第一章集合與函式概念
一、集合有關概念
1、集合的含義：某些指定的物件集在一起就成為乙個集合，其中每乙個物件叫元素。
2、集合的中元素的三個特性：
1.元素的確定性； 2.元素的互異性； 3.元素的無序性
說明：(1)對於乙個給定的集合，集合中的元素是確定的，任何乙個物件或者是或者不是這個給定的集合的元素。
(2)任何乙個給定的集合中，任何兩個元素都是不同的物件，相同的物件歸入乙個集合時，僅算乙個元素。
(3)集合中的元素是平等的，沒有先後順序，因此判定兩個集合是否一樣，僅需比較它們的元素是否一樣，不需考查排列順序是否一樣。
(4)集合元素的三個特性使集合本身具有了確定性和整體性。
3、集合的表示： 如，
1. 用拉丁字母表示集合：a=,b=
2．集合的表示方法：列舉法與描述法。
注意啊：常用數集及其記法：
非負整數集（即自然數集） 記作：n
正整數集 n*或 n+ 整數集z 有理數集q 實數集r
關於「屬於」的概念
集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示，如：a是集合a的元素，就說a屬於集合a 記作 a∈a ，相反，a不屬於集合a 記作 a?a
列舉法：把集合中的元素一一枚舉出來，然後用乙個大括號括上。
描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內表示集合的方法。用確定的條件表示某些物件是否屬於這個集合的方法。
①語言描述法：例：
②數學式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是或
4、集合的分類：
1．有限集含有有限個元素的集合
2．無限集含有無限個元素的集合
3．空集不含任何元素的集合例： b= 「元素相同」
結論：對於兩個集合a與b，如果集合a的任何乙個元素都是集合b的元素，同時，集合b的任何乙個元素都是集合a的元素，我們就說集合a等於集合b，即：a=b
① 任何乙個集合是它本身的子集。a?a
②真子集：如果a?b，且a? b那就說集合a是集合b的真子集，記作a b(或b a)
③如果 a?b, b?c ，那麼 a?c
④ 如果a?b 同時 b?a 那麼a=b
3. 不含任何元素的集合叫做空集，記為φ
規定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
三、集合的運算
1．交集的定義
：一般地，由所有屬於a且屬於b的元素所組成的集合,叫做a,b的交集．
記作a∩b(讀作」a交b」)，即a∩b=．
2、並集的定義：一般地，由所有屬於集合a或屬於集合b的元素所組成的集合，叫做a,b的並集。記作：a∪b(讀作」a並b」)，即a∪b=．
3、交集與並集的性質：a∩a = a, a∩φ= φ, a∩b = b∩a，a∪a = a,
a∪φ= a ,a∪b = b∪a.
4、全集與補集
（1）補集：設s是乙個集合，a是s的乙個子集（即 ），由s中所有不屬於a的元素組成的集合，叫做s中子集a的補集（或餘集）
記作： csa 即 csa =
（2）全集：如果集合s含有我們所要研究的各個集合的全部元素，這個集合就可以看作乙個全集。通常用u來表示。
（3）性質：⑴cu(c ua)=a ⑵(c ua)∩a=φ ⑶(cua)∪a=u
二、函式的有關概念
1．函式的概念：設a、b是非空的數集，如果按照某個確定的對應關係f，使對於集合a中的任意乙個數x，在集合b中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那麼就稱f：a→b為從集合a到集合b的乙個函式．記作：
y=f(x)，x∈a．其中，x叫做自變數，x的取值範圍a叫做函式的定義域；與x的值相對應的y值叫做函式值，函式值的集合叫做函式的值域． 注意：○2如果只給出解析式y=f(x)，而沒有指明它的定義域，則函式的定義域即是指能使這個式子有意義的實數的集合；○3 函式的定義域、值域要寫成集合或區間的形式．
定義域補充能使函式式有意義的實數x的集合稱為函式的定義域，求函式的定義域時列不等式組的主要依據是：(1)分式的分母不等於零； (2)偶次方根的被開方數不小於零； (3)對數式的真數必須大於零；(4)指數、對數式的底必須大於零且不等於1. (5)如果函式是由一些基本函式通過四則運算結合而成的.
那麼，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.（6）指數為零底不可以等於零 (6)實際問題中的函式的定義域還要保證實際問題有意義.
