人教版數學九年級下冊
第二十六章二次函式 1
26.1 二次函式及其影象 1
26.2 用函式觀點看一元二次方程 6
26.3 實際問題與二次函式 6
第二十七章相似 6
27.1 圖形的相似 6
27.2 相似三角形 7
27.3 位似 7
第二十八章銳角三角函式 8
28.1 銳角三角函式 8
28.2 解直角三角形 10
第二十九章投影與檢視 12
29.1 投影 12
29.2 三檢視 12
第二十六章二次函式
26.1 二次函式及其影象
二次函式(quadratic function)是指未知數的最高次數為二次的多項式函式。二次函式可以表示為f(x)=ax^2+bx+c(a不為0)。其影象是一條主軸平行於y軸的拋物線。
一般的,自變數x和因變數y之間存在如下關係:
一般式 y=ax∧2;+bx+c(a≠0,a、b、c為常數),頂點座標為(-b/2a,-(4ac-b∧2)/4a) ;
頂點式 y=a(x+m)∧2+k(a≠0,a、m、k為常數)或y=a(x-h)∧2+k(a≠0,a、h、k為常數),頂點座標為(-m,k)對稱軸為x=-m,頂點的位置特徵和影象的開口方向與函式y=ax∧2的影象相同,有時題目會指出讓你用配方法把一般式化成頂點式;
交點式 y=a(x-x1)(x-x2) [僅限於與x軸有交點a(x1,0)和 b(x2,0)的拋物線] ;
重要概念:a,b,c為常數,a≠0,且a決定函式的開口方向,a>0時,開口方向向上,a<0時,開口方向向下。a的絕對值還可以決定開口大小,a的絕對值越大開口就越小,a的絕對值越小開口就越大。
牛頓插值公式(已知三點求函式解析式)
y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)+(y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x3)+(y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3) 。由此可引導出交點式的係數a=y1/(x1*x2) (y1為截距)
求根公式
二次函式表示式的右邊通常為二次三項式。
求根公式
x是自變數,y是x的二次函式
x1,x2=[-b±(√(b^2-4ac))]/2a
(即一元二次方程求根公式)(如右圖)
求根的方法還有因式分解法和配方法
在平面直角座標系中作出二次函式y=2x的平方的影象,
可以看出,二次函式的影象是一條永無止境的拋物線。
不同的二次函式影象
如果所畫圖形準確無誤,那麼二次函式將是由一般式平移得到的。
注意:草圖要有 1本身影象,旁邊註明函式。
2畫出對稱軸,並註明x=什麼
3與x軸交點座標,與y軸交點座標,頂點座標。拋物線的性質
軸對稱 1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x = -b/2a。
對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點p。
特別地,當b=0時,拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)
頂點 2.拋物線有乙個頂點p,座標為p ( -b/2a ,4ac-b^2;)/4a )
當-b/2a=0時,p在y軸上;當δ= b^2;-4ac=0時,p在x軸上。
開口 3.二次項係數a決定拋物線的開口方向和大小。
當a>0時,拋物線向上開口;當a<0時,拋物線向下開口。
|a|越大,則拋物線的開口越小。
決定對稱軸位置的因素
4.一次項係數b和二次項係數a共同決定對稱軸的位置。
當a與b同號時(即ab>0),對稱軸在y軸左; 因為若對稱軸在左邊則對稱軸小於0,也就是- b/2a<0,所以b/2a要大於0,所以a、b要同號
當a與b異號時(即ab<0),對稱軸在y軸右。因為對稱軸在右邊則對稱軸要大於0,也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小於0,所以a、b要異號
可簡單記憶為左同右異,即當a與b同號時(即ab>0),對稱軸在y軸左;當a與b異號時
(即ab< 0 ),對稱軸在y軸右。
事實上,b有其自身的幾何意義:拋物線與y軸的交點處的該拋物線切線的函式解析式(一次函式)的
斜率k的值。可通過對二次函式求導得到。
決定拋物線與y軸交點的因素
5.常數項c決定拋物線與y軸交點。
拋物線與y軸交於(0,c)
拋物線與x軸交點個數
6.拋物線與x軸交點個數
δ= b^2-4ac>0時,拋物線與x軸有2個交點。
δ= b^2-4ac=0時,拋物線與x軸有1個交點。
δ= b^2-4ac<0時,拋物線與x軸沒有交點。x的取值是虛數(x= -b±√b^2-4ac 的值的相反數,乘上
虛數i,整個式子除以2a)
