數列證明題型總結
（考試時間總分：______）
出卷人內測人
班號姓名成績
一、解答題 ：
1．在數列中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.
(ⅰ)設bn＝，證明：數列是等差數列；
(ⅱ)求數列的前n項的和sn.
【答案】
(ⅰ)因為bn＋1－bn＝－＝＝＝1
所以數列為等差數列
(ⅱ)因為bn＝b1＋(n－1)×1＝n
所以an＝n·2n－1
所以sn＝1×20＋2×21＋…＋n×2n－1
2sn＝1×21＋2×22＋…＋n×2n
兩式相減得sn＝(n－1)·2n＋1
2．在數列中，a1＝，an＋1＝an＋.
(ⅰ)設bn＝2nan，證明：數列是等差數列；
(ⅱ)求數列的前n項和sn.
【答案】
(ⅰ)由an＋1＝an＋，
得2n＋1an＋1＝2nan＋1 bn＋1＝bn＋1，
則是首項b1＝1，公差為1的等差數列．
故bn＝n，an＝.
(ⅱ)sn＝1×＋2×＋3×＋…＋(n－1)×＋n×
sn＝1×＋2×＋3×＋…＋(n－1)×＋n×
兩式相減，得：
sn＝＋＋＋…＋－
＝－＝1－－
sn＝2－－
3．數列的各項均為正數，前n項和為sn，且滿足4sn＝(an＋1)2(n∈n*)．
(ⅰ)證明：數列是等差數列，並求出其通項公式an；
(ⅱ)設bn＝an＋2an(n∈n*)，求數列的前n項和tn.
【答案】
(ⅰ)n＝1時，4a1＝(a1＋1)2a－2a1＋1＝0，即a1＝1
n≥2時，4an＝4sn－4sn－1＝(an＋1)2－(an－1＋1)2＝a－a＋2an－2an－1
a－a－2an－2an－1＝0
(an＋an－1)[(an－an－1)－2]＝0
∵an>0 ∴an－an－1＝2
故數列是首項為a1＝1，公差為d＝2的等差數列，且an＝2n－1(n∈n*)
(ⅱ)由(ⅰ)知bn＝an＋2an＝(2n－1)＋22n－1
∴tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝(1＋21)＋(3＋23)＋…＋[(2n－1)＋22n－1]
＝[1＋3＋…＋(2n－1)]＋(21＋23＋…＋22n－1)
＝n2＋＝＋n2－＝
4．數列的各項均為正數，前n項和為sn，且滿足2＝an＋1(n∈n*)．
(ⅰ)證明：數列是等差數列，並求出其通項公式an；
(ⅱ)設bn＝an·2n(n∈n*)，求數列的前n項和tn.
【答案】
(ⅰ)由2＝an＋1(n∈n*)可以得到4sn＝(an＋1)2(n∈n*)
n＝1時，4a1＝(a1＋1)2a－2a1＋1＝0，即a1＝1
n≥2時，4an＝4sn－4sn－1＝(an＋1)2－(an－1＋1)2
＝a－a＋2an－2an－1
a－a－2an－2an－1＝0
(an＋an－1)[(an－an－1)－2]＝0
∵an>0 ∴an－an－1＝2
故數列是首項為a1＝1，公差為d＝2的等差數列，且
an＝2n－1(n∈n*)
(ⅱ)由(ⅰ)知bn＝an·2n＝(2n－1)·2n
∴tn＝(1·21)＋(3·22)＋…＋[(2n－3)·2n－1]＋[(2n－1)·2n]
則2tn＝(1·22)＋(3·23)＋…＋[(2n－3)·2n]＋[(2n－1)·2n＋1]
兩式相減得：
－tn＝(1·21)＋(2·22)＋…＋(2·2n)－[(2n－1)·2n＋1]
＝2·－2－[(2n－1)·2n＋1]
＝(3－2n)·2n＋1－6
∴tn＝(2n－3)·2n＋1＋6(或tn＝(4n－6)·2n＋6)
5．已知數列，其前n項和為sn＝n2＋n(n∈n*)．
(ⅰ)求a1，a2；
(ⅱ)求數列的通項公式，並證明數列是等差數列；
(ⅲ)如果數列滿足an＝log2bn，請證明數列是等比數列，並求其前n項和tn.
【答案】
(ⅰ)a1＝s1＝5，
a1＋a2＝s2＝×22＋×2＝13，
解得a2＝8.
(ⅱ)當n≥2時，
an＝sn－sn－1
＝[n2－(n－1)2]＋[n－(n－1)]
＝(2n－1)＋＝3n＋2.
又a1＝5滿足an＝3n＋2，
∴an＝3n＋2(n∈n*)．
∵an－an－1＝3n＋2－[3(n－1)＋2]
＝3(n≥2，n∈n*)，
∴數列是以5為首項，3為公差的等差數列．
(ⅲ)由已知得bn＝2an(n∈n*)，
∵＝＝2an＋1－an＝23＝8(n∈n*)，
又b1＝2a1＝32，
∴數列是以32為首項，8為公比的等比數列．
∴tn＝＝(8n－1)．
6．已知函式f(x)＝，數列滿足：a1＝，an＋1＝f(an)．
(ⅰ)求證：數列為等差數列，並求數列的通項公式；
(ⅱ)記sn＝a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1，求證：sn<.
【答案】
證明：(ⅰ)∵an＋1＝f(an)＝，∴＝＋，即－＝，
則成等差數列，
所以＝＋(n－1)×＝＋(n－1)×＝，則an＝.
(ⅱ)∵anan＋1＝·＝8，
∴sn＝a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝8＝8<.
7．已知數列的前三項依次為2，8，24，且是等比數列．
(ⅰ)證明是等差數列；
(ⅱ)試求數列的前n項和sn的公式．
【答案】
(ⅰ)∵a2－2a1＝4，a3－2a2＝8，
∴是以2為公比的等比數列．
∴an－2an－1＝4×2n－2＝2n.
等式兩邊同除以2n，得－＝1，
∴是等差數列．
(ⅱ)根據(ⅰ)可知＝＋(n－1)×1＝n，∴an＝n·2n.
sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n，'①
2sn＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1.'②
①－②得：
－sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1
＝－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1，
∴sn＝(n－1)·2n＋1＋2.
8．已知數列的各項為正數，前n項和為sn，且滿足：sn＝(n∈n*)．
(ⅰ)證明：數列是等差數列；
(ⅱ)設tn＝s＋s＋s＋…＋s，求tn.
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