關於三角函式的幾種解題技巧
本人在十多年的職中數學教學實踐中，面對三角函式內容的相關教學時，積累了一些解題方面的處理技巧以及心得、體會。下面嘗試進行**一下：
一、關於的關係的推廣應用：
1、由於故知道，必可推出，例如：
例1 已知。
分析：由於
其中，已知，只要求出即可，此題是典型的知sin-cos，求sincos的題型。
解：∵故：
例2 若sin+cos=m2，且tg+ctg=n，則m2 n的關係為（ ）。
a．m2=n b．m2= c． d．
分析：觀察sin+cos與sincos的關係：
sincos=
而： 故：，選b。
例3 已知：tg+ctg=4，則sin2的值為（ ）。
a． b． c． d．
分析：tg+ctg=
故：。 答案選a。
例4 已知：tg+ctg=2，求
分析：由上面例子已知，只要能化出含sin±cos或sincos的式子，則即可根據已知tg+ctg進行計算。由於tg+ctg=
，此題只要將化成含sincos的式子即可：
解： =+2 sin2cos2-2 sin2cos2
sin2+cos2）- 2 sin2cos2
1-2 (sincos)2
1- 通過以上例子，可以得出以下結論：由於，sincos及tg+ctg三者之間可以互化，知其一則必可知其餘二。這種性質適合於隱含此三項式子的三角式的計算。
但有一點要注意的；如果通過已知sincos，求含的式子，必須討論其象限才能得出其結果的正、負號。這是由於（）2=1±2sincos，要進行開方運算才能求出
二、關於「托底」方法的應用：
在三角函式的化簡計算或證明題中，往往需要把式子新增分母，這常用在需把含tg（或ctg）與含sin（或cos）的式子的互化中，本文把這種添配分母的方法叫做「托底」法。方法如下：
例5 已知：tg=3，求的值。
分析：由於，帶有分母cos，因此，可把原式分子、分母各項除以cos，「造出」tg，即託出底：cos；
解：由於tg=3
故，原式=
例6 已知：ctg= -3，求sincos-cos2=?
分析：由於，故必將式子化成含有的形式，而此題與例4有所不同，式子本身沒有分母，為了使原式先出現分母，利用公式：及托底法托出其分母，然後再分子、分母分別除以sin，造出ctg：
解： 例7 （95年全國**高考理、工科數學試卷）
設， 求：的值
分析：此題是典型已知含正弦函式的等式求含正切、餘切的式子，故要用「托底法」，由於，故，在等式兩邊同除以，托出分母為底，得：
解：由已知等式兩邊同除以得：
「托底」適用於通過同角的含正弦及余弦的式子與含正切、餘切的式子的互化的計算。由於，，即正切、餘切與正弦、余弦間是比值關係，故它們間的互化需「托底」，通過保持式子數值不變的情況下新增分母的方法，使它們之間可以互相轉化，達到根據已知求值的目的。而新增分母的方法主要有兩種：
一種利用，把作為分母，並不改變原式的值，另一種是通過等式兩邊同時除以正弦或余弦又或者它們的積，產生分母。
三、關於形如：的式子，在解決三角函式的極值問題時的應用：
可以從公式中得到啟示：式子與上述公式有點相似，如果把a，b部分變成含sina，cosa的式子，則形如的式子都可以變成含的式子，由於-1≤≤1，
所以，可考慮用其進行求極值問題的處理，但要注意一點：不能直接把a當成sina，b當成cosa，如式子：中，不能設sina=3，cosa=4，考慮：
-1≤sina≤1，-1≤cosa≤1，可以如下處理式子：
由於。故可設：，則，即：
∴無論取何值，-1≤sin(a±x)≤1，
≤≤即：≤≤
下面觀察此式在解決實際極值問題時的應用：
例1（98年全國**高考數學考試卷）
求：函式的最大值為（aaaa ）
a． b． c． d．
分析：，再想辦法把變成含的式子：
於是：由於這裡：
∴設：∴無論a-2x取何值，都有-1≤sin(a-2x)≤1，故≤≤
∴的最大值為，即答案選a。
例2 （96年全國**高考理工科數學試卷）
在△abc中，已知：ab=2，bc=1，ca=，分別在邊ab、bc、ca上任取點d、e、f，使△def為正三角形，記∠fec=∠α，問：sinα取何值時，△efd的邊長最短？
並求此最短邊長。
分析：首先，由於，可知△abc為rt△，其中ab為斜邊，所對角∠c為直角，又由於，則∠b=
90°—∠a=60°，由於本題要計算△def的最短邊長，故必要設正△def的邊長為，且要列出有關為未知數的方程，對進行求解。觀察△bde，已知：∠b=60°，de=，再想辦法找出另兩個量，即可根據正弦定理列出等式，從而產生關於的方程。
在圖中，由於ec=·cosα，則be=bc-ec=1-·cosα。
而∠b+∠bde+∠1=180°
∠α+∠def+∠1=180° ∠bde=∠α
∠b=60°，∠def=60°
∴在△bde中，根據正弦定理：
在這裡，要使有最小值，必須分母：有最大值，觀察：
∴設：，則
故： ∴的最大值為。
即：的最小值為：
而取最大值為1時，
∴即：時，△def的邊長最短，最短邊長為。
從以上例子可知，形如適合於計算三角形函式的極值問題。計算極值時與式子的加、減是無關，與的最值有關；其中最大值為，最小值為。在計算三角函式的極值應用題時，只要找出形如的關係式，即能根據題意，求出相關的極值。
三角函式知識點解題方法總結
一、見「給角求值」問題，運用「新興」誘導公式
一步到位轉換到區間（-90，90）的公式.