當a>0時,函式在x= -b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b²/4a;在上是減函式,在
上是增函式;拋物線的開口向上;函式的值域是相反不變
當b=0時,拋物線的對稱軸是y軸,這時,函式是偶函式,解析式變形為y=ax^2+c(a≠0)
特殊值的形式
7.特殊值的形式
①當x=1時 y=a+b+c
②當x=-1時 y=a-b+c
③當x=2時 y=4a+2b+c
④當x=-2時 y=4a-2b+c
二次函式的性質
8.定義域:r
值域:(對應解析式,且只討論a大於0的情況,a小於0的情況請讀者自行推斷)①[(4ac-b^2)/4a,
正無窮);②[t,正無窮)
奇偶性:當b=0時為偶函式,當b≠0時為非奇非偶函式 。
週期性:無
解析式:
①y=ax^2+bx+c[一般式]
⑴a≠0
⑵a>0,則拋物線開口朝上;a<0,則拋物線開口朝下;
⑶極值點:(-b/2a,(4ac-b^2)/4a);
⑷δ=b^2-4ac,
δ>0,圖象與x軸交於兩點:
([-b-√δ]/2a,0)和([-b+√δ]/2a,0);
δ=0,圖象與x軸交於一點:
(-b/2a,0);
δ<0,圖象與x軸無交點;
②y=a(x-h)^2+k[頂點式]
此時,對應極值點為(h,k),其中h=-b/2a,k=(4ac-b^2)/4a;
③y=a(x-x1)(x-x2)[交點式(雙根式)](a≠0)
對稱軸x=(x1+x2)/2 當a>0 且x≧(x1+x2)/2時,y隨x的增大而增大,當a>0且x≦(x1+x2)/2時y隨x
的增大而減小
此時,x1、x2即為函式與x軸的兩個交點,將x、y代入即可求出解析式(一般與一元二次方程連
用)。交點式是y=a(x-x1)(x-x2) 知道兩個x軸交點和另乙個點座標設交點式。兩交點x值就是相應x1 x2值。
26.2 用函式觀點看一元二次方程
1. 如果拋物線與x軸有公共點,公共點的橫座標是,那麼當時,函式的值是0,因此就是方程的乙個根。
2. 二次函式的圖象與x軸的位置關係有三種:沒有公共點,有乙個公共點,有兩個公共點。這對應著一元二次方程根的三種情況:沒有實數根,有兩個相等的實數根,有兩個不等的實數根。
26.3 實際問題與二次函式
在日常生活、生產和科研中,求使材料最省、時間最少、效率最高等問題,有些可歸結為求二次函式的最大值或最小值。
第二十七章相似
27.1 圖形的相似
概述 如果兩個圖形形狀相同,但大小不一定相等,那麼這兩個圖形相似。(相似的符號:∽)
判定 如果兩個多邊形滿足對應角相等,對應邊的比相等,那麼這兩個多邊形相似。
相似比 相似多邊形的對應邊的比叫相似比。相似比為1時,相似的兩個圖形全等。
性質 相似多邊形的對應角相等,對應邊的比相等。相似多邊形的周長比等於相似比。
相似多邊形的面積比等於相似比的平方。
27.2 相似三角形
判定 1.兩個三角形的兩個角對應相等
2.兩邊對應成比例,且夾角相等
3.三邊對應成比例
4.平行於三角形一邊的直線和其他兩邊或兩邊延長線相交,所構成的三角形與原三角形相似。
例題 ∵∠a=∠a'; ∠b=∠b'
∴△abc∽△a'b'c'
性質 1.相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等)的比等於相似比。
2.相似三角形周長的比等於相似比。
3.相似三角形面積的比等於相似比的平方
27.3 位似
如果兩個圖形不僅是相似圖形,而且每組對應點的連線交於一點,對應邊互相平行,那麼這兩個圖形叫做位似圖形,這個點叫做位似中心,這時的相似比又稱為位似比。
性質 位似圖形的對應點和位似中心在同一直線上,它們到位似中心的距離之比等於相似比。
位似多邊形的對應邊平行或共線。
位似可以將乙個圖形放大或縮小。
位似圖形的中心可以在任意的一點,不過位似圖形也會隨著位似中心的位變而位變。
根據乙個位似中心可以作兩個關於已知圖形一定位似比的位似圖形,這兩個圖形分布在位似中心的兩側,並且關於位似中心對稱。
注意1、位似是一種具有位置關係的相似,所以兩個圖形是位似圖形,必定是相似圖形,而相似圖形不一定是位似圖形;
2、兩個位似圖形的位似中心只有乙個;
3、兩個位似圖形可能位於位似中心的兩側,也可能位於位似中心的一側;
4、位似比就是相似比.利用位似圖形的定義可判斷兩個圖形是否位似;
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7.同角的三角函式間的關係 互餘關係sina cos 90 a cosa sin 90 a 平方關係 商數關係 8.解直角三角形 在直角三角形中,除直角外,一共有五個元素,即三條邊和二個銳角。由直角三角形中除直角外的已知元素,求出所有未知元素的過程,叫做解直角三角形 須知一條邊 9.直角三角形變焦關...