高等數學（本科少學時型別）
第一章函式與極限
第一節函式
○函式基礎（高中函式部分相關知識）（★★★）
○鄰域（去心鄰域）（★）
第二節數列的極限
○數列極限的證明（★）
【題型示例】已知數列，證明
【證明示例】語言
1．由化簡得，
∴2．即對，，當時，始終有不等式成立，
∴第三節函式的極限
○時函式極限的證明（★）
【題型示例】已知函式，證明
【證明示例】語言
1．由化簡得，
∴2．即對，，當時，始終有不等式成立，
∴○時函式極限的證明（★）
【題型示例】已知函式，證明
【證明示例】語言
1．由化簡得，
∴2．即對，，當時，始終有不等式成立，
∴第四節無窮小與無窮大
○無窮小與無窮大的本質（★）
函式無窮小
函式無窮大
○無窮小與無窮大的相關定理與推論（★★）
（定理三）假設為有界函式，為無窮小，則
（定理四）在自變數的某個變化過程中，若為無窮大，則為無窮小；反之，若為無窮小，且，則為無窮大
【題型示例】計算：（或）
1．∵≤∴函式在的任一去心鄰域內是有界的；
（∵≤，∴函式在上有界；）
2．即函式是時的無窮小；
（即函式是時的無窮小；）
3．由定理可知
（）第五節極限運算法則
○極限的四則運算法則（★★）
（定理一）加減法則
（定理二）乘除法則
關於多項式、商式的極限運算
設： 則有
（特別地，當（不定型）時，通常分子分母約去公因式即約去可去間斷點便可求解出極限值，也可以用羅比達法則求解）
【題型示例】求值
【求解示例】解：因為，從而可得，所以原式
其中為函式的可去間斷點
倘若運用羅比達法則求解（詳見第三章第二節）：
解： ○連續函式穿越定理（復合函式的極限求解）（★★）
（定理五）若函式是定義域上的連續函式，那麼，
【題型示例】求值：
【求解示例】
第六節極限存在準則及兩個重要極限
○夾迫準則（p53）（★★★）
第乙個重要極限：
∵，∴（特別地，）
○單調有界收斂準則（p57）（★★★）
第二個重要極限：
（一般地，，其中）
【題型示例】求值：
【求解示例】
第七節無窮小量的階（無窮小的比較）
○等價無窮小（★★）
1． 2．
（乘除可替，加減不行）
【題型示例】求值：
【求解示例】
第八節函式的連續性
○函式連續的定義（★）
○間斷點的分類（p67）（★）
（特別地，可去間斷點能在分式中約去相應公因式）
【題型示例】設函式，應該怎樣選擇數，使得成為在上的連續函式？
【求解示例】
1．∵2．由連續函式定義
∴第九節閉區間上連續函式的性質
○零點定理（★）
【題型示例】證明：方程至少有乙個根介於與之間
【證明示例】
1．（建立輔助函式）函式在閉區間上連續；
2．∵（端點異號）
3．∴由零點定理，在開區間內至少有一點，使得，即（）
4．這等式說明方程在開區間內至少有乙個根
第二章導數與微分
第一節導數概念
○高等數學中導數的定義及幾何意義（p83）（★★）
【題型示例】已知函式 ，在處可導，求，
【求解示例】
1．∵，
2．由函式可導定義
∴【題型示例】求在處的切線與法線方程
（或：過影象上點處的切線與法線方程）
【求解示例】
1．，2．切線方程：
法線方程：
第二節函式的和（差）、積與商的求導法則
○函式和（差）、積與商的求導法則（★★★）
1．線性組合（定理一）：
特別地，當時，有
2．函式積的求導法則（定理二）：
3．函式商的求導法則（定理三）：
第三節反函式和復合函式的求導法則
○反函式的求導法則（★）
【題型示例】求函式的導數
【求解示例】由題可得為直接函式，其在定於域上單調、可導，且；∴
○復合函式的求導法則（★★★）
【題型示例】設，求
【求解示例】
第四節高階導數
○（或）（★）
【題型示例】求函式的階導數
【求解示例】，，……
第五節隱函式及引數方程型函式的導數
○隱函式的求導（等式兩邊對求導）（★★★）
【題型示例】試求：方程所給定的曲線：在點的切線方程與法線方程
【求解示例】由兩邊對求導
即化簡得
∴∴切線方程：
法線方程：
○引數方程型函式的求導
【題型示例】設引數方程，求
【求解示例】1. 2.
