第十講導數題的解題總結
【命題趨向】導數命題趨勢:
綜觀2023年全國各套高考數學試題,我們發現對導數的考查有以下一些知識型別與特點:
(1)多項式求導(結合不等式求引數取值範圍),和求斜率(切線方程結合函式求最值)問題.
(2)求極值, 函式單調性,應用題,與三角函式或向量結合.
分值在12---17分之間,一般為1個選擇題或1個填空題,1個解答題.
【考點透視】
1.了解導數概念的某些實際背景(如瞬時速度、加速度、光滑曲線切線的斜率等);掌握函式在一點處的導數的定義和導數的幾何意義;理解導函式的概念.
2.熟記基本導數公式;掌握兩個函式和、差、積、商的求導法則.了解復合函式的求導法則,會求某些簡單函式的導數.
3.理解可導函式的單調性與其導數的關係;了解可導函式在某點取得極值的必要條件和充分條件(導數在極值點兩側異號);會求一些實際問題(一般指單峰函式)的最大值和最小值.
【例題解析】
考點1 導數的概念
對概念的要求:了解導數概念的實際背景,掌握導數在一點處的定義和導數的幾何意義,理解導函式的概念.
例1.(2023年北京卷)是的導函式,則的值是 .
[考查目的] 本題主要考查函式的導數和計算等基礎知識和能力.
[解答過程]
故填3.
例2. ( 2023年湖南卷)設函式,集合m=,p=,若mp,則實數a的取值範圍是
a.(-∞,1) b.(0,1) c.(1,+∞) d. [1,+∞)
[考查目的]本題主要考查函式的導數和集合等基礎知識的應用能力.
[解答過程]由
綜上可得mp時,
考點2 曲線的切線
(1)關於曲線在某一點的切線
求曲線y=f(x)在某一點p(x,y)的切線,即求出函式y=f(x)在p點的導數就是曲線在該點的切線的斜率.
(2)關於兩曲線的公切線
若一直線同時與兩曲線相切,則稱該直線為兩曲線的公切線.
典型例題
例3.(2023年湖南文)已知函式在區間,內各有乙個極值點.
(i)求的最大值;
(ii)當時,設函式在點處的切線為,若在點處穿過函式的圖象(即動點在點附近沿曲線運動,經過點時,從的一側進入另一側),求函式的表示式.
思路啟迪:用求導來求得切線斜率.
解答過程:(i)因為函式在區間,內分別有乙個極值點,所以在,內分別有乙個實根,
設兩實根為(),則,且.於是
,,且當,即,時等號成立.故的最大值是16.
(ii)解法一:由知在點處的切線的方程是
,即,因為切線在點處空過的圖象,
所以在兩邊附近的函式值異號,則
不是的極值點.
而,且.
若,則和都是的極值點.
所以,即,又由,得,故.
解法二:同解法一得
.因為切線在點處穿過的圖象,所以在兩邊附近的函式值異號,於是存在().
當時,,當時,;
或當時,,當時,.
設,則當時,,當時,;
或當時,,當時,.
由知是的乙個極值點,則,
所以,又由,得,故.
例4.(2023年安徽卷)若曲線的一條切線與直線垂直,則的方程為( )
ab.cd.[考查目的]本題主要考查函式的導數和直線方程等基礎知識的應用能力.
[解答過程]與直線垂直的直線為,即在某一點的導數為4,而,所以在(1,1)處導數為4,此點的切線為.
故選a.
例5. ( 2023年重慶卷)過座標原點且與x2+y2 -4x+2y+=0相切的直線的方程為 ( )
a.y=-3x或y=x b. y=-3x或y=-x c.y=-3x或y=-x d. y=3x或y=x
[考查目的]本題主要考查函式的導數和圓的方程、直線方程等基礎知識的應用能力.
[解答過程]解法1:設切線的方程為
又故選a.
解法2:由解法1知切點座標為由
故選a.
例6.已知兩拋物線,取何值時,有且只有一條公切線,求出此時公切線的方程.
