圓的證明
題型一圓的切線證明及做弦心距與半徑輔助線的做法
思路導航
判定切線的方法：
（1）若切點明確，則「連半徑，證垂直」。
常見手法有：全等轉化；平行轉化；直徑轉化；中線轉化等；有時可通過計算結合相似、勾股定理證垂直；
（2）若切點不明確，則「作垂直，證半徑」。
常見手法：角平分線定理；等腰三角形三線合一，隱藏角平分線；
總而言之，要完成兩個層次的證明：①直線所垂直的是圓的半徑（過圓上一點）；②直線與半徑的關係是互相垂直。在證明中的關鍵是要處理好弧、弦、角之間的相互轉化,要善於進行由此及彼的聯想、要總結常新增的輔助線.
例：a. 如圖，ab是⊙o的直徑，bc⊥ab，ad∥oc交⊙o於d點，求證：cd為⊙o的切線.
b. 如圖，以rt△abc的直角邊ab為直徑作⊙o，交斜邊ac於d，點e為bc的中點，鏈結de，求證：de是⊙o的切線.
c. 如圖，以等腰△abc的一腰為直徑作⊙o，交底邊bc於d，交另一腰於f，若de⊥ac於e（或e為cf中點），求證：de是⊙o的切線.
d. 如圖，ab是⊙o的直徑，ae平分∠baf，交⊙o於點e，過點e作直線ed⊥af，交af的延長線於點d，交ab的延長線於點c，求證：cd是⊙o的切線.
作弦心距（在與弦有關的計算或證明題時，常作輔助線的方法是作弦心距）
連半徑（與半徑和弦有關的簡單計算、已知圓中有切線的有關計算和證明時，常作輔助線的方法是連半徑）
既作弦心距又連半徑（與半徑和弦都有關的計算時，常作輔助線的方法是既作弦心距又連半徑，利用勾股定理來解決）
典題精練
【例】如圖，已知ab是⊙o的直徑，點c、d在⊙o上，點e在⊙o外，∠eac=∠d=60°．
（1）求∠abc的度數；
（2）求證：ae是⊙o的切線；
（3）當bc=4時，求劣弧ac的長．
考點：切線的判定；圓周角定理；弧長的計算。
解答：解：（1）∵∠abc與∠d都是弧ac所對的圓周角，
∴∠abc=∠d=60°；
（2）∵ab是⊙o的直徑，
∴∠acb=90°．
∴∠bac=30°，
∴∠bae=∠bac+∠eac=30°+60°=90°，
即ba⊥ae，
∴ae是⊙o的切線；
（3）如圖，連線oc，
∵ob=oc，∠abc=60°，
∴△obc是等邊三角形，
∴ob=bc=4，∠boc=60°，
∴∠aoc=120°，
∴劣弧ac的長為．
【例】如圖1，ab為⊙ｏ的直徑，pq切⊙ｏ於t，ac⊥pq於c，交⊙ｏ於d，ad=2，tc=.求⊙ｏ的半徑。
解：過點o作om⊥ac於m，∴am=md=ad/2=1.
∵pq切⊙ｏ於t，
∴ot⊥pq．又∵ac⊥pq，om⊥ac，
∴∠otc=∠act=∠omc=90°，
∴四邊形otcm為矩形．∴om=tc=，
∴在rt△aom中，．
即⊙ｏ的半徑為2．
【例】如圖2，已知在以o為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦ab交小圓於c、d兩點.
求證：ac=bd.
證明：過點o作oe⊥ab於e，則ae=be，ce=de，
∴ae-ce=be-de.
∵ac=ae-ce，bd=be-de.
∴ac=bd.
【例】如圖，在同一平面內，有一組平行線l1、l2、l3，相鄰兩條平行線之間的距離均為4，點o在直線l1上，⊙o與直線l3的交點為a、b，ab=12，求⊙o的半徑．
答案：解：過點o作od⊥ab，垂足為點d，連線oa。
∵ab=12，∴ad=ab=×12=6。
∵相鄰兩條平行線之間的距離均為4，∴od=8。
在rt△aod中，∵ad=6，od=8，
∴。答：⊙o的半徑為10。
考點：垂徑定理，平行線之間的距離，勾股定理。
分析：過點o作od⊥ab，由垂徑定理可知ad=ab，再根據相鄰兩條平行線之間的距離均為4可知od=8，在rt△aod中利用勾股定理即可求出oa的長。
【例】如圖3，⊙o的直徑cd=20cm，直線⊥co，垂足為h，交⊙o於a、b兩點，ab=16 cm，直線平移多少厘公尺時能於⊙o相切？
解：連線oa，
∵⊥co，∴oc平分ab∴ah=8cm.
在rt△aho中，oh=6cm.
∴ch=4cm，dh=16 cm.