第六節變化率問題舉例及相關變化率（不作要求）
第七節函式的微分
○基本初等函式微分公式與微分運算法則（★★★）
第三章中值定理與導數的應用
第一節中值定理
○引理（費馬引理）（★）
○羅爾定理（★★★）
【題型示例】現假設函式在上連續，在上可導，試證明：，
使得成立
【證明示例】
1．（建立輔助函式）令
顯然函式在閉區間上連續，在開區間上可導；
2．又∵
即3．∴由羅爾定理知
，使得成立
○拉格朗日中值定理（★）
【題型示例】證明不等式：當時，
【證明示例】
1．（建立輔助函式）令函式，則對，顯然函式在閉區間上連續，在開區間上可導，並且；
2．由拉格朗日中值定理可得，使得等式成立，
又∵，∴，
化簡得，即證得：當時，
【題型示例】證明不等式：當時，
【證明示例】
1．（建立輔助函式）令函式，則對，函式在閉區間上連續，在開區間上可導，並且；
2．由拉格朗日中值定理可得，使得等式成立，
化簡得，又∵，
∴，∴，
即證得：當時，
第二節羅比達法則
○運用羅比達法則進行極限運算的基本步驟（★★）
1．☆等價無窮小的替換（以簡化運算）
2．判斷極限不定型的所屬型別及是否滿足運用羅比達法則的三個前提條件
a．屬於兩大基本不定型（）且滿足條件， 則進行運算：
（再進行1、2步驟，反覆直到結果得出）
b．☆不屬於兩大基本不定型**化為基本不定型）
⑴型**乘為除，構造分式）
【題型示例】求值：
【求解示例】
（一般地，，其中）
⑵型（通分構造分式，觀察分母）
【題型示例】求值：
【求解示例】
⑶型（對數求極限法）
【題型示例】求值：
【求解示例】
⑷型（對數求極限法）
【題型示例】求值：
【求解示例】
⑸型（對數求極限法）
【題型示例】求值：
【求解示例】
○運用羅比達法則進行極限運算的基本思路（★★）
⑴通分獲得分式（通常伴有等價無窮小的替換）
⑵取倒數獲得分式（將乘積形式轉化為分式形式）
⑶取對數獲得乘積式（通過對數運算將指數提前）
第三節泰勒中值定理（不作要求）
第四節函式的單調性和曲線的凹凸性
○連續函式單調性（單調區間）（★★★）
【題型示例】試確定函式的單調區間
【求解示例】
1．∵函式在其定義域上連續，且可導
∴2．令，解得：
3．（三行表）
4．∴函式的單調遞增區間為；
單調遞減區間為
【題型示例】證明：當時，
【證明示例】
1．（構建輔助函式）設，（）
2．，（）
∴3．既證：當時，
【題型示例】證明：當時，
【證明示例】
1．（構建輔助函式）設，（）
2．，（）
∴3．既證：當時，
○連續函式凹凸性（★★★）
【題型示例】試討論函式的單調性、極值、凹凸性及拐點
【證明示例】
1．2．令解得：
3．（四行表）
4．⑴函式單調遞增區間為, 單調遞增區間為,；
⑵函式的極小值在時取到，為，
極大值在時取到，為；
⑶函式在區間,上凹，在區間,上凸；
⑷函式的拐點座標為
第五節函式的極值和最大、最小值
○函式的極值與最值的關係（★★★）
⑴設函式的定義域為，如果的某個鄰域，使得對，都適合不等式，
我們則稱函式在點處有極大值；
令則函式在閉區間上的最大值滿足：
；⑵設函式的定義域為，如果的某個鄰域，使得對，都適合不等式，
我們則稱函式在點處有極小值；
令則函式在閉區間上的最小值滿足：
；【題型示例】求函式在上的最值
【求解示例】
1．∵函式在其定義域上連續，且可導
∴2．令，
解得：3．（三行表）
4．又∵
∴第六節函式圖形的描繪（不作要求）
第七節曲率（不作要求）
第八節方程的近似解（不作要求）
第四章不定積分
第一節不定積分的概念與性質
○原函式與不定積分的概念（★★）
⑴原函式的概念：
假設在定義區間上，可導函式的導函式為，即當自變數時，有或成立，則稱為的乙個原函式
⑵原函式存在定理：（★★）
如果函式在定義區間上連續，則在上必存在可導函式使得，也就是說：連續函式一定存在原函式（可導必連續）
⑶不定積分的概念（★★）
在定義區間上，函式的帶有任意常數項的原函式稱為在定義區間上的不定積分，即表示為：
（稱為積分號，稱為被積函式，稱為積分表示式，則稱為積分變數）
○基本積分表（★★★）
○不定積分的線性性質（分項積分公式）（★★★）
第二節換元積分法
○第一類換元法（湊微分）（★★★）
（的逆向應用）
【題型示例】求
【求解示例】
【題型示例】求
【求解示例】
○第二類換元法（去根式）（★★）
（的正向應用）
⑴對於一次根式（）：
：令，於是，
則原式可化為
⑵對於根號下平方和的形式（）：
：令（），
於是，則原式可化為；
⑶對於根號下平方差的形式（）：
a．：令（），
於是，則原式可化為；
b．：令（），
於是，則原式可化為；
【題型示例】求（一次根式）
【求解示例】
【題型示例】求（三角換元）
【求解示例】
第三節分部積分法
○分部積分法（★★）
⑴設函式，具有連續導數，則其分部積分公式可表示為：
⑵分部積分法函式排序次序：「反、對、冪、
三、指」
○運用分部積分法計算不定積分的基本步驟：
⑴遵照分部積分法函式排序次序對被積函式排序；
⑵就近湊微分：（）
⑶使用分部積分公式：
⑷展開尾項，判斷
a．若是容易求解的不定積分，則直接計算出答案（容易表示使用基本積分表、換元法與有理函式積分可以輕易求解出結果）；
b．若依舊是相當複雜，無法通過a中方法求解的不定積分，則重複⑵、⑶，直至出現容易求解的不定積分；若重複過程中出現迴圈，則聯立方程求解，但是最後要注意添上常數
【題型示例】求
【求解示例】
【題型示例】求
【求解示例】
∴第四節有理函式的不定積分
○有理函式（★）
設： 對於有理函式，當的次數小於的次數時，有理函式是真分式；當的次數大於的次數時，有理函式是假分式
○有理函式（真分式）不定積分的求解思路（★）
⑴將有理函式的分母分拆成兩個沒有公因式的多項式的乘積：其中乙個多項式可以表示為一次因式；而另乙個多項式可以表示為二次質因式，（）；
即： 一般地：，則引數
則引數⑵則設有理函式的分拆和式為：
其中引數由待定係數法（比較法）求出
⑶得到分拆式後分項積分即可求解
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