1.sin(kπ+α)=(-1)ksinα(k∈z)；2. cos(kπ+α)=(-1)kcosα(k∈z)；
3. tan(kπ+α)=(-1)ktanα(k∈z)；4. cot(kπ+α)=(-1)kcotα(k∈z).
二、見「sinα±cosα」問題，運用三角「八卦圖」
1.sinα+cosα>0(或<0)óα的終邊在直線y+x=0的上方（或下方）;
2. sinα-cosα>0(或<0)óα的終邊在直線y-x=0的上方（或下方）;
3.|sinα|>|cosα|óα的終邊在ⅱ、ⅲ的區域內;
4.|sinα|<|cosα|óα的終邊在ⅰ、ⅳ區域內.
三、見「知1求5」問題，造rt△，用勾股定理，熟記常用勾股數（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），仍然注意「符號看象限」。
四、見「切割」問題，轉換成「弦」的問題。
五、「見齊思弦」=>「化弦為一」：已知tanα,求sinα與cosα的齊次式，有些整式情形還可以視其分母為1，轉化為sin2α+cos2α.
六、見「正弦值或角的平方差」形式，啟用「平方差」公式：
1.sin(α+β)sin(α-β)= sin2α-sin2β;2. cos(α+β)cos(α-β)= cos2α-sin2β.
七、見「sinα±cosα與sinαcosα」問題，起用平方法則：
(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα=1±sin2α,故
1.若sinα+cosα=t,(且t2≤2),則2sinαcosα=t2-1=sin2α;
2.若sinα-cosα=t,(且t2≤2),則2sinαcosα=1-t2=sin2α.
八、見「tanα+tanβ與tanαtanβ」問題，啟用變形公式:
tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ).思考：tanα-tanβ=？？？
九、見三角函式「對稱」問題，啟用圖象特徵代數關係：(a≠0)
1.函式y=asin(wx+φ)和函式y=acos(wx+φ)的圖象，關於過最值點且平行於y軸的直線分別成軸對稱；
2.函式y=asin(wx+φ)和函式y=acos(wx+φ)的圖象，關於其中間零點分別成中心對稱；
3.同樣，利用圖象也可以得到函式y=atan(wx+φ)和函式y=acot(wx+φ)的對稱性質。
十、見「求最值、值域」問題，啟用有界性，或者輔助角公式：
1.|sinx|≤1,|cosx|≤1;2.(asinx+bcosx)2=(a2+b2)sin2(x+φ)≤(a2+b2);
3.asinx+bcosx=c有解的充要條件是a2+b2≥c2.
十一、見「高次」，用降冪，見「復角」，用轉化.
2.2x=(x+y)+(x-y);2y=(x+y)-(x-y);x-w=(x+y)-(y+w)等
角函式公式
兩角和公式
sin(a+b)=sinacosb+cosasinb
sin(a-b)=sinacosb-sinbcosa
cos(a+b)=cosacosb-sinasinb
cos(a-b)=cosacosb+sinasinb
tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tanatanb)
tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tanatanb)
cot(a+b)=(cotacotb-1)/(cotb+cota)
cot(a-b)=(cotacotb+1)/(cotb-cota)
倍角公式
tan2a=2tana/[1-(tana)^2]
cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2
sin2a=2sina*cosa
半形公式
sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)
高中數學三角函式知識點
高中數學第四章 三角函式知識點彙總 1.與 0 360 終邊相同的角的集合 角與角的終邊重合 終邊在x軸上的角的集合 終邊在y軸上的角的集合 終邊在座標軸上的角的集合 終邊在y x軸上的角的集合 終邊在軸上的角的集合 若角與角的終邊關於x軸對稱，則角與角的關係 若角與角的終邊關於y軸對稱，則角與角的...
關於高中數學三角函式的學習
高中數學的學習是比較複雜的過程，對於三角函式部分，有些同學表現了較大的困難.這本身除了基礎不夠紮實，還與其他一些因素有關.三角函式頗為複雜的函式公式是很多同學難以熟練掌握的，作為實踐教學中，如何使得三角函式能夠為大多數同學所熟練掌握應用是教學的重點.通過對三角函式的特殊規律的研究，從中把握住學習的要...
三角函式創新題型的解題技巧
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