(又注意：求出不等式組的解集即為函式的定義域。)
2． 構成函式的三要素：定義域、對應關係和值域再注意：（1）構成函式三個要素是定義域、對應關係和值域．由於值域是由定義域和對應關係決定的，所以，如果兩個函式的定義域和對應關係完全一致，即稱這兩個函式相等（或為同一函式）（2）兩個函式相等當且僅當它們的定義域和對應關係完全一致，而與表示自變數和函式值的字母無關。
相同函式的判斷方法：①表示式相同；②定義域一致 (兩點必須同時具備)
(見課本21頁相關例2)
值域補充
(1)、函式的值域取決於定義域和對應法則，不論採取什麼方法求函式的值
值域都應先考慮其定義域. (2).應熟悉掌握一次函式、二次函式、指數、對數函式及各三角函式的值域，它是求解複雜函式值域的基礎。
3. 函式圖象知識歸納
(1)定義：在平面直角座標系中，以函式 y=f(x) , (x∈a)中的x為橫座標，函式值y為縱座標的點p(x，y)的集合c，叫做函式 y=f(x),(x ∈a)的圖象．
c上每一點的座標(x，y)均滿足函式關係y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y為座標的點(x，y)，均在c上 . 即記為c=
圖象c一般的是一條光滑的連續曲線(或直線),也可能是由與任意平行與y軸的直線最多只有乙個交點的若干條曲線或離散點組成。
(2) 畫法
a、描點法：根據函式解析式和定義域，求出x,y的一些對應值並列表，以(x,y)為座標在座標系內描出相應的點p(x, y)，最後用平滑的曲線將這些點連線起來.
b、圖象變換法（請參考必修4三角函式）
常用變換方法有三種，即平移變換、伸縮變換和對稱變換
(3)作用：
1、直觀的看出函式的性質；2、利用數形結合的方法分析解題的思路。提高解題的速度。
發現解題中的錯誤。
4．快去了解區間的概念
（1）區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間；（2）無窮區間；（3）區間的數軸表示．
5．什麼叫做對映一般地，設a、b是兩個非空的集合，如果按某乙個確定的對應法則f，使對於集合a中的任意乙個元素x，在集合b中都有唯一確定的元素y與之對應，那麼就稱對應f：a b為從集合a到集合b的乙個對映。記作「f：
a b」
給定乙個集合a到b的對映，如果a∈a,b∈b.且元素a和元素b對應，那麼，我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象說明：函式是一種特殊的對映，對映是一種特殊的對應，①集合a、b及對應法則f是確定的；②對應法則有「方向性」，即強調從集合a到集合b的對應，它與從b到a的對應關係一般是不同的；③對於對映f：
a→b來說，則應滿足：（ⅰ）集合a中的每乙個元素，在集合b中都有象，並且象是唯一的；（ⅱ）集合a中不同的元素，在集合b中對應的象可以是同乙個；（ⅲ）不要求集合b中的每乙個元素在集合a中都有原象。
6． 常用的函式表示法及各自的優點：
○1 函式圖象既可以是連續的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等等，注意判斷乙個圖形是否是函式圖象的依據；○2 解析法：必須註明函式的定義域；○3 圖象法：描點法作圖要注意：
確定函式的定義域；化簡函式的解析式；觀察函式的特徵；○4 列表法：選取的自變數要有代表性，應能反映定義域的特徵．
注意啊：解析法：便於算出函式值。列表法：便於查出函式值。圖
象法：便於量出函式值補充一：分段函式 （參見課本p24-25）
在定義域的不同部分上有不同的解析表示式的函式。在不同的範圍裡求函式值時必須把自變數代入相應的表示式。分段函式的解析式不能寫成幾個不同的方程，而就寫函式值幾種不同的表示式並用乙個左大括號括起來，並分別註明各部分的自變數的取值情況．（1）分段函式是乙個函式，不要把它誤認為是幾個函式；（2）分段函式的定義域是各段定義域的並集，值域是各段值域的並集．
補充二：復合函式如果y=f(u),(u∈m),u=g(x),(x∈a),則 y=f[g(x)]=f(x)，(x∈a) 稱為f、g的復合函式。
例如: y=2sinxy=2cos(x2+1)
7．函式單調性
（1）．增函式設函式y=f(x)的定義域為i，如果對於定義域i內的某個區間d內的任意兩個自變數x1，x2，當x1有奇偶性,也可能既是奇函式又是偶函式。
○2 由函式的奇偶性定義可知，函式具有奇偶性的乙個必要條件是，對於定義域內的任意乙個x，則－x也一定是定義域內的乙個自變數（即定義域關於原點對稱）．
（3）具有奇偶性的函式的圖象的特徵偶函式的圖象關於y軸對稱；奇函式的圖象關於原點對稱．
總結：利用定義判斷函式奇偶性的格式步驟：○1 首先確定函式的定義域，並判斷其定義域是否關於原點對稱；○2 確定f(－x)與f(x)的關係；○3 作出相應結論：
若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，則f(x)是偶函式；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，則f(x)是奇函式．
注意啊：函式定義域關於原點對稱是函式具有奇偶性的必要條件．首先看函式的定義域是否關於原點對稱，若不對稱則函式是非奇非偶函式.若對稱，(1)再根據定義判定; (2)有時判定f(-x)=±f(x)比較困難，可考慮根據是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1來判定; (3)利用定理，或借助函式的圖象判定 .
