（2010·廣東·4）已知數列為等比數列，是它的前n項和,若，且與2的等差中項為，則（ ）
答案： c
（2010·江西·5）等比數列中，，=4，函式，則（ ）
答案： c
2010·湖南·15）若數列滿足：對任意的，只有有限個正整數使得成立，記這樣的的個數為，則得到乙個新數列．例如，若數列是，則數列是．已知對任意的，，則
答案：2，（2010·遼寧·16）已知數列滿足則的最小值為
答案：（2010·陝西·9）對於數列，「」是「為遞增數列」的（ ）
（2011·北京·20）若數列：，，…，滿足（，2，…，），則稱為e數列．記．
（ⅰ）寫出乙個滿足，且的e數列；
（ⅱ）若，，證明：e數列是遞增數列的充要條件是；
（ⅲ）對任意給定的整數，是否存在首項為0的e數列，使得？如果存在，寫出乙個滿足條件的e數列；如果不存在，說明理由．
答案及評分標準：
（ⅰ）0，1，2，1，0是乙個滿足條件的e數列a5．
（答案不唯一，0，1，0，1，0也是乙個滿足條件的e的數列a5）
（ⅱ）必要性：因為e數列an是遞增數列，所以．
所以an是首項為12，公差為1的等差數列．所以a2000=12+（2000—1）×1=2011．
充分性，由於a2000—a1999≤1，
a1999—a1998≤1
……a2—a1≤1
所以a2000—a1≤1999，即a2000≤a1+1999．
又因為a1=12，a2000=2011, ∴a2000=a1+1999．
故是遞增數列．
綜上，結論得證．
（ⅲ）令
∴,……∴∵
∴為偶數,
∴要使為偶數,
即4整除．
當時，數列的項滿足= =0，時，有
當的項滿足，
當不能被4整除，此時不存在e數列an，使得
答案： b
（2011·四川·20）設為非零實數，．
（ⅰ）寫出並判斷是否為等比數列．若是，給出證明；若不是，說明理由；
（ⅱ）設，求數列的前n項和．
答案及評分標準：
（ⅰ）,
因為為常數，所以當是以為首項，為公比的等比數列．
（ⅱ）（2）（1），
2011·四川·8）數列的首項為，為等差數列且 ．若則，，則（ ）
答案： b
（2011·天津·4）已知為等差數列，其公差為-2，且是與的等比中項， 為的前項和，，則的值為（ ）
答案： d
（2012·全國·理22）函式f(x)＝x2－2x－3，定義數列如下：x1＝2，xn＋1是過兩點p(4,5)，qn(xn，f(xn))的直線pqn與x軸交點的橫座標．
(1)證明：2≤xn＜xn＋1＜3；
(2)求數列的通項公式．
答案及評分標準：
(1)用數學歸納法證明：2≤xn＜xn＋1＜3.
①當n＝1時，x1＝2，直線pq1的方程為
，令y＝0，解得，所以2≤x1＜x2＜3.
②假設當n＝k時，結論成立，即2≤xk＜xk＋1＜3.
直線pqk＋1的方程為，
令y＝0，解得，
由歸納假設知；
xk＋2－xk＋1＝，
即xk＋1＜xk＋2.
所以2≤xk＋1＜xk＋2＜3，即當n＝k＋1時，結論成立．
由①②知對任意的正整數n,2≤xn＜xn＋1＜3.
(2) 的通項公式為.
（2012·四川·文12）設函式f(x)＝(x－3)3＋x－1，是公差不為0的等差數列，f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a7)＝14，則a1＋a2＋…＋a7＝（ ）
答案： d
（2012·四川·文20）已知數列的前n項和為sn，常數λ＞0，且λa1an＝s1＋sn對一切正整數n都成立．
(1)求數列的通項公式；
(2)設a1＞0，λ＝100.當n為何值時，數列的前n項和最大？
答案及評分標準：
(1)當a1＝0時，an＝0；
當a1≠0時，.
(2)當n≥7時，bn≤b7＝＜lg 1＝0，
故數列的前6項的和最大．
（2012·四川·理12）設函式f(x)＝2x－cosx，是公差為的等差數列，f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a5)＝5π，則[f(a3)]2－a1a5＝（ ）
答案： d
（2012·四川·理20）已知數列的前n項和為sn，且a2an＝s2＋sn對一切正整數n都成立．
(1)求a1，a2的值；
(2)設a1＞0，數列的前n項和為tn.當n為何值時，tn最大？並求出tn的最大值．
答案及評分標準：
(1) a1＝0，a2＝0；或a1＝＋1，a2＝＋2；或a1＝1－，a2＝2－.
