4.6 正弦、餘弦定理解斜三角形
建構知識結構
1．三角形基本公式：
（1）內角和定理：a+b+c=180°，sin(a+b)=sinc, cos(a+b)= -cosc,
cos=sin, sin=cos
（2）面積公式：s=absinc=bcsina=casinb
s= pr = (其中p=, r為內切圓半徑)
（3）射影定理：a = bcosc + ccosb；b = acosc + ccosa；c = acosb + bcosa
2．正弦定理：
證明：由三角形面積
得畫出三角形的外接圓及直徑易得：
3．餘弦定理：a2=b2+c2-2bccosa,；
證明：如圖δabc中，
當a、b是鈍角時，類似可證。正弦、餘弦定理可用向量方法證明。
要掌握正弦定理、餘弦定理及其變形，結合三角公式，能解有關三角形中的問題．
4．利用正弦定理，可以解決以下兩類問題：（1）已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；
（2）已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角；
有三種情況：bsina5．利用餘弦定理，可以解決以下兩類問題：
（1）已知三邊，求三角；（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角。
6．熟練掌握實際問題向解斜三角形型別的轉化，能在應用題中抽象或構造出三角形，標出已知量、未知量，確定解三角形的方法；提高運用所學知識解決實際問題的能力
練習題1．(2006山東)在中，角的對邊分別為，已知，則 （ ）
a.1b.2cd.
2．在△abc中，ab=3，bc=，ac=4，則邊ac上的高為（ ）
a. b. c. d.
3．（2023年上海）在△abc中，若2cosbsina=sinc，則△abc的形狀一定是
a.等腰直角三角形b.直角三角形
c.等腰三角形d.等邊三角形
4. (2006全國ⅰ)用長度分別為2、3、4、5、6（單位：）的5根細木棒圍成乙個三角形（允許連線，但不允許折斷），能夠得到的三角形的最大面積為 ( )
a. bcd.
5.（2006全國ⅱ）已知的三個內角a、b、c成等差數列，且ab=1，bc=4，則邊bc上的中線ad的長為
6.(2006春上海)在△中，已知，三角形面積為12，則
.◆答案:1-4.bbcb; 3.由2cosbsina=sinc得×a=c，∴a=b.
4.組成邊長6,7,7時面積最大; 5.; 6.
四、經典例題
【例1】(2006天津)如圖，在中，，，．
（1）求的值；
（2）求的值.
解（ⅰ）： 由餘弦定理，
∴（ⅱ）解：由，且得
由正弦定理:
解得。所以，。由倍角公式
，且，故
.◆解讀思想：已知兩邊夾角,用餘弦定理,由三角函式值求三角函式值時要注意「三角形內角」的限制.
【例2】在δabc中，已知a=,b=,b=45°，求a,c及邊c．
解：由正弦定理得：sina=,因為b=45°<90°且b所以有兩解a=60°或a=120°
(1)當a=60°時,c=180°-(a+b)=75°， c=,
(2)當a=120°時,c=180°-(a+b)=15 °，c=
◆解讀思想：已知兩邊和其中一邊的對角解三角形問題，用正弦定理求解，必需注意解的情況的討論．
【例3】(2006上海)如圖，當甲船位於a處時獲悉，在其正東方向相距20海浬的b處有一艘漁船遇險等待營救甲船立即前往救援，同時把訊息告知在甲船的南偏西30，相距10海浬c處的乙船，試問乙船應朝北偏東多少度的方向沿直線前往b處救援（角度精確到）？
[解] 連線bc,由餘弦定理得
bc2=202+102－2×20×10cos120°=700
於是,bc=10
sin∠acb=,
∵∠acb<90acb=41°
∴乙船應朝北偏東71°方向沿直線前往b處救援
點撥糾正:把實際問題轉化為解斜三角形問題，在問題中構造出三角形，標出已知量、未知量，確定解三角形的方法；
【例4】已知⊙o的半徑為r，，在它的內接三角形abc中，有
成立，求△abc面積s的最大值．
解：由已知條件得
．即有，
又 ∴ ．
∴ 當時,．
◆思路方法:1.邊角互化是解三角形問題常用的手段．一般有兩種思路：一是邊化角；二是角化邊。
2.三角形中的三角變換，應靈活運用正、餘弦定理．在求值時，要利用三角函式的有關性質．
【研討.欣賞】
（2006江西）如圖,已知△是邊長為的正三角形,、分別是邊、上的點,線段經過△的中心.設.
(1) 試將△、△的面積(分別記為與)表示為的函式;
(2) 求的最大值與最小值.
解: (1)因為為邊長為的正三角形的中心,
所以由正弦定理
因為,所以當時,的最大值;
當時,的最小值.
