說明：這是我2023年11月到2023年6月做的一些教學筆記，雖然比較凌亂，卻真實地記載了這一年多來教學上的所思所想。平日的教學中多一點這樣的思考，我認為是有益的。
1、多取一位近似值夠不夠？[2008-11-5]
在「近似數和有效數字」的學習中，我們經常面對以下的問題：計算(保留2位小數)，如果不完全借助於計算器，筆算的解決方法是，讓計算過程比要求的結果多保留一位小數，然後在最後一步再次近似，這樣才能得到精確的結果.解法如下：
≈3×2.236+4×2.449=16.
504≈16.50.
這種「比結果多保留一位」的做法是不是一定有效呢？且看乙個例子.
例、計算(保留1位小數).
我們在計算過程中分別保留1位、2位、3位小數，各自得到33.8、34.17、34.
264.按照上面「多保留一位」的做法，≈34.17≈34.
2，而事實上，=34.2667…≈34.3,剛才還是做錯了！
一般地，我們按照要求對實數取近似值時，可以使用計算器，計算器上總能顯示足夠多的位數，就保證了我們需要的結果足夠精確.如果沒有計算器，那麼不妨多保留幾位.
2、「欲窮千里目，更上一層樓」？ [2008-11-5]
蘇科版八年級上冊p.53給出的例3是乙個勾股定理的應用問題，原題如下：
「欲窮千里目，更上一層樓.」說的是登得高看得遠.如圖，若觀測點的高度為h,觀測者視線能達到的最遠距離為d，則,其中r是地球半徑(通常取6400 km).
小麗站在海邊一塊岩石上，眼睛離海平面的高度h為20m，求此時d的值.
直接代入資料求值，km.看來該問題很簡單.
我們追問一下，為什麼有這個公式呢？且為什麼是「≈」呢？
重新畫出右邊的圖形，d=ac就是人站立位置到他的「地平線」的距離，因此ac⊥半徑oc,利用勾股定理，，化簡得，即.
由於r≈6400 km,h=0.02 km，，看這最後兩個加數，0.0004相對於256很小，而，因此在開平方時可以略去而不致明顯影響結果的精確性.
當h相對於r很小時，近似公式可以給出很精確的結果.
謎團解開了，我們是否追問一下：要想真的看到千里遠，必須登上多高呢？1000裡=500km，代入，得到=19.
53125 km≈20 km.世上大約不會出現20km高的大樓吧？世界屋脊珠穆朗瑪峰的高度也不過是8848 m=8.
848 km，看來，登上珠峰也不能看到千里遠.
再假設一下，如果真的能站到這麼高，一定能看到那麼遠嗎？研究發現，人眼的分辨角（即剛好能分辨開的兩個物點對瞳孔中心的張角）正比於光波的波長，反比於瞳孔的直徑.而瞳孔直徑是有限的，可以在1.
4～8公釐之間調節，因此，人眼不能看見很近的物體，也不能分別很遠的物體.在正常情況下，眼睛的分辨角約為3分，這相當於分辨在1公里遠處相距為75厘公尺的兩個物點，那麼要看清楚500km遠的某個物體，那麼這個物體的高度至少要有375公尺，至少是一座不小的山丘了，這還沒有考慮空氣的可見度呢.
3、滑落的梯子[2008-11-6]
蘇科版數學八年級上冊p.47習題：長2.5公尺長的梯子靠在牆上，梯子底部離牆的底端1.5m，求梯子頂端與地面的距離h.
用一次勾股定理可以知道h=2m.讓我們追問一下：如果梯子頂端沿著牆壁下滑0.5公尺，則底部向外滑動多少？計算一下，知道底部也向右滑動0.5m.
那麼是不是上下段滑動的距離總是相等呢？答案是不一定，比如頂端向下滑動1.3m時，h=0.
7m，則底端距離牆壁2.4m，故底端向右滑動2.4-1.
5=0.9m.
