§2.1圓
【知識點總結】
1、圓的定義
在乙個平面內，線段oa繞它的乙個端點o旋轉一周，另乙個端點a運動所形成的圖形叫做圓，點o叫做圓心，線段oa叫做半徑.以點o位圓心的圓，記作「⊙o」，讀作「圓o」0圓可以看成是定點o的距離等於定長r的所有點組成的圖形。
例1：下列說法：①經過點p的圓又無數個；②以點p為圓心的圓有無數個；③半徑為2cm且經過點p的圓有無數個；④以點p為圓心，2cm長為半徑的圓又無數個，其中錯誤的有（ ）a.
1個 b.2個 c.3個 d.
4個2、點和圓的位置關係
設⊙o的半徑為r，點p到圓心的距離為d，則
點p在圓內d＜r
點p在圓上d=r
點p在圓外d＞r
例2：在數軸上，點a所表示的實數為3，點b所表示的實數為a，⊙a的半徑為2，則下列說法中，不正確的是（ ）
a.當a＜5時，點b在⊙a內b.當1＜a＜5時，點b在⊙a內
c.當a＜1時，點b在⊙a外d.當a＞5時，點b在⊙a外
3、圓中的相關概念
（1）連線圓上任意兩點的線段叫做弦，經過圓心的弦叫做直徑.
（2）圓上任意兩點之間的部分叫做圓弧，簡稱弧.圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每條弧都在半圓，大於半圓的弧叫做優弧，小於半圓的弧叫做劣弧
（3）頂點在圓心的角叫做圓心角
（4）圓心相同，半徑不相等的兩個圓叫做同心圓.能夠互相重合的兩個圓叫做等圓.同圓或等圓的半徑相等.
（5）在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧
例3：下列說法中不正確的是
①直徑是圓中最長的弦，弦是直徑；②優弧大於劣弧，半圓是弧；
③長度相等的兩條弧是等弧；④圓心不同的圓不可能是等圓.
【典例展示】
題型一性質的簡單應用
例1：如圖，點a、d、g、m在半圓o上，四邊形aboc、deof、hmno均為矩形，設bc=a，ef=b，nh=c，則下列各式中正確的是（ ）
a．a＞b＞cb．a=b=c c．c＞a＞b d．b＞c＞a
題型二簡單的證明題
例2：如圖，在□abcd中，∠bad為鈍角，且ae⊥bc，af⊥cd
（1）試說明a、e、c、f四點共圓
（2）設線段bd與（1）中的圓相交於點m、n，說明bm=nd
題型三分類討論題
例3：某點到圓周上的最長距離為8cm，最短距離為6cm。求圓的半徑
題型四探索性試題
例4：如圖，矩形abcd的邊ab=3cm，ad=4cm
（1）若以點a位圓心，4cm為半徑作⊙a，則點b、c、d與⊙a的位置關係如何?
（2）若以點a位圓心作⊙a，使b，c，d三點中至少有乙個點在圓內，且至少有一點在圓外，則⊙a的半徑r的取值範圍是什麼？
題型五計算題
例5：如圖，ab是⊙o的直徑，cd是⊙o的弦，ab、cd的延長線相交於點e.已知ab=2de，∠e=18°，求∠aoc的度數.
題型六生活中的應用
例6：某部隊在燈塔的周圍進行爆破作業，燈塔a周圍3km內的水域為危險區域，有一漁船誤入離a處2km的b處，為了盡快駛離危險區域，該船應沿哪條航線方向航行？為什麼？
題型七運動變化題
例7：如圖，ab是⊙o的直徑，它把⊙o分成上下兩個半圓，自上半圓上一點c作弦cd⊥ab，∠ocd的平分線交⊙o於點p，當c點在上半圓（不包括a、b兩點）上運動時，試探求點p的位置.
【誤區警示】
誤點1 審題不清，畫錯圖形
例1：設ab=2cm，畫圖說明：點a、b的距離都小於1.5cm的點的集合
誤點2 忽視分類討論，產生漏洞
例2：如圖，已知半徑為5的⊙o，點o到弦ab的距離為3，則⊙o上到弦ab所在直線的距離為2的點有（ ）
a.1個 b.2個 c.3個 d.4個
§2.2圓的對稱性
【知識點總結】
1、圓的對稱性
圓是中心對稱圖形，圓心是對稱中心
圓是由旋轉不變性，即圓圍繞圓心旋轉任何角度後，仍然與原來的圓重合
圓是軸對稱圖形，過圓心的任意一條直線都是它的對稱軸
例1：如圖是由乙個圓和乙個平行四邊形組成的圖形，要求畫出一條直線，把圓與平行四邊形的面積平分，應如何分割？請保留作圖痕跡.
二、圓心角、弧、弦之間的關係
在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那麼它們所對應的其餘各組量都相等.可簡稱為「等對等定理」或「三個概念的相等關係」
例2：如圖，ab、de是⊙o的直徑，c是⊙o上的一點， =弧ce，請探求並至少寫出圖中三對具有相等關係的量（除對頂角和半圓相等外）
2、圓心角的度數與它所對的弧的度數關係
1°的圓心角所對的弧叫做1°的弧.一般地，n°的圓心角對著的n°的弧，n°的弧對著n°的圓心角.
圓心角的度數與它所對的弧的度數相等.
例3：如圖，在⊙o中，半徑oc⊥ab，∠oab=50°，求弧bc的度數.
4、垂徑定理
垂直於弦的直徑平分這條弦，並且平方弦所對的弧.
推廣：一條直線：①過圓心；②垂直於弦；③平分弦（不是直徑）；④平分弦所對的優弧；⑤平分弦所對的劣弧，只要具備其中兩個條件，就能推出其他三個.
