25．如圖1，正方形abcd中，點e為ad上任意一點，連線be，以be為邊向be右側作正方形befg，ef交cd於點m，連線bm，n為bm的中點，連線gn，fn。
（1）若ab=4，ae：de=3:1，求em的長；
（2）求證：gn=fn
（3）如圖2，移動點e，使得fn⊥cd於點q時，請**cm與de的數量關係並說明理由。
圖1圖2
25．（12分）如圖1，△abc是等腰直角三角形，ac=bc，∠acb=90°，直線l經過點c，af⊥l於點f， ae⊥l於點e，點d是ab的中點，連線ed．重·慶※名-校—資.源~庫編輯
(1) 求證：△acf≌△cbe
(2) 求證：af=be+de
(3) 如圖2，將直線l旋轉到△abc的外部，其他條件不變，（2）中的結論是否仍然成立，如果成立請說明理由，如果不成立af、be、de又滿足怎樣的關係？並說明理由．
225．在△abc中，ab=ac，點f是bc延長線上一點，以cf為邊，作菱形cdef，使菱形cdef與點a在bc的同側，鏈結be，點g是be的中點，鏈結ag、dg．
（1）如圖①，當∠bac=∠dcf=90°時，請直接寫出 ag與dg的位置和數量關係；
（2）如圖②，當∠bac=∠dcf=60°時，ag與dg有怎樣的位置和數量關係，並證明；
（3）當∠bac=∠dcf=時，試**ag與dg的位置和數量關係（數量關係用含的式子表達）．
圖圖圖③
5．如圖1，在正方形abcd中，點p為ad延長線上一點，連線ac、cp，過點c作cf⊥cp於點c，交ab於點f，過點b作bm⊥cf於點n，交ac於點m．
（1）若，，求；
（2）若，求證：；
（3）如圖2，在其他條件不變的情況下，將「正方形abcd」改為「矩形abcd」，且 ab≠bc，ac=ap，取cp中點e，連線eb，交ac於點o，猜想：∠aob與∠abm之間有何數量關係？請說明理由．
25、已知正方形中，點在上，連線，過點作於點，交於點。
（1）如圖1，連線，若，求的長；
（2）如圖2，連線，交於點，連線，分別交於點，連線。求證：平分；
（3）如圖3，在第（2）問的條件下，連線，若，求證：。
25、如圖1，在正方形中，點為邊上一點，將沿翻摺得，延長交邊於，連線。
（1）求證：；
（2）若的中點，求的值；
（3）如圖2，射線、分別交正方形兩個外角的平分線於、，連線，若以、、為三邊圍成三角形，試猜想三角形的形狀，並證明你的結論。
25、如圖，已知中，為中點，點在邊上，且。
（1）若，求的長；
（2）若為延長線上一點，連線，且滿足，求證：。
25．如圖，在菱形abcd中，∠abc=60°，e是對角線ac上任意一點，f是線段bc延長線上一點，且cf=ae，連線be、ef．
（1）如圖1，當e是線段ac的中點，且ab=2時，求△abc的面積；
（2）如圖2，當點e不是線段ac的中點時，求證：be=ef；
（3）如圖3，當點e是線段ac延長線上的任意一點時，（2）中的結論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由．
25．證明：
(1)(2)如圖1：過點e做se平行於ad交ab於s點，
, , ,
(3)如圖2：過點e做eh平行於ad交ab延長線於h點，
, , ,
25.(12分)在菱形abcd和正三角形bgf中，∠abc=60°，p是df的中點，連線pg、pc．
（1）如圖1，當點g在bc邊上時，若ab=10，bf=4，求pg的長；
（2）如圖2，當點f在ab的延長線上時，線段pc、pg有怎樣的數量關係，寫出你的猜想；並給予證明.
（3）如圖3，當點f在cb的延長線上時，(2)問中關係還成立嗎？寫出你的猜想，並給予證明.