對這個問題還可以繼續提問：把牆壁和地面看做座標系的第一象限，梯子看做一條固定長度的線段，那麼梯子在滑落過程中每一時刻可以看做是一條曲線的切線，也就是說，梯子的位置構成了某一曲線的包絡，這條曲線是什麼？
答案是：星形線在第一象限內的部分.中間的圖形畫出了整個的星形線，易見它關於x軸、y軸以及一
三、二四象限的角平分線對稱.星形線可以看做乙個小圓內切於乙個大圓無滑動滾動一周時，小圓上某點的軌跡，小圓半徑是大圓半徑的四分之一.星形線在任意點的切線夾在座標軸之間的部分等於大圓的半徑r,因此如果讓梯子沿著牆壁滑落，那麼形成一簇直線，星形線就是該直線簇的包絡，右圖顯示了這一過程.
有些公共汽車的門比較特殊，它不是對開的兩扇，而是兩扇都由相同的兩半用鉸鏈相連.開關門時，靠門軸的一半繞著門軸旋轉，另一半的外端則沿著連線兩個門軸的滑槽滑動，開門時兩扇合攏為半扇，關門時又伸展為一扇.這種門有乙個好處：
開關車門需要的空間很小，因而在乘運高峰時可以多運乘客.由於車門的總寬度為2a,因此車門在滑動過程中任意位置的包絡線就是上面的星形線在第一象限內的一部分.根據對稱性，半截車門活動的包絡又是這段星形線的下半部分.
經過計算，這種車門活動範圍只是普通車門的.
這裡我們還可以提出乙個問題：在下滑的過程中，何時梯子與牆壁夾成的三角形面積最大？答案是：三角形為等腰直角三角形，還可以計算出最大面積與梯子長度之間的關係。
星形線的直角座標方程是，其中r是外接圓的半徑.引數方程是，，是引數.小圓內切於大圓自由地滾動時，圓上任一點構成的軌跡叫做大圓的內擺線(也叫做圓內螺線)，根據大小圓的半徑的比例，可以得到不同形狀的內擺線，而星形線不過是一種特殊的內擺線.
下面是幾種內擺線.
有內擺線，就有外擺線.外擺線對應於滾動圓外切於固定圓，兩圓的半徑比例不同，也決定了外擺線的形狀不同.
4、切出幾個相似形？
問題：△abc的邊ab上有一點d，過d作一條直線切割三角形，所得三角形與原三角形相似，這樣的截線有幾條？
答案可以分成兩類：(1)比較容易想到的有2 個：作de∥bc，或df∥ac,則△ade∽△abc∽△dbf.
(2)不太容易想到的答案也有2個：過d作∠1=∠2=∠c，則△ahd∽△abc∽△gbd.如下圖所示.
注意到該圖形中∠1=∠2，因此，兩條截線dg、dh關於ab的垂線dn對稱.或者，我們也可以把dg和dh看作是一組入射光線與反射光線，它們關於法線dn對稱.
這兩個答案是不是一直存在呢？注意到∠1=∠2=∠c,因此當∠c=900時，dg與dh重合於ab的垂線dn，這時，問題一共有3個答案，如下圖所示.右圖是特殊情形.
5、三角形的角平分線、中線和高線的位置關係
求證：三角形從同一頂點出發的角平分線位於中線與高線之間(三線合一的情形除外).
證明：為了清晰起見，我們先考慮銳角三角形，如圖，ad是高線，ae是角平分線，af是中線，並且ab>ac,因此∠c>∠b,cosc則
以上式子表示e在f和d之間.
如果△abc是鈍角三角形，且∠a是鈍角，證明過程同上；
如果△abc是鈍角三角形，且∠c是鈍角，則bc邊上的高線在形外，ab>ac，根據以上證法，也有結論成立；
如果△abc是直角三角形，則d與c重合，同理亦有結論成立.
6、有關三階幻方的兩個問題
三階幻方最早見於我國的「河圖洛書」，然而理論化的研究則在楊輝的《詳解九章算術》中才有較多記載.直至近代，數學蓬勃發展，作為組合數學的乙個分支，對幻方的系統研究已經到了很高的水平.但是，它更多的用處是作為乙個數學遊戲被數學家或者數學愛好者們津津樂道 (比如金庸先生在《射鵰英雄傳》中就提到了這一問題) ，但是在現實生活中並沒有廣泛的應用.
