高中數學第一章-集合
§01. 集合與簡易邏輯知識要點
一、知識結構:
本章知識主要分為集合、簡單不等式的解法(集合化簡)、簡易邏輯三部分:
二、知識回顧:
(一) 集合
1. 基本概念:集合、元素;有限集、無限集;空集、全集;符號的使用.
2. 集合的表示法:列舉法、描述法、圖形表示法.
集合元素的特徵:確定性、互異性、無序性.
集合的性質:
①任何乙個集合是它本身的子集,記為;
②空集是任何集合的子集,記為;
③空集是任何非空集合的真子集;
如果,同時,那麼a = b.
如果.[注]:①z= (√) z = (×)
②已知集合s 中a的補集是乙個有限集,則集合a也是有限集.(×)(例:s=n; a=,則csa= )
③ 空集的補集是全集
④若集合a=集合b,則cba = , cab = cs(cab)= d ( 注 :cab = ).
3. ①座標軸上的點集.
② 一、三象限的點集.
[注]:①對方程組解的集合應是點集.
例: 解的集合.
②點集與數集的交集是. (例:a = b= 則a∩b =)
4. ①n個元素的子集有2n個. ②n個元素的真子集有2n -1個. ③n個元素的非空真子集有2n-2個.
5. ⑴①乙個命題的否命題為真,它的逆命題一定為真. 否命題逆命題.
②乙個命題為真,則它的逆否命題一定為真. 原命題逆否命題.
例:①若應是真命題.
解:逆否:a = 2且 b = 3,則a+b = 5,成立,所以此命題為真.
② .
解:逆否:x + y =3x = 1或y = 2.
,故是的既不是充分,又不是必要條件.
⑵小範圍推出大範圍;大範圍推不出小範圍.
3. 例:若.
4. 集合運算:交、並、補.
5. 主要性質和運算律
(1) 包含關係:
(2) 等價關係:
(3) 集合的運算律:
交換律:
結合律:
分配律:.
0-1律:
等冪律:
求補律:a∩cua=φ a∪cua=u cuu=φ cuφ=u
反演律:cu(a∩b)= (cua)∪(cub) cu(a∪b)= (cua)∩(cub)
6. 有限集的元素個數
定義:有限集a的元素的個數叫做集合a的基數,記為card( a)規定 card(φ) =0.
基本公式:
(3) card(ua)= card(u)- card(a)
(二)含絕對值不等式、一元二次不等式的解法及延伸
1.整式不等式的解法
根軸法(零點分段法)
①將不等式化為a0(x-x1)(x-x2)…(x-xm)>0(<0)形式,並將各因式x的係數化「+」;(為了統一方便)
②求根,並在數軸上表示出來;
③由右上方穿線,經過數軸上表示各根的點(為什麼?);
④若不等式(x的係數化「+」後)是「>0」,則找「線」在x軸上方的區間;若不等式是「<0」,則找「線」在x軸下方的區間.
(自右向左正負相間)
則不等式的解可以根據各區間的符號確定.
特例① 一元一次不等式ax>b解的討論;
②一元二次不等式ax2+box>0(a>0)解的討論.
2.分式不等式的解法
(1)標準化:移項通分化為》0(或<0); ≥0(或≤0)的形式,
(2)轉化為整式不等式(組)
3.含絕對值不等式的解法
(1)公式法:,與型的不等式的解法.
(2)定義法:用「零點分區間法」分類討論.
(3)幾何法:根據絕對值的幾何意義用數形結合思想方法解題.
4.一元二次方程根的分布
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
(1)根的「零分布」:根據判別式和韋達定理分析列式解之.
(2)根的「非零分布」:作二次函式圖象,用數形結合思想分析列式解之.
(三)簡易邏輯
1、命題的定義:可以判斷真假的語句叫做命題。
2、邏輯聯結詞、簡單命題與復合命題:
「或」、「且」、「非」這些詞叫做邏輯聯結詞;不含有邏輯聯結詞的命題是簡單命題;由簡單命題和邏輯聯結詞「或」、「且」、「非」構成的命題是復合命題。
構成復合命題的形式:p或q(記作「p∨q」 );p且q(記作「p∧q」 );非p(記作「┑q」 ) 。
3、「或」、 「且」、 「非」的真值判斷
(1)「非p」形式復合命題的真假與f的真假相反;
(2)「p且q」形式復合命題當p與q同為真時為真,其他情況時為假;
(3)「p或q」形式復合命題當p與q同為假時為假,其他情況時為真.
4、四種命題的形式:
原命題:若p則q; 逆命題:若q則p;
否命題:若┑p則┑q;逆否命題:若┑q則┑p。
(1)交換原命題的條件和結論,所得的命題是逆命題;
(2)同時否定原命題的條件和結論,所得的命題是否命題;
(3)交換原命題的條件和結論,並且同時否定,所得的命題是逆否命題.
5、四種命題之間的相互關係:
乙個命題的真假與其他三個命題的真假有如下三條關係:(原命題逆否命題)
①、原命題為真,它的逆命題不一定為真。
②、原命題為真,它的否命題不一定為真。
③、原命題為真,它的逆否命題一定為真。
6、如果已知pq那麼我們說,p是q的充分條件,q是p的必要條件。
若pq且qp,則稱p是q的充要條件,記為pq.