25.（1）提示：如圖1：延長gp交dc於點e，
利用△ped≌△pgf，得出pe=pg，de=fg，
∵△bgf是等邊三角形，∴fg=bg，
又∵四邊形abcd是菱形，∴cd=cb，∴ce=cg，
∴cp是eg的中垂線，在rt△cpg中，∠pcg=60°，
∵ab=10，bf=4；∴cg=6
∴pg=3
（2）如圖2，延長gp交da於點e，連線ec，gc，
∵∠abc=60°，△bgf正三角形
∴gf∥bc∥ad，
∴∠edp=∠gfp，
在△dpe和△fpg中
∴△dpe≌△fpg（asa）
∴pe=pg，de=fg=bg，
∵∠cde=∠cbg=60°，cd=cb，
在△cde和△cbg中，
∴△cde≌△cbg（sas）
∴ce=cg，∠dce=∠bcg，
∴∠ecg=∠dcb=120°，
∵pe=pg，
∴cp⊥pg，∠pcg=∠ecg=60°
∴pg=pc．
（3）猜想：pg=pc．
證明：如圖3，延長gp到h，使ph=pg，連線ch，cg，dh，作fe∥dc
∵p是線段df的中點，∴fp=dp，
∵∠gpf=∠hpd，∴△gfp≌△hdp，
∴gf=hd，∠gfp=∠hdp，
∵∠gfp+∠pfe=120°，∠pfe=∠pdc，
∴∠cdh=∠hdp+∠pdc=120°，
∵四邊形abcd是菱形，
∴cd=cb，∠adc=∠abc=60°，點a、b、g又在一條直線上，∴∠gbc=120°，
∵△bfg是等邊三角形，∴gf=gb，∴hd=gb，∴△hdc≌△gbc，
∴ch=cg，∠dch=∠bcg，
∴∠dch+∠hcb=∠bcg+∠hcb=120°，即∠hcg=120°
∵ch=cg，ph=pg，∴pg⊥pc，∠gcp=∠hcp=60°，
∴pg=pc．
25．如圖1，在菱形abcd中， abc=60°，若點e在ab的延長線上，ef∥ad，ef=be，點p是de的中點，連線fp並延長交ad於點g．
（1）過d作dhab,垂足為h，若dh=，be=ab,求dg的長；
（2）連線cp，求證：cpfp；
（3）如圖2，在菱形abcd中， abc=60°，若點e在cb的延長線上運動，點f在ab的延長線上運動，且be=bf，連線de,點p為de的中點，連線fp、cp，那麼第（2）問的結論成立嗎？若成立，求出的值；若不成立，請說明理由．
25．（1）解：∵四邊形abcd為菱形
da∥bc cd=cb ∠cdg=∠cba=60°
∴∠dah=∠abc=60°
∵dh⊥ab
∴∠dha=90°
在rt△adh中 sin∠dah=
∴ad=…………1分
∴be=ab=×4=1
∵ef∥ad
∴∠pdg=∠peb
∵p為de的中點
∴pd=pe
∵∠dpg=∠epf
∴△pdg≌△pef…………2分
∴dg=ef
∵ef∥ad ad∥bc
∴ef∥bc
∴∠feb=∠cba=60°
∵be=ef
∴△bef為正三角形…………3分
∴ef=be=1
∴dg=ef=1…………4分
（2）證明：連線cg、cf
由（1）知 △pdg≌△pef
∴pg=pf
在△cdg與△cbf中
易證：∠cdg=∠cbf=60° cd=cb bf=ef=dg
∴△cdg≌△cbf…………6分
∴cg=cf
∵pg=pf
∴cp⊥gf…………8分
（3）如圖：cp⊥gf仍成立
理由如下：過d作ef的平行線，交fp延長於點g
連線cg、cf
證△pef≌△pdg…………8分
∴dg=ef=bf
∵dg∥ef
∴∠gdp=∠efp
∵da∥bc
∴∠adp=∠pec
∴∠gdp－∠adp=∠efp－∠pec
∴∠gda=∠bef=60°
∴∠cdg=∠adc+∠gda=120°
∵∠cbf=180°－∠ebf=120°
∴∠cbf=∠cdg………………………9分
∵cd=bc dg=bf
∴△cdg≌△cbf
∴cg=cf ∠dcg=∠fce
∵pg=pf
∴cp⊥pf10分
∠gcp=∠fcp
∵∠dcp=180－∠abc=120°
∴∠dcg+∠gce=120°
∴∠fce+∠gce=120°
即∠gce=12011分
∴∠fcp=1/2∠gce=60°
在rt△cpf中 tan∠fcp=tan60°==…………12分
（3）法2：如圖3，延長cp交da的延長線於點g，連線cf、gf、ge
先證△cpe≌△gpd………………………9分
得pc=pg
再證△gef≌△cbf………………………10分
得cf=gf
最後用三線合一得cf⊥pf………………………11分
然後證△cgf為正三角形得∠gcf=60°
∴pf：fc=tan6012分
25．已知，四邊形abcd是正方形，點p在直線bc上，點g在直線ad上（p、g不與正方形頂點重合，且在cd的同側），pd=pg，df⊥pg於點h，df交直線ab於點f，將線段pg繞點p逆時針旋轉90°得到線段pe，鏈結ef．
（1）如圖1，當點p與點g分別**段bc與線段ad上時，若pc=1，計算出dg的長；
（2）如圖1，當點p與點g分別**段bc與線段ad上時，證明：四邊形dfep為菱形；
25平行四邊形證明題
25 如圖，在菱形abcd中，abc 60 e是對角線ac上任意一點，f是線段bc延長線上一點，且cf ae，連線be ef 1 如圖1，當e是線段ac的中點，且ab 2時，求 abc的面積 2 如圖2，當點e不是線段ac的中點時，求證 be ef 3 如圖3，當點e是線段ac延長線上的任意一點時，...
平行四邊形證明題
2 如圖，f c是線段ad上的兩點，ab de，bc ef，af dc，連線ae bd，求證 四邊形abde是平行四邊形 3 如圖，點a f c d在同一直線上，點b和點e分別在直線ad的兩側，且ab de，a d，af dc 求證 四邊形bcef是平行四邊形 4 如圖，e f是平行四邊形abcd的...
特殊平行四邊形證明題
題型一 菱形的證明 1 如圖，在三角形中，分別是 上的點，沿線段翻摺，使點落在邊上，記為 若四邊形是菱形，則下列說法正確的是 a.是 的中位線 b.是邊上的中線 c.是邊上的高d.是 的角平分線 2 已知 如圖，在中，ae是bc邊上的高，將沿方向平移，使點e與點c重合，得 1 求證 2 若，當ab與...