(2)當a1＞0時，由(1)知a1＝＋1，a2＝＋2.
當n≥2時，有(2＋)an＝s2＋sn，(2＋)an－1＝s2＋sn－1，所以(1＋)an＝(2＋)an－1，即an＝an－1(n≥2)，
所以an＝a1()n－1＝(＋1)·()n－1.
令，則bn＝1－lg()n－1＝1－(n－1)lg 2＝.
所以數列是單調遞減的等差數列(公差為)，從而b1＞b2＞…＞b7＝＞lg1＝0，
當n≥8時，，
故n＝7時，tn取得最大值，且tn的最大值為.
一、問答題
1、（2012·陝西·文16）已知等比數列的公比.
(1)若，求數列的前n項和；
(2)證明：對任意k∈n＋，ak，ak＋2，ak＋1成等差數列．
2、（2012·陝西·理17）設是公比不為1的等比數列，其前n項和為sn，且a5，a3，a4成等差數列．
(1)求數列的公比；
(2)證明：對任意k∈n＋，sk＋2，sk，sk＋1成等差數列．
3、（2012·湖北·理18）已知等差數列前三項的和為－3，前三項的積為8.
(1)求等差數列的通項公式；
(2)若a2，a3，a1成等比數列，求數列的前n項和．
4、（2012·江蘇·20）已知各項均為正數的兩個數列和滿足：，n∈n*.
(1)設bn＋1＝1＋，n∈n*，求證：數列是等差數列；
(2)設，n∈n*，且是等比數列，求a1和b1的值．
5、（2012·重慶·文16）已知為等差數列，且a1＋a3＝8，a2＋a4＝12.
(1)求的通項公式；
(2)記的前n項和為sn，若a1，ak，sk＋2成等比數列，求正整數k的值．
6、（2012·廣東·理19）設數列的前n項和為sn，滿足2sn＝an＋1－2n＋1＋1，n∈n*，且a1，a2＋5，a3成等差數列．
(1)求a1的值；
(2)求數列的通項公式；
(3)證明：對一切正整數n，有.
7、（2012·廣東·文19）設數列的前n項和為sn，數列的前n項和為tn，滿足tn＝2sn－n2，n∈n*.
(1)求a1的值；
(2)求數列的通項公式．
8、（2012·浙江·文19）已知數列的前n項和為sn，且sn＝2n2＋n，n∈n*，數列滿足an＝4log2bn＋3，n∈n*．
(1)求an，bn；
(2)求數列的前n項和tn．
9、（2012·安徽·理21）數列滿足x1＝0，xn＋1＝－xn2＋xn＋c(n∈n*)．
(1)證明：是遞減數列的充分必要條件是c＜0；
(2)求c的取值範圍，使是遞增數列．
10、（2012·安徽·文21）設函式f(x)＝＋sinx的所有正的極小值點從小到大排成的數列為．
(1)求數列的通項公式；
(2)設的前n項和為sn，求sinsn．
11、（2012·湖南·理19）已知數列的各項均為正數，記a(n)＝a1＋a2＋…＋an，b(n)＝a2＋a3＋…＋an＋1，c(n)＝a3＋a4＋…＋an＋2，n＝1,2，….
(1)若a1＝1，a2＝5，且對任意n∈n*，三個數a(n)，b(n)，c(n)組成等差數列，求數列的通項公式；
(2)證明：數列是公比為q的等比數列的充分必要條件是：對任意n∈n*，三個數a(n)，b(n)，c(n)組成公比為q的等比數列．
12、（2012·湖南·文20）某公司一下屬企業從事某種高科技產品的生產，該企業第一年年初有資金2 000萬元，將其投入生產，到當年年底資金增長了50%.預計以後每年資金年增長率與第一年的相同．公司要求企業從第一年開始，每年年底上繳資金d萬元，並將剩餘資金全部投入下一年生產，設第n年年底企業上繳資金後的剩餘資金為an萬元．
(1)用d表示a1，a2，並寫出an＋1與an的關係式；
(2)若公司希望經過m(m≥3)年使企業的剩餘資金為4 000萬元，試確定企業每年上繳資金d的值(用m表示)．
答案：1、(1) .
