福建師範大學數學與電腦科學學院
數學與應用數學專業課程
教學標準
2023年6月
目錄《高等數學a》課程教學標準1)
《高等數學b》課程教學標準6)
《高等數學c》課程教學標準11)
《高等數學d》課程教學標準14)
《線性代數a》課程教學標準17)
《線性代數b》課程教學標準19)
《概率論與數理統計》課程教學標準21)
《解析幾何》課程教學標準24)
《數學分析一》課程教學標準27)
《數學分析二》課程教學標準30)
《數學分析三》課程教學標準33)
《高等代數》課程教學標準36)
《復變函式論》課程教學標準41)
《常微分方程》課程教學標準45)
《數學實驗與數學軟體》課程教學標準48)
《實變函式論》課程教學標準50)
《近世代數》課程教學標準53)
《數值計算方法》課程教學標準56)
《概率論基礎》課程教學標準60)
《拓撲學》課程教學標準63)
《數學教育學》課程教學標準67)
《計算機輔助教學》課程教學標準69)
《初等數論》課程教學標準72)
《中學數學解題方法》課程教學標準75)
《初等數學研究》課程教學標準77)
《數學教育實驗設計》課程教學標準82)
《高等代數選講》課程教學標準86)
《數學分析選講》課程教學標準90)
《最優化方法》課程教學標準93)
《泛函分析初步》課程教學標準96)
《數學教育專題選講》課程教學標準99)
《高等數學a》課程教學標準
第一部分：課程性質、課程目標與要求
高等數學a是理科(非數學)本科專業學生的一門必修的重要基礎理論課。通過本課程的學習，要使學生獲得： 1、一元函式微積分學；2、向量代數與空間解析幾何；3、多元函式微積分學；4、無窮級數(包括傅利葉級數)；5、微分方程等方面的基本概念、基本理論和基本運算技能，為學習後繼課程和進一步獲取數學知識奠定必要的數學基礎。
在傳授知識的同時，要通過各個教學環節逐步培養學生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力、運算能力和自學能力，還要特別注意培養學生具有綜合運用所學知識去分析問題和解決問題的能力。
第二部分：教材與學習參考書
教材：《高等數學》(第五版)上、下冊，同濟大學數學教研組主編，高等教育出版社
參考書：1. 《數學分析》(第二版)上、下冊，復旦大學陳傳璋等編，高等教育出版社
2. 《高等數學釋疑解難》工科數學課程教學指導委員會編，高等教育出版社
3. 《高等數學例題與習題》 同濟大學高等數學教研室編，同濟大學出版社
第三部分：教學內容綱要和課時安排
本門課程的內容按教學要求的不同，分為兩個層次。文中用黑體字排印的屬較高要求，必須使學生深入理解，牢固掌握，熟練應用。其中，概念、理論用「理解」一詞表述，方法、運算用「掌握」一詞表述。
非黑體字排印的，也是必不可少的，只是在教學要求上低於前者。其中，概念理論用「了解」一詞表述，方法、運算用「會」或「了解」表述。
高等數學a（一）
一、函式、極限與連續
1. 理解函式的概念及函式的奇偶性、單調性、週期性和有界性。
2. 理解復合函式、反函式、隱函式的概念。
3. 掌握基本初等函式的性質及其圖形。
4. 會建立簡單應用問題中的函式關係式。
5. 理解數列與函式的極限、左極限與右極限的概念以及極限存在與左、右極限之間的關係。
6. 掌握極限的性質及四則運算法則。
7. 掌握極限存在的兩個基本判別準則，並會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的方法。
8. 理解函式連續性的概念（含左連續與右連續），會判別函式間斷點的型別。
9. 理解無窮小、無窮大的概念、性質及其關係，掌握無窮小的比較方法，會用等價無窮小求極限。
10. 理解連續函式的性質和初等函式的連續性，理解閉區間上連續函式的性質（有界性、最大值最小值定理和介值定理）。
二、一元函式微分學
1. 理解導數和微分的概念，理解導數與微分的關係，理解導數的幾何意義及物理意義，理解函式的可導性與連續性之間的關係。
2. 掌握導數的四則運算法則和復合函式的求導法則，會求反函式的導數，掌握基本初等函式的導數公式。
3. 了解高階導數的概念，會求簡單函式的n階導數。
4. 會求平面曲線的切線方程和法線方程，會用導數描述一些物理量。
5. 會求分段函式的一階、二階導數。
6. 會求隱函式和由引數方程所確定的函式的一階、二階導數。
7. 了解微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性，
8. 了解微分在近似計算中的應用，會求函式的微分。
9. 理解函式的極值概念，掌握用導數判斷函式的單調性和求函式極值的方法，掌握函式最大值和最小值的求法及其簡單應用。
10. 掌握用洛必達法則求未定式極限的方法。
11. 了解柯西中值定理，會用羅爾定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理。
12. 會用導數判斷函式圖形的凹凸性和拐點，會求函式圖形的水平、鉛直和斜漸近線，會描繪函式的圖形。