例4：如圖，⊙o的弦ab垂直平分半徑oc，若,則⊙o的半徑為
【典例展示】
題型一概念辨析題
例1：下列說法：①圓是軸對稱圖形，每條直徑都是它的對稱軸；②垂直於弦的直線平分這條弦；③平分弦的直徑垂直於這條弦；④在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那麼它們所對的兩條弧也相等，其中，不正確的有（ ）
a.1個b.2個c.3個d.4個
題型二簡單計算題
例2：如圖，de是⊙o的直徑，弦ab⊥cd，垂足為c，若ab=6，ce=1，則oc= ，cd=
題型三幾何說理題
例3：如圖，∠aob=90°，c、d為的三等分點，ab分別交oc、od於點e、f，那麼ae、cd、bf之間有什麼數量關係？請說明你的理由.
例4：如圖，ab是⊙o的弦，半徑oc、od分別交ab於點e、f，且ae=bf，請你找出線段oe與of的數量關係，並給予證明.
題型四作圖題
例5：某居民小區一處圓柱形輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需確定管道圓形截面的半徑，下圖是水平放置的破裂管道有水部分的截面．
（1）請你補全這個輸水管道的圓形截面；
（2）若這個輸水管道有水部分的水面寬ab=16cm，水面最深地方的高度為4cm，求這個圓形截面的半徑．
題型五運動變化題
例6：如圖，⊙o的半徑為5cm，c是⊙o內的一點，過點c的最短弦ab為8cm，
（1）若p是弦ab上一動點，且點p與圓心o的距離為整數，這樣的點p有幾個？
（2）如果最短弦ab的兩端點在圓上滑動（ab弦長不變），那麼弦ab的中點形成怎樣的圖形？
題型六實際應用題
例7：某地有一圓弧拱橋，橋下水面的寬度為7.2m，拱頂高出水面2.4m.現有一艘寬3m，船艙船艙頂部為長方形並高出水面2m的貨船要經過這裡，問此貨船能順利通過拱橋嗎？
【誤區警示】
誤點1 平行弦間的位置不清而導致錯誤
例1：已知⊙o的半徑為13cm，弦ab∥cd，ab=24cm，cd=10cm，則ab、cd之間的距離為（ ）
a.17cm b.7cm c.12cm d.17cm或7cm
誤點2 不能正確理解圓心角、弧與弦之間的關係
例2：如圖，在⊙o中，ab=2cd，那麼（ ）
a.＞ 2 b.＜ 2 c. = 2 d.與2 大小關係不確定
§2.3圓周角
【知識點總結】
1、圓周角的概念
頂點在圓上，並且兩邊都相交的角的叫做圓周角
例1：下列圖形中，表示圓周角的是 （填寫序號）
2、圓周角定理
同弧或等弧所對的圓周角相等，都等於該弧所對的圓心角的一半
例2：如圖，ob是⊙o的半徑，點c、d在⊙o上，∠dcb=27°，則∠obd= °.
三、圓周角與直徑的關係
（1）直徑或半圓所對的圓周角是直角
（2）90°的圓周角所對的弦是直徑
例3：如圖，若ab是⊙o的直徑，cd是⊙o的弦，∠abd=58°，則∠bcd的度數為（ ）
a.116° b.32° c.58° d.64°
【典例展示】
題型一網格題
例1：如圖所示，⊙o的半徑為，圓心與座標原點重合，在平面直角座標系中，把橫座標、縱座標都是整數的點稱為格點.
（1）寫出⊙o上所有格點的座標
（2）設為經過⊙o上任意兩個格點的直線.
①滿足條件的直線l共有多少條？
②求直線l同時經過第
一、二、四象限的概率．
題型二計算題
例2：（1）如圖①，d為ac上一點，o為邊ab上一點，ad=do，以o為圓心，od長為半徑作圓，交ac於點f、g，連線ef.若∠bac=32°，則∠efg=
（2）如圖②，abc內接於⊙o，若∠b=30°，ac=，則⊙o半徑為 .
題型三**題
例3：如圖，點a、b、d、e在圓上，弦ae的延長線於弦bd的延長線交於點c.給出下列三個條件：（1）ab是圓的直徑；（2）d是bc的中點；（3）ab=ac．
請在上述條件中選擇兩個作為已知條件，第三個作為結論，寫出乙個你認為正確的命題，並加以證明
例4：如圖，a、b、c三點都在⊙o上，be是⊙o的直徑，ad是△abc的高.
（1）現在不新增任何線或角的情況下，圖中除直角外，還有相等的角嗎？如果有，請寫出來並加以說明；沒有請說明理由
（2）如果⊙o的半徑r=4cm，ad=6cm，求ab·ac的值
題型四操作探索題
例5：如圖∠apc的頂點在圓外，兩邊與圓相交，稱它為圓外角.
（1）請你按以下步驟操作：
①在圖①內，連線oa、od；
②用量角器測出下列各角的度數.
∠apcaoc
∠doe精確到1°)
（2）根據上面的資料猜想：∠apc與∠aoc、∠doe之間有什麼數量關係？
（3）證明你的猜想；
（4）如圖②、③，若點o不在pc上，則（2）的結論成立嗎？請說明理由.
九年級上冊數學圓章節知識點總結
相離，當直線和圓沒有公共點時，叫做直線和圓相離 2 用數量關係判斷直線與圓的位置關係 如果 o的半徑為r，圓心o到直線l的距離為d，那麼 1 直線l和 o相交d r 如圖 1 所示 2 直線l和 o相切d r 如圖 2 所示 3 直線l和 o相離d r 如圖 3 所示 2 切線 1 切線的判定定理 ...
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