7、反證法:從命題結論的反面出發(假設),引出(與已知、公理、定理…)矛盾,從而否定假設證明原命題成立,這樣的證明方法叫做反證法。
高中數學第二章-函式
考試內容:
數學探索版權所有對映、函式、函式的單調性、奇偶性.
數學探索版權所有反函式.互為反函式的函式影象間的關係.
數學探索版權所有指數概念的擴充.有理指數冪的運算性質.指數函式.
數學探索版權所有對數.對數的運算性質.對數函式.
數學探索版權所有函式的應用.
數學探索版權所有考試要求:
數學探索版權所有了解對映的概念,理解函式的概念.
數學探索版權所有了解函式單調性、奇偶性的概念,掌握判斷一些簡單函式的單調性、奇偶性的方法.
數學探索版權所有了解反函式的概念及互為反函式的函式影象間的關係,會求一些簡單函式的反函式.
數學探索版權所有理解分數指數冪的概念,掌握有理指數冪的運算性質,掌握指數函式的概念、影象和性質.
數學探索版權所有理解對數的概念,掌握對數的運算性質;掌握對數函式的概念、影象和性質.
數學探索版權所有能夠運用函式的性質、指數函式和對數函式的性質解決某些簡單的實際問題.
02. 函式知識要點
一、本章知識網路結構:
二、知識回顧:
(一) 對映與函式
1. 對映與一一對映
2.函式
函式三要素是定義域,對應法則和值域,而定義域和對應法則是起決定作用的要素,因為這二者確定後,值域也就相應得到確定,因此只有定義域和對應法則二者完全相同的函式才是同一函式.
3.反函式
反函式的定義
設函式的值域是c,根據這個函式中x,y 的關係,用y把x表示出,得到x=(y). 若對於y在c中的任何乙個值,通過x=(y),x在a中都有唯一的值和它對應,那麼,x=(y)就表示y是自變數,x是自變數y的函式,這樣的函式x=(y) (yc)叫做函式的反函式,記作,習慣上改寫成
(二)函式的性質
⒈函式的單調性
定義:對於函式f(x)的定義域i內某個區間上的任意兩個自變數的值x1,x2,
⑴若當x1⑵若當x1f(x2),則說f(x) 在這個區間上是減函式.
若函式y=f(x)在某個區間是增函式或減函式,則就說函式y=f(x)在這一區間具有(嚴格的)單調性,這一區間叫做函式y=f(x)的單調區間.此時也說函式是這一區間上的單調函式.
2.函式的奇偶性
7. 奇函式,偶函式:
⑴偶函式:
設()為偶函式上一點,則()也是圖象上一點.
偶函式的判定:兩個條件同時滿足
①定義域一定要關於軸對稱,例如:在上不是偶函式.
②滿足,或,若時,.
⑵奇函式:
設()為奇函式上一點,則()也是圖象上一點.
奇函式的判定:兩個條件同時滿足
①定義域一定要關於原點對稱,例如:在上不是奇函式.
②滿足,或,若時,.
8. 對稱變換:①y = f(x)
②y =f(x)
③y =f(x)
9. 判斷函式單調性(定義)作差法:對帶根號的一定要分子有理化,例如:
在進行討論.
10. 外層函式的定義域是內層函式的值域.
例如:已知函式f(x)= 1+的定義域為a,函式f[f(x)]的定義域是b,則集合a與集合b之間的關係是
解:的值域是的定義域,的值域,故,而a,故.
11. 常用變換:
①.證:②證:
12. ⑴熟悉常用函式圖象:
例:→關於軸對稱
→關於軸對稱.
⑵熟悉分式圖象:
例:定義域,
值域→值域前的係數之比.
(三)指數函式與對數函式
指數函式的圖象和性質
對數函式y=logax的圖象和性質:
對數運算:
(以上)
注⑴:當時,.
⑵:當時,取「+」,當是偶數時且時,,而,故取「—」.
例如:中x>0而中x∈r).
⑵()與互為反函式.
當時,的值越大,越靠近軸;當時,則相反.
(四)方法總結
⑴.相同函式的判定方法:定義域相同且對應法則相同.
⑴對數運算:
(以上)
注⑴:當時,.
⑵:當時,取「+」,當是偶數時且時,,而,故取「—」.
例如:中x>0而中x∈r).
⑵()與互為反函式.
當時,的值越大,越靠近軸;當時,則相反.
⑵.函式表示式的求法:①定義法;②換元法;③待定係數法.
⑶.反函式的求法:先解x,互換x、y,註明反函式的定義域(即原函式的值域).
⑷.函式的定義域的求法:布列使函式有意義的自變數的不等關係式,求解即可求得函式的定義域.
常涉及到的依據為①分母不為0;②偶次根式中被開方數不小於0;③對數的真數大於0,底數大於零且不等於1;④零指數冪的底數不等於零;⑤實際問題要考慮實際意義等.
⑸.函式值域的求法:①配方法(二次或四次);②「判別式法」;③反函式法;④換元法;⑤不等式法;⑥函式的單調性法.
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