八年級平行四邊形相關知識歸納
和常見題型精講
性質和判定總表
矩形菱形正方形的
[, , ]
矩形定義: 有乙個角是直角的平行四邊形叫做矩形(通常也叫長方形或正方形).
矩形是中心對稱圖形，對稱中心是對角線的交點，矩形也是軸對稱圖形，對稱軸是通過對邊中點的直線，有兩條對稱軸；
矩形的性質:(具有平行四邊形的一切特徵)
矩形性質1: 矩形的四個角都是直角．
矩形性質2: 矩形的對角線相等且互相平分．
如圖，在矩形abcd中，ac、bd相交於點o，由性質2有ao=bo=co=do=ac=bd．因此可以得到直角三角形的乙個性質：直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半．
矩形的判定方法．
矩形判定方法1：對角錢相等的平行四邊形是矩形．
矩形判定方法2：有三個角是直角的四邊形是矩形．
矩形判定方法3：有乙個角是直角的平行四邊形是矩形．
矩形判定方法4： (4)對角線相等且互相平分的四邊形是矩形．
例1已知：如圖 ，矩形 abcd，ab長8 cm ，對角線比ad邊長4 cm．求ad的長及點a到bd的距離ae的長．
例一.分析：（1）因為矩形四個角都是直角，因此矩形中的計算經常要用到直角三角形的性質，而此題利用方程的思想，解決直角三角形中的計算，這是幾何計算題中常用的方法．
解：設ad=xcm，則對角線長（x+4）cm，在rt△abd中，由勾股定理：，解得x=6． 則 ad=6cm．
（2）「直角三角形斜邊上的高」是乙個基本圖形，利用面積公式，可得到兩直角邊、斜邊及斜邊上的高的乙個基本關係式： ae×db＝ ad×ab，解得 ae＝ 4.8cm．
例2 已知：如圖，矩形abcd中，e是bc上一點，df⊥ae於f，若ae=bc． 求證：ce＝ef．
例二分析：ce、ef分別是bc，ae等線段上的一部分，若af＝be，則問題解決，而證明af＝be，只要證明△abe≌△dfa即可，在矩形中容易構造全等的直角三角形．
證明：∵ 四邊形abcd是矩形，
∴ ∠b=90°，且ad∥bc． ∴ ∠1=∠2．
∵ df⊥ae， ∴ ∠afd=90°．
∴ ∠b=∠afd．又 ad=ae，
∴ △abe≌△dfa（aas）．
∴ af=be．
∴ ef=ec．
此題還可以連線de，證明△def≌△dec，得到ef＝ec．
變式練習
1．如圖，已知矩形abcd中，e是ad上的一點，f是ab上的一點，ef⊥ec，且ef=ec，de=4cm，矩形abcd的周長為32cm，求ae的長．
2、如圖，在 abcd中，e為bc的中點，連線ae並延長交dc的延長線於點f．
(1)求證：ab=cf；
(2)當bc與af滿足什麼數量關係時，四邊形abfc是矩形，並說明理由．
菱形定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．
【強調】 菱形（1）是平行四邊形；（2）一組鄰邊相等．
菱形的性質
性質1 菱形的四條邊都相等；
性質2 菱形的對角線互相平分，並且每條對角線平分一組對角；
菱形的判定
菱形判定方法1:對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．
注意此方法包括兩個條件：（1）是乙個平行四邊形；（2）兩條對角線互相垂直．
菱形判定方法2:四邊都相等的四邊形是菱形．
例1 已知：如圖，四邊形abcd是菱形，f是ab上一點，df交ac於e．
求證：∠afd=∠cbe．
證明：∵ 四邊形abcd是菱形，
∴ cb=cd， ca平分∠bcd．
∴ ∠bce=∠dce．又 ce=ce，
∴ △bce≌△cob（sas）．
∴ ∠cbe=∠cde．
∵ 在菱形abcd中，ab∥cd， ∴∠afd=∠fdc
∴ ∠afd=∠cbe．
例2已知：如圖abcd的對角線ac的垂直平分線與邊ad、bc分別交於e、f．
求證：四邊形afce是菱形．
證明：∵ 四邊形abcd是平行四邊形，
∴ ae∥fc．
∴ ∠1=∠2．
又 ∠aoe=∠cof，ao=co，
∴ △aoe≌△cof．
∴ eo=fo．
∴ 四邊形afce是平行四邊形．
又 ef⊥ac，
∴ afce是菱形(對角線互相垂直的平行四邊形是菱形)．
變式練習
1、已知如圖，菱形abcd中，e是bc上一點，ae 、bd交於m，
若ab=ae,∠ead=2∠bae。求證：am=be。
2、如圖，在菱形abcd中，∠a=60°,=4,o為對角線bd的中點，過o點作oe⊥ab，垂足為e．求線段的長．
3、如圖，四邊形abcd是菱形，de⊥ab交ba的延長線於e，df⊥bc，交bc的延長線於f。請你猜想de與df的大小有什麼關係？並證明你的猜想
解：de＝df
證明如下：
鏈結bd
∵四邊形abcd是菱形
∴∠cbd＝∠abd(菱形的對角線平分一組對角)
∵df⊥bc，de⊥ab
∴df＝de(角平分線上的點到角兩邊的距離相等)
4、如圖，菱形abcd的邊長為2，bd=2，e、f分別是邊ad，cd上的兩個動點，且滿足ae+cf=2.