(2)證明：對任意k∈n＋，
2ak＋2－(ak＋ak＋1)＝2a1qk＋1－(a1qk－1＋a1qk)＝a1qk－1(2q2－q－1)，
由，得2q2－q－1＝0，
故2ak＋2－(ak＋ak＋1)＝0，即2ak＋2＝ak＋ak＋1，
所以，對任意k∈n＋，ak，ak＋2，ak＋1成等差數列．
2、(1)設數列的公比為q(q≠0，q≠1)，
q＝－2.
(2)證法一：對任意k∈n＋，
sk＋2＋sk＋1－2sk＝(sk＋2－sk)＋(sk＋1－sk)
＝ak＋1＋ak＋2＋ak＋1
＝2ak＋1＋ak＋1·(－2)
＝0，所以，對任意k∈n＋，sk＋2，sk，sk＋1成等差數列．
證法二：對任意k∈n＋，，
sk＋2＋sk＋1＝
＝，2sk－(sk＋2＋sk＋1)＝
＝[2(1－qk)－(2－qk＋2－qk＋1)]
＝(q2＋q－2)＝0，
因此，對任意k∈n＋，sk＋2，sk，sk＋1成等差數列．
3、(1)設等差數列的公差為d， an＝－3n＋5或an＝3n－7.
(2)4、(1)證明：由題設知，
所以，從而(n∈n*)，
所以數列是以1為公差的等差數列．
(2) a1＝b1＝.
5、(1)設數列的公差為d， an＝a1＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n.
(2)6.
6、1．
(2) an＝3n－2n．
(3)∵an＝3n－2n＝3·3n－1－2n＝3n－1＋2(3n－1－2n－1)≥3n－1，
∴．∴．
7、(1) 1．
(2)an＝3·2n－1－2．
8、(1) an＝4log2bn＋3，bn＝2n－1，n∈n*．
(2)由(1)知anbn＝(4n－1)·2n－1，n∈n*．
所以tn＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n－1)·2n－1,2tn＝3×2＋7×22＋…＋(4n－5)·2n－1＋(4n－1)·2n，
所以2tn－tn＝(4n－1)2n－［3＋4(2＋22＋…＋2n－1)］＝(4n－5)2n＋5．
故tn＝(4n－5)2n＋5，n∈n*．
9、(1)先證充分性，若c＜0，由於xn＋1＝＋xn＋c≤xn＋c＜xn，故是遞減數列；
再證必要性，若是遞減數列，則由x2＜x1可得c＜0．
(2) (0，］．
10、(1)xn＝2nπ－(n∈n*)．
(2)11、(1) an＝1＋(n－1)×4＝4n－3.
(2)①必要性：若數列是公比為q的等比數列，則對任意n∈n*，有an＋1＝anq.由an＞0知，a(n)，b(n)，c(n)均大於0，於是，，
即.所以三個數a(n)，b(n)，c(n)組成公比為q的等比數列．
②充分性：若對任意n∈n*，三個數a(n)，b(n)，c(n)組成公比為q的等比數列，則
b(n)＝qa(n)，c(n)＝qb(n)．
於是c(n)－b(n)＝q[b(n)－a(n)]，得an＋2－a2＝q(an＋1－a1)，即
an＋2－qan＋1＝a2－qa1.
由n＝1有b(1)＝qa(1)，即a2＝qa1，從而an＋2－qan＋1＝0.
因為an＞0，所以.
故數列是首項為a1，公比為q的等比數列．
綜上所述，數列是公比為q的等比數列的充分必要條件是：對任意n∈n*，三個數a(n)，b(n)，c(n)組成公比為q的等比數列．
12、(1)an＋1＝an(1＋50%)－d＝an－d.
(2)由(1)得an＝an－1－d＝(an－2－d)－d
＝()2an－2－d－d＝…
＝()n－1a1－d[1＋＋()2＋…＋()n－2]．
整理得an＝()n－1(3 000－d)－2d[()n－1－1]
＝()n－1(3 000－3d)＋2d.
由題意，am＝4 000，即()m－1(3 000－3d)＋2d＝4 000.
解得，故該企業每年上繳資金d的值為時，經過m(m≥3)年企業的剩餘資金為4 000萬元．
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