答：直線向左平移4cm，或向右平移16cm時能於⊙o相切。
【例】如圖4，pa是⊙o的切線，切點是a，過點a作ah⊥op於點h，交⊙o於點b.
求證：pb是⊙o的切線.
證明：連線oa、ob.
∵pa是⊙o的切線，∴∠oap=90°.
∵oa=ob，ab⊥op，∴∠aop=∠bop.
又∵oa=ob，op=op，∴△aop≌△bop.
∴∠opb=∠oap=90°.
∴pb是⊙o的切線.
【例】直徑為52厘公尺的圓柱形油槽內裝入一些油後，截面如圖5，若油最大深度為16厘公尺.那麼油麵寬度ab的長是多少厘公尺？
解：連線oa，作oc⊥ab於c，則ac=bc=ab.
在rt△oac中，oa=×52=26厘公尺，oc=26-16=10厘公尺，
∴ac=24厘公尺.
∴ab=2ac=48厘公尺.
【例】如圖，在⊙o中，直徑ab與弦cd相交於點p，∠cab=40°，∠apd=65°．
（1）求∠b的大小；
（2）已知ad=6，求圓心o到bd的距離．
答案：解：（1）∵∠apd=∠c+∠cab，∠cab=40°，∠apd=65°，
∴∠c=65°﹣40°=25°。
∴∠b=∠c=25°。
（2）過點o作oe⊥bd於e，則de=be，
又∵ao=bo，∴oe=ad=×6=3。
∴圓心o到bd的距離為3。
考點：圓周角定理，三角形外角性質，垂徑定理，三角形中位線定理。
分析：（1）根據圓周定理以及三角形外角求出即可。
（2）利用三角形中位線定理得出oe= ad，即可得出答案。
【例】如圖，在rt△abc中，∠a=90°，o是bc邊上一點，以o為圓心的半圓與ab邊相切於點d，與ac、bc邊分別交於點e、f、g，連線od，已知bd=2，ae=3，tan∠bod=．
（1）求⊙o的半徑od；
（2）求證：ae是⊙o的切線；
（3）求圖中兩部分陰影面積的和．
【例】如圖，ab為⊙o的直徑，ac、dc為弦，∠acd=60°，p為ab延長線上的點，∠apd=30°．
（1）求證：dp是⊙o的切線；
（2）若⊙o的半徑為3cm，求圖中陰影部分的面積．
【例】如圖，ab是⊙o的直徑，bc為⊙o的切線，d為⊙o上的一點，cd=cb，延長cd交ba的延長線於點e．
（1）求證：cd為⊙o的切線；
（2）若bd的弦心距of=1，∠abd=30°，求圖中陰影部分的面積．（結果保留π）
【例】如圖，在△abc中，以ab為直徑的⊙o交ac於點m，弦mn∥bc交ab於點e，且me=1，am=2，ae=
（1）求證：bc是⊙o的切線；
（2）求的長．
考點：切線的判定；勾股定理的逆定理；弧長的計算；解直角三角形．
分析：（1）欲證明bc是⊙o的切線，只需證明ob⊥bc即可；
（2）首先，在rt△aem中，根據特殊角的三角函式值求得∠a=30°；
其次，利用圓心角、弧、弦間的關係、圓周角定理求得∠bon=2∠a=60°，由三角形函式的定義求得on==；
最後，由弧長公式l=計算的長．
解答：（1）證明：如圖，
∵me=1，am=2，ae=，
∴me2+ae2=am2=4，
∴△ame是直角三角形，且∠aem=90°．
圓中考典型題總結附答案
10楚雄24 直角.圓13分 已知 如圖，a與軸交於c d兩點，圓心a的座標為 1，0 a的半徑為，過點c作 a的切線交軸於點b 4，0 1 求切線bc的解析式 2 若點p是第一象限內 a上的一點，過點p作 a的切線與直線bc相交於點g，且 cgp 120 求點g的座標 3 向左移動 a 圓心a始終...
圓的計算與證明答案
1 解 1 df與 o相切 理由如下 連線od abc是等邊三角形，a b c 60 od ob，odb是等邊三角形，dob 60 dob c 60 od ac df ac，do df，df與 o相切 2 連線cd cb是 o直徑，dc ab 又 ac cb ab，d是ab中點，ad 在直角三角形a...
《幾何證明選講》習題附答案
一 選擇題 1.若三角形三邊上的高為，這三邊長分別為6 4 3，則 a.b.c.d.2.在中，將分成面積相等的兩部分，那麼 a.b.c.d.3.圓內接三角形角平分線延長後交外接圓於，若，則 a.3b.2c.4d.1 4.在中，是邊的中點，交的延長線於，則下面結論中正確的是 a.b.c.d.5.在中，...