（1）求證：△bde≌△bcf；
（2）判斷△bef的形狀，並說明理由；
正方形是在平行四邊形的前提下定義的，它包含兩層意思：
①有一組鄰邊相等的平行四邊形 （菱形）
②有乙個角是直角的平行四邊形 （矩形）
正方形不僅是特殊的平行四邊形，並且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．
正方形定義：有一組鄰邊相等並且有乙個角是直角的平行四邊形叫做正方形．
正方形是中心對稱圖形，對稱中心是對角線的交點，正方形又是軸對稱圖形，對稱軸是對邊中點的連線和對角線所在直線，共有四條對稱軸；
因為正方形是平行四邊形、矩形，又是菱形，所以它的性質是它們性質的綜合，正方形的性質總結如下：
邊：對邊平行，四邊相等；
角：四個角都是直角；
對角線：對角線相等，互相垂直平分，每條對角線平分一組對角．
注意：正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形，對角線與邊的夾角是45°；正方形的兩條對角線把它分成四個全等的等腰直角三角形，這是正方形的特殊性質．
正方形具有矩形的性質，同時又具有菱形的性質．
正方形的判定方法：
(1)有乙個角是直角的菱形是正方形；
(2)有一組鄰邊相等的矩形是正方形．
注意：1、正方形概念的三個要點：
（1）是平行四邊形；
（2）有乙個角是直角；
（3）有一組鄰邊相等．
2、要確定乙個四邊形是正方形，應先確定它是菱形或是矩形，然後再加上相應的條件，確定是正方形.
例1 已知：如圖，正方形abcd中，對角線的交點為o，e是ob上的一點，dg⊥ae於g，dg交oa於f．
求證：oe=of．
分析：要證明oe=of，只需證明△aeo≌△dfo，由於正方形的對角線垂直平分且相等，可以得到∠aoe=∠dof=90°，ao=do，再由同角或等角的餘角相等可以得到∠eao=∠fdo，根據asa可以得到這兩個三角形全等，故結論可得．
證明：∵ 四邊形abcd是正方形，
∴ ∠aoe=∠dof=90°，ao=do（正方形的對角線垂直平分且相等）．
又 dg⊥ae， ∴ ∠eao+∠aeo=∠edg+∠aeo=90°．
∴ ∠eao=∠fdo．
∴ △aeo ≌△dfo．
∴ oe=of．
例2 已知：如圖，四邊形abcd是正方形，分別過點a、c兩點作l1∥l2，作bm⊥l1於m，dn⊥l1於n，直線mb、dn分別交l2於q、p點．
求證：四邊形pqmn是正方形．
分析：由已知可以證出四邊形pqmn是矩形，再證△abm≌△dan，證出am=dn，用同樣的方法證an=dp．即可證出mn=np．從而得出結論．
證明：∵ pn⊥l1，qm⊥l1，
∴ pn∥qm，∠pnm=90°．
∵ pq∥nm，
∴ 四邊形pqmn是矩形．
∵ 四邊形abcd是正方形
∴ ∠bad=∠adc=90°，ab=ad=dc（正方形的四條邊都相等，四個角都是直角）．
∴ ∠1+∠2=90°．
又 ∠3+∠2=90°， ∴ ∠1=∠3．
∴ △abm≌△dan．
∴ am=dn． 同理 an=dp．
∴ am+an=dn+dp
即 mn=pn．
∴ 四邊形pqmn是正方形（有一組鄰邊相等的矩形是正方形）．
變式練習
1．（2023年河南省）如圖，梯形abcd中，ad∥bc，ab=ad=dc，e為底邊bc的中點，且de∥ab
試判斷△ade的形狀，並給出證明．
【解析】△ade是等邊三角形．
理由如下：∵ab=cd，∴梯形abcd為等腰梯形，
∵∠b=∠c．
∴e為bc的中點，
∵be=ce．
在△abe和△dce中，
∵∴△abe≌△dce．
∵ae=de．
∴ad∥bc，de∥ab，
∴四邊形abcd為平行四邊形．
∴ab=de
∵ab=ad，
∴ad=ae=de．
∴△ade為等邊三角形．
例5：（2008深圳）如圖，在梯形abcd中，ab∥dc， db平分∠adc，過點a作ae∥bd，交cd的延長線於點e，且∠c＝2∠e．
（1）求證：梯形abcd是等腰梯形．
（2）若∠bdc＝30°，ad＝5，求cd的長．
2：（1）證明：∵ae∥bde＝∠bdc
db平分∠adc ∴∠adc＝2∠bdc
又∵∠c＝2∠e
adc＝∠bcd
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