我們這裡介紹的是基於三階幻方而構造的兩個有趣的問題.
(1)、數十五遊戲
桌子上放有標上數字1~9的9張牌，二人對局遊戲，輪流從中取牌，誰先取得3張牌的號碼之和等於15，誰就贏得該局.
這個遊戲其實是考你是否記得乙個三階幻方.事實上，每乙個贏的組合都是幻方中的一行、一列或一斜行.
因此這個問題也可以修改為劃井遊戲：在九宮格內放石子，誰最先擺成一行3個就贏.在此意義上，劃井遊戲「同構」於乙個三階幻方.
在進行該遊戲時，如果玩得正確就不會輸.如果兩個對手都玩得正確，則就是平局.當然，如果雙方都明白了遊戲的訣竅所在，大約下次再也沒人願意玩啦.
(2)、誰是最優？
我們知道，圍棋手共有九段，一般地，我們假設低段的棋手總是敵不過高段的棋手.
現在有3個圍棋隊，每隊有3個選手，實力分別是：甲隊(4，9，2)；乙隊(3，5，7);丙隊(8，1，6).括號裡的數字分別代表隊員的段位，比如甲隊選手分別是4段、9段、2段，等等.
你可以讓這三隊選手坐成3行，那麼9人就構成了三階幻方.
現在讓這3個代表隊進行單迴圈比賽，即每個隊的每個選手都與其它隊的每個選手下棋，因此每2個隊共需比賽9場.從三階幻方可以看出來，甲隊與乙隊比賽，甲勝4局，乙勝5局，因此乙隊勝出，我們用乙》甲表示.類似地，乙隊與丙隊比賽，乙隊勝4局，丙隊勝5局，因此有丙》乙.
按照常理，3個人比個子高矮，a比b 高，b比c高，顯然有a比c 高.我們如果把這種傳遞關係應用到這裡的圍棋比賽上，就有丙》乙》甲，因此你立刻就得到「丙隊強於甲隊」的結論.
別忙，我們還沒有認真地比較丙隊與甲隊呢.現在來看一下，丙隊(8，1，6)與甲隊(4，9，2)作戰，丙隊勝4局，而甲隊勝5局，因此甲隊強於丙隊.與上面的結果恰好相反！
問題出在**呢？
正確的解釋應該是：我們不能像比較高矮個子那樣比較每隊的成績，常識引導我們在這裡犯了「想當然」的錯誤.具體點說，我們這裡制定的圍棋比賽的規則不能應用於真正的對局，否則就會出現「人人都是贏家」的尷尬.
這是不是有點像「剪刀、石頭、布」的遊戲？而我們借助於三階幻方舉出該例子的目的是為了說明乙個道理：社會科學中很多問題 (比如選舉問題)不能用通常的方式去理解，它屬於專門的數學分支，需要用到一些專門的理論(比如選舉理論)去研究，這就需要進一步學習了.
7、如何理解概率的穩定性？
隨機事件發生的概率是乙個客觀值，它由事件本身決定，因此是精確的.比如拋擲一枚均勻的硬幣得到正面的概率為0.5，拋擲乙個均勻的骰子，得到3點的概率為六分之一，等等.
當隨機事件的概率不易直接計算時，需要通過實驗的頻率來估計概率.頻率是乙個實驗值，不同的人、甚至同一人在不同的時間做同一實驗，事件發生的頻率未必相同(甚至不同的可能性很大)，但是，概率論的研究表明，不同的實驗結果下面，所體現的頻率的穩定性趨勢是一樣的.我們可以用穩定時的頻率作為概率的估計值.
那麼什麼是頻率的穩定性呢？
在一定條件下大量重複進行同一實驗時，事件發生的頻率呈現出「先波浪起伏，後風平浪靜」的趨勢，隨著實驗次數的增加，頻率會在某乙個常數附近擺動，通常實驗次數越多，擺動幅度越小，這種性質稱為頻率的穩定性.而那個常數就是事件發生的概率.
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