思路啟迪:先對求導數.
解答過程:函式的導數為,曲線在點p()處的切線方程為,即 ①
曲線在點q的切線方程是即
若直線是過點p點和q點的公切線,則①式和②式都是的方程,故得
,消去得方程,
若△=,即時,解得,此時點p、q重合.
∴當時,和有且只有一條公切線,由①式得公切線方程為.
考點3 導數的應用
中學階段所涉及的初等函式在其定義域內都是可導函式,導數是研究函式性質的重要而有力的工具,特別是對於函式的單調性,以「導數」為工具,能對其進行全面的分析,為我們解決求函式的極值、最值提供了一種簡明易行的方法,進而與不等式的證明,討論方程解的情況等問題結合起來,極大地豐富了中學數學思想方法.複習時,應高度重視以下問題:
1.. 求函式的解析式; 2. 求函式的值域; 3.解決單調性問題; 4.求函式的極值(最值);
5.建構函式證明不等式.
典型例題
例7.(2023年天津卷)函式的定義域為開區間,導函式在內的圖象如圖所示,則函式在開區間內有極小值點( )
a.1個
b.2個
c.3個
d. 4個
[考查目的]本題主要考查函式的導數和函式圖象性質等基礎知識的應用能力.
[解答過程]由圖象可見,在區間內的圖象上有乙個極小值點.
故選a.
例8 .(2023年全國一)設函式在及時取得極值.
(ⅰ)求a、b的值;
(ⅱ)若對於任意的,都有成立,求c的取值範圍.
思路啟迪:利用函式在及時取得極值構造方程組求a、b的值.
解答過程:(ⅰ),
因為函式在及取得極值,則有,.
即解得,.
(ⅱ)由(ⅰ)可知,,
.當時,;
當時,;
當時,.
所以,當時,取得極大值,又,.
則當時,的最大值為.
因為對於任意的,有恆成立,
所以 ,
解得或,
因此的取值範圍為.
例9.函式的值域是
思路啟迪:求函式的值域,是中學數學中的難點,一般可以通過圖象觀察或利用不等式性質求解,也可以利用函式的單調性求出最大、最小值。此例的形式結構較為複雜,採用導數法求解較為容易。
解答過程:由得,,即函式的定義域為.
,又,當時,,
函式在上是增函式,而,的值域是.
例10.(2023年天津卷)已知函式,其中為引數,且.
(1)當時,判斷函式是否有極值;
(2)要使函式的極小值大於零,求引數的取值範圍;
(3)若對(2)中所求的取值範圍內的任意引數,函式在區間內都是增函式,求實數的取值範圍.
[考查目的]本小題主要考查運用導數研究三角函式和函式的單調性及極值、解不等式等基礎知識,考查綜合分析和解決問題的能力,以及分類討論的數學思想方法.
[解答過程](ⅰ)當時,,則在內是增函式,故無極值.
(ⅱ),令,得.
由(ⅰ),只需分下面兩種情況討論.
①當時,隨x的變化的符號及的變化情況如下表:
因此,函式在處取得極小值,且.
要使,必有,可得.
由於,故.
當時,隨x的變化,的符號及的變化情況如下表:
因此,函式處取得極小值,且
若,則.矛盾.所以當時,的極小值不會大於零.
綜上,要使函式在內的極小值大於零,引數的取值範圍為.
()解:由()知,函式在區間與內都是增函式。
由題設,函式內是增函式,則a須滿足不等式組
或由(),引數時時,.要使不等式關於引數恆成立,必有,即.
綜上,解得或.
所以的取值範圍是.
例11.(2023年山東卷)設函式f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中a-1,求f(x)的單調區間.
[考查目的]本題考查了函式的導數求法,函式的極值的判定,考查了應用數形結合的數學思想分析問題解決問題的能力
[解答過程]由已知得函式的定義域為,且
(1)當時,函式在上單調遞減,
(2)當時,由解得
、隨的變化情況如下表
從上表可知
當時,函式在上單調遞減.