提煉總結
1．掌握三角形中的的基本公式和正餘弦定理；
2．利用正弦定理，可以解決以下兩類問題：
（1）已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；
（2）已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角（從而進一步求出其他的邊和角）；3.利用餘弦定理，可以解決以下兩類問題：
（1） 已知三邊，求三角；（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角。
4．邊角互化是解三角形的重要手段．
4.6 正弦、餘弦定理解斜三角形
【選擇題】
1.（2004浙江）在△abc中，「a＞30°」是「sina＞」的
a.充分而不必要條件b.必要而不充分條件
c.充分必要條件d.既不充分也不必要條件
2.（2004全國ⅳ）△abc中，a、b、c分別為∠a、∠b、∠c的對邊，如果a、b、c成等差數列，∠b=30°，△abc的面積為，那麼b等於
ab.1+
cd.2+
3..下列條件中，△abc是銳角三角形的是
a.sina+cosab.·＞0
c.tana+tanb+tanc＞0d.b=3，c=3，b=30°
4.(2006全國ⅰ)的內角a、b、c的對邊分別為a、b、c，若a、b、c成等比數列，且，則
abcd.
【填空題】
5.（2004春上海）在中，分別是、、所對的邊。若，，， 則
6.在銳角△abc中，邊長a=1，b=2，則邊長c的取值範圍是_______.
練習簡答：1-4.bbcb; 1.在△abc中，a＞30°0＜sina＜1sina＞；sina＞30°＜a＜150°a＞30°答案：b
2. 2b=a+c.平方得a2+c2=4b2－2ac.
由s=acsin30°=ac=，得ac=6.∴a2+c2=4b2－12.得cosb====，解得b=1+.
答案：b
3.由tana+tanb+tanc=tanatanbtanc＞0，a、b、c都為銳角.答案：c
5.2; 6.若c最大，由cosc＞0.得c＜.又c＞b－a=1，∴1＜c＜.
【解答題】
7.（2004春北京）在△abc中，a、b、c分別是∠a、∠b、∠c的對邊長，已知a、b、c成等比數列，且a2－c2=ac－bc，求∠a的大小及的值.
剖析：因給出的是a、b、c之間的等量關係，要求∠a，需找∠a與三邊的關係，故可用餘弦定理.由b2=ac可變形為=a，再用正弦定理可求的值.
解法一：∵a、b、c成等比數列，∴b2=ac.
又a2－c2=ac－bc，∴b2+c2－a2=bc.
在△abc中，由餘弦定理得
cosa===，∴∠a=60°.
在△abc中，由正弦定理得sinb=，
∵b2=ac，∠a=60°，
∴=sin60°=.
解法二：在△abc中，
由面積公式得bcsina=acsinb.
∵b2=ac，∠a=60°，∴bcsina=b2sinb.
∴=sina=.
評述：解三角形時，找三邊一角之間的關係常用餘弦定理，找兩邊兩角之間的關係常用正弦定理.
8.（2005春北京）在△abc中，sina+cosa=，ac=2，ab=3，求tana的值和△abc的面積.
解法一：∵sina+cosa=cos（a－45°）=，
∴cos（a－45°）=.
又0°＜a＜180°，
∴a－45°=60°，a=105°.
∴tana=tan（45°+60°）==－2－.
∴sina=sin105°=sin（45°+60°）
=sin45°cos60°+cos45°sin60°=.
∴s△abc=ac·absina
=·2·3·
=（+）.
解法二：∵sina+cosa
∴（sina+cosa）2=.∴2sinacosa=－.
∵0°＜a＜180°，∴sina＞0，cosa＜0.
∴90°＜a＜180°.
∵（sina－cosa）2=1－2sinacosa=，
∴sina－cosa
①+②得sina=.
①－②得cosa=.
∴tana==·=－2－.
（以下同解法一）
9. （2004全國ⅱ）已知銳角△abc中，sin（a+b）=，sin（a－b）=.
（1）求證：tana=2tanb；
（2）設ab=3，求ab邊上的高.
剖析：有兩角的和與差聯想到兩角和與差的正弦公式，結合圖形，以（1）為鋪墊，解決（2）.
（1）證明：∵sin（a+b）=，sin（a－b）=，
∴=2.
∴tana=2tanb.
（2）解：＜a+b＜π，∴sin（a+b）=.
∴tan（a+b）=－，
即=－.將tana=2tanb代入上式整理得2tan2b－4tanb－1=0，解得tanb=（負值捨去）.得tanb=，∴tana=2tanb=2+.
設ab邊上的高為cd，則ab=ad+db=+=.由ab=3得cd=2+，所以ab邊上的高為2+.
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