9、函式的解析表示式
（1）.函式的解析式是函式的一種表示方法，要求兩個變數之間的函式關係時，一是要求出它們之間的對應法則，二是要求出函式的定義域.
（2）.求函式的解析式的主要方法有：待定係數法、換元法、消參法等，如果已知函式解析式的構造時，可用待定係數法；已知復合函式f[g(x)]的表示式時，可用換元法，這時要注意元的取值範圍；當已知表示式較簡單時，也可用湊配法；若已知抽象函式表示式，則常用解方程組消參的方法求出f(x)
10．函式最大（小）值（定義見課本p36頁）
○1 利用二次函式的性質（配方法）求函式的最大（小）值○2 利用圖象求函式的最大（小）值○3 利用函式單調性的判斷函式的最大（小）值：如果函式y=f(x)在區間[a，b]上單調遞增，在區間[b，c]上單調遞減則函式y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；如果函式y=f(x)在區間[a，b]上單調遞減，在區間[b，c]上單調遞增則函式y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；
第二章基本初等函式
一、指數函式
（一）指數與指數冪的運算
1．根式的概念：一般地，如果 ，那麼叫做的次方根，其中 >1，且 ∈ *．
當是奇數時，正數的次方根是乙個正數，負數的次方根是乙個負數．此時， 的次方根用符號表示．式子叫做根式，這裡叫做根指數， 叫做被開方數．
當是偶數時，正數的次方根有兩個，這兩個數互為相反數．此時，正數的正的次方根用符號表示，負的次方根用符號－ 表示．正的次方根與負的次方根可以合併成± （ >0）．由此可得：負數沒有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作 。
注意：當是奇數時， ，
當是偶數時，
2．分數指數冪正數的分數指數冪的意義，規定：
， 0的正分數指數冪等於0，0的負分數指數冪沒有意義指出：規定了分數指數冪的意義後，指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數，那麼整數指數冪的運算性質也同樣可以推廣到有理數指數冪．
3．實數指數冪的運算性質
（1） ? ；
（2） ；
（3） ．
（二）指數函式及其性質
1、指數函式的概念：一般地，函式叫做指數函式，其中x是自變數，函式的定義域為r．
注意：指數函式的底數的取值範圍，底數不能是負數、零和1．
2、指數函式的圖象和性質
a>1 0 圖象特徵函式性質向x、y軸正負方向無限延伸函式的定義域為r 圖象關於原點和y軸不對稱非奇非偶函式 高一數學必修1各章知識點總結 第一章集合與函式概念 一 集合有關概念 1.集合的含義 2.集合的中元素的三個特性 1 元素的確定性如 世界上最高的山 2 元素的互異性如 由happy的字母組成的集合 3 元素的無序性 如 和是表示同乙個集合 3.集合的表示 如 1 用拉丁字母表示集合 a b 2 集... 第一章集合與函式概念 一 集合有關概念 1.集合的含義 2.集合的中元素的三個特性 1 元素的確定性如 世界上最高的山 2 元素的互異性如 由happy的字母組成的集合 3 元素的無序性 如 和是表示同乙個集合 3.集合的表示 如 1 用拉丁字母表示集合 a b 2 集合的表示方法 列舉法與描述法。... 第一章集合與函式概念 一 集合有關概念 1.集合的含義 2.集合的中元素的三個特性 1 元素的確定性如 世界上最高的山 2 元素的互異性如 由happy的字母組成的集合 3 元素的無序性 如 和是表示同乙個集合 3.集合的表示 如 1 用拉丁字母表示集合 a b 2 集合的表示方法 列舉法與描述法。...人教版數學必修一知識點總結
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