3)相離兩圓的連心線平分內公切線的夾角和外公切線的夾角。
6.兩圓公切線的性質
(1)如果兩圓有兩條外公切線,則兩外公切線長相等。
(2)如果兩圓有兩條內公切線,則兩內公切線長相等。
7.相交弦定理、切割線定理、切線長定理
(注:r表示⊙o的半徑)
8.與圓有關的比例線段問題的一般思考方法
(1)直接應用相交弦、切割線定理及其推論;
(2)找相似三角形,當證明有關線段的比例式或等積式不能直接運用基本定理推導時,通常是由「三點定形法」證三角形相似,其一般思路為等積式→比例式→中間比→相似三角形。
9.與圓相關的常用輔助線
(1)有弦,可作弦心距;
(2)有直徑,可作直徑所對的圓周角;
(3)有切點,可作過切點的半徑;
(4)兩圓相交,可作公共弦;
(5)兩圓相切,可作公切線;
(6)有半圓,可作整圓。
記憶口訣:有弦可作弦心距,中心圓心相連;兩圓相切公切線,兩圓相交公共弦;遇到切點作半徑,圓與圓心連心;遇到直徑相直角,直角相對點共圓。(注:「心連心」為連心線。)
10.圓外切三角形和四邊形的性質
(1)如右圖,△abc是⊙o的外切三角形,d、e、f為切點,則
同理:直角三角形內切圓半徑。(其中a、b為直角邊,c為斜邊)
(2)圓外切四邊形兩組對邊和相等,即如右圖,四邊形abcd是⊙o的外切四邊形,則 ab+cd=ad+bc。
三.圓中的計算問題
1.圓的有關計算
(1)圓周長:
(2)弧長:;
(3)圓面積:;
(4)扇形面積:;
(5)弓形面積:
2.圓柱
圓柱的側面展開圖是矩形,這個矩形的長等於圓柱的底面周長c,寬是圓柱的母線長l,如果圓柱的底面半徑是r,則。
3.圓錐
圓錐的側面展開圖是扇形,這個扇形的弧長等於圓錐底面周長c,半徑等於圓錐母線長l,若圓錐的底面半徑為r,這個扇形的圓心角為,則,。
初三數學圓知識點總結
圓心角 頂點在圓心的角叫做圓心角 圓周角 頂點在圓上且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。弦切角 頂點在圓上,一邊和圓相交,另一連軸和圓相切的角叫做弦切角。2 與圓相關的角的性質 圓心角的度數等於它所對的弦的度數 一條弧所對的圓周角等於它所對的圓心角的一半 同弧或等弧所對的圓周角相等 半圓 或直徑 所對的...
初三數學圓知識點總結
圓 知識點總結歸納 要點歸納 一 圓的認識 1 圓的定義 1 在乙個平面內,線段oa繞它的乙個端點o旋轉一周,另乙個端點a隨之旋轉所形成的圖形叫做圓。固定的端點o 叫做圓心,線段oa叫做半徑,如右圖所示。2 圓可以看作是平面內到定點的距離等於定長的點的集 合,定點為圓心,定長為圓的半徑。說明 圓的位...
初三數學圓知識點總結
一 本章知識框架 二 本章重點 1 圓的定義 1 線段oa繞著它的乙個端點o旋轉一周,另乙個端點a所形成的封閉曲線,叫做圓 2 圓是到定點的距離等於定長的點的集合 2 判定乙個點p是否在 o上 設 o的半徑為r,op d,則有 d r點p在 o 外 d r點p在 o 上 d3 與圓有關的角 1 圓心...