13. 了解有向弧與弧微分的概念，了解曲率和曲率半徑的概念，會計算曲率和曲率半徑，會求兩曲線的交角。
14. 了解求方程近似解的二分法和切線法。
三、一元函式積分學
1. 理解原函式、不定積分的概念；掌握不定積分性質；掌握不定積分的基本公式；掌握換元積分法與分部積分法。
2. 會求有理函式、三角函式有理式及簡單無理函式的積分。
3. 理解定積分的概念；理解變上限定積分定義的函式及其求導公式。
4. 掌握定積分的性質及定積分中值定理，掌握牛頓－萊布尼茨公式。
5. 掌握定積分的換元積分法與分部積分法。
6. 了解廣義積分的概念並會計算廣義積分。
7. 掌握定積分的元素法；掌握用定積分表達和計算一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積、平行截面面積為已知的立體體積、變力作功、引力、壓力及函式的平均值等）。
四、空間解析幾何與向量代數
1. 理解空間直角座標系，理解向量的概念及表示；掌握向量的運算（線性運算、數量積、向量積），掌握單位向量、方向數與方向余弦、向量的座標表示式，以及用座標表示式進行向量運算的方法。
2. 掌握平面方程和直線方程及其求法；了解兩個向量垂直、平行的條件。
3. 理解曲面方程的概念；了解常用二次曲面的方程及其圖形；了解空間曲線的引數方程和一般方程。
4. 會利用平面、直線的相互關係（平行、垂直、相交等）解決有關問題。
5. 會求以座標軸為旋轉軸的旋轉曲面及母線平行於座標軸的柱面方程。
6. 會求空間曲線在座標面上的投影曲線的方程。
高等數學a（二）
五、 多元函式微分法及其應用
1． 理解多元函式的概念，
2． 理解二元函式的極限與連續性的概念，以及有界閉區域上連續函式的性質；
3． 理解多元函式偏導數和全微分的概念,了解全微分存在的必要條件和充分條件,了解全微分形式的不變性。
4． 了解方向導數與梯度的概念並掌握其計算方法。
5． 掌握復合函式一階偏導數的求法，會求復合函式的二階偏導數。
6． 會求隱函式(包括由兩個方程組成的方程組確定的隱函式)的偏導數。
7． 了解曲線的切線和法平面及曲面的切平面與法線，並會求它們的方程。
8． 理解多元函式極值與條件極值的概念，會求多元函式的極值。了解求條件極值的拉格朗日乘數法，會求解一些較簡單的最大值和最小值的應用問題。了解最小二乘法。
9． 了解二元函式的泰勒公式。
10． 了解向量函式與矢端曲線的概念，了解向量函式的導向量與微分的概念。
六、多元函式積分學
1. 理解二重積分、三重積分的概念，了解重積分的性質，了解二重積分的中值定理。
2. 掌握二重積分（直角座標、極座標）的計算方法，掌握三重積分（直角座標、柱面座標、球面座標）的計算方法。
3. 理解兩類曲線積分的概念、性質和相互關係，掌握計算兩類曲線積分的方法。
4. 掌握格林公式並會運用平面曲線積分與路徑無關的條件。
5. 了解兩類曲面積分的概念，性質及兩類曲面積分的關係；掌握計算兩類曲面積分的方法.
6. 了解高斯公式、斯托克斯公；會用高斯公式計算曲面積分.
7. 會用重積分、曲線積分及曲面積分求一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、體積、曲面面積、弧長、質量、重心、轉動慣量、引力、功及流量等）；會計算散度與旋度。
七、無窮級數
1. 理解常數項級數收斂、發散以及收斂級數的和的概念；掌握級數的基本性質及收斂的必要條件。
2. 掌握幾何級數與級數的收斂與發散的條件。
3. 了解正項級數的比較審斂法和極限審斂法，掌握正項級數的比值審斂法。
4. 了解交錯級數的萊布尼茲定理，會估計交錯級數的截斷誤差。
5. 掌握冪級數的收斂半徑、收斂區間及收斂域的求法；掌握，，，和的麥克勞林展開式。
6. 了解任意項級數絕對收斂與條件收斂的概念，以及絕對收斂與條件收斂的關係。
7. 了解函式項級數的收斂域及和函式的概念，了解冪級數在其收斂區間內的一些基本性質。
8. 了解函式展開為泰勒級數的充分必要條件，了解冪級數在近似計算上的簡單應用。
9. 了解傅利葉級數的概念和函式展開為傅利葉級數的狄利克雷定理，會用根值審斂法。
10. 會求一些冪級數在收斂區間內的和函式，會將一些簡單函式間接展開成冪級數。
11. 會將定義在上的函式展開為傅利葉級數，會將定義在上的函式展開為正弦級數與余弦級數，會寫出傅利葉級數的和函式的表示式。
八、常微分方程
1． 理解線性微分方程解的性質及解的結構定理。
2． 掌握變數可分離的方程及一階線性方程的解法。
3． 掌握二階常係數齊次線性微分方程的解法。
4． 了解微分方程及其解、階、通解、初始條件和特解等概念。
5． 了解微分方程的冪級數解法。
6． 會解齊次方程、伯努利方程和全微分方程，會用簡單的變數代換解某些微分方程。
7． 會用降價法解下列方程：， 和。
大學數學標準化作業 2019
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