當時,函式在上單調遞增.
綜上所述:當時,函式在上單調遞減.
當時,函式在上單調遞減,函式在上單調遞增.
例12.(2023年北京卷)已知函式在點處取得極大值,其導函式的圖象經過點,,如圖所示.求:
(ⅰ)的值;
(ⅱ)的值.
[考查目的]本小題考查了函式的導數,函式的極值的判定,閉區間上二次函式的最值, 函式與方程的轉化等基礎知識的綜合應用,考查了應用數形結合的數學思想分析問題解決問題的能力
[解答過程]解法一:(ⅰ)由影象可知,在上,在上,在上,
故在上遞增,在上遞減,
因此在處取得極大值,所以
(ⅱ)由得解得
解法二:(ⅰ)同解法一
(ⅱ)設又所以
由即得所以
例13.(2023年湖北卷)設是函式的乙個極值點.
(ⅰ)求與的關係式(用表示),並求的單調區間;
(ⅱ)設,.若存在使得成立,求的取值範圍.
[考查目的]本小題主要考查函式、不等式和導數的應用等知識,考查綜合運用數學知識解決問題的能力.
[解答過程](ⅰ)f `(x)=-[x2+(a-2)x+b-a ]e3-x,
由f `(3)=0,得 -[32+(a-2)3+b-a ]e3-3=0,即得b=-3-2a,
則 f `(x)=[x2+(a-2)x-3-2a-a ]e3-x
=-[x2+(a-2)x-3-3a ]e3-x=-(x-3)(x+a+1)e3-x.
令f `(x)=0,得x1=3或x2=-a-1,由於x=3是極值點,
所以x+a+1≠0,那麼a≠-4.
當a<-4時,x2>3=x1,則
在區間(-∞,3)上,f `(x)<0, f (x)為減函式;
在區間(3,―a―1)上,f `(x)>0,f (x)為增函式;
在區間(―a―1,+∞)上,f `(x)<0,f (x)為減函式.
當a>-4時,x2<3=x1,則
在區間(-∞,―a―1)上,f `(x)<0, f (x)為減函式;
在區間(―a―1,3)上,f `(x)>0,f (x)為增函式;
在區間(3,+∞)上,f `(x)<0,f (x)為減函式.
(ⅱ)由(ⅰ)知,當a>0時,f (x)在區間(0,3)上的單調遞增,在區間(3,4)上單調遞減,那麼f (x)在區間[0,4]上的值域是[min(f (0),f (4) ),f (3)],
而f (0)=-(2a+3)e3<0,f (4)=(2a+13)e-1>0,f (3)=a+6,
那麼f (x)在區間[0,4]上的值域是[-(2a+3)e3,a+6].
導數題的解題技巧
中學階段所涉及的初等函式在其定義域內都是可導函式,導數是研究函式性質的重要而有力的工具,特別是對於函式的單調性,以 導數 為工具,能對其進行全面的分析,為我們解決求函式的極值 最值提供了一種簡明易行的方法,進而與不等式的證明,討論方程解的情況等問題結合起來,極大地豐富了中學數學思想方法.複習時,應高...
導數題的解題技巧小結
命題趨向 導數命題趨勢 1 多項式求導 結合不等式求引數取值範圍 和求斜率 切線方程結合函式求最值 問題.2 求極值,函式單調性,應用題,與三角函式或向量結合.分值在12 17分之間,一般為1個選擇題或1個填空題,1個解答題.考點透視 1 了解導數概念的某些實際背景 如瞬時速度 加速度 光滑曲線切線...
高中導數題的解題技巧
命題趨向 導數命題趨勢 導數應用 導數 函式單調性 函式極值 函式最值 導數的實際應用 考點透視 1 了解導數概念的某些實際背景 如瞬時速度 加速度 光滑曲線切線的斜率等 掌握函式在一點處的導數的定義和導數的幾何意義 理解導函式的概念 2 熟記基本導數公式 掌握兩個函式和 差 積 商的求導法則 了解...