直接證明與間接證明
1.(2010·青島模擬)已知函式f(x)＝()x，a，b∈r＋，a＝f()，b＝f()，c＝f()，則a、b、c的大小關係為
a．a≤b≤cb．a≤c≤b
c．b≤c≤ad．c≤b≤a
解析：≥≥，又f(x)＝()x在r上是單調減函式，∴f()≤f()≤f()．
答案：a
2．函式y＝f(x)在(0,2)上是增函式，函式y＝f(x＋2)是偶數，則f(1)，f(2.5)，f(3.5)的大小關係是
a．f(2.5)f(1)>f(3.5)
c．f(3.5)>f(2.5)>f(1d．f(1)>f(3.5)>f(2.5)
解析：因為函式y＝f(x)在(0,2)上是增函式，函式y＝f(x＋2)是偶函式，所以x＝2是對稱軸，在(2,4)上為減函式，由圖象知f(2.5)>f(1)>f(3.5)．
答案：b
3．在△abc中，三個內角a、b、c的對邊分別為a、b、c，若＋＝，試問a、b、c是否成等差數列，若不成等差數列，請說明理由．若成等差數列，請給出證明．
證明：a、b、c成等差數列，下面用綜合法給出證明：
∵＋＝，
∴＋＝3，
∴＋＝1，
∴c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
∴b2＝a2＋c2－ac.
在△abc中，由餘弦定理，得
cosb＝＝＝，
∵0°＜b＜180° ∴b＝60°.
∴a＋c＝2b＝120°，
∴a、b、c成等差數列．
4.若p＝＋，q＝＋(a≥0)，則p、q的大小關係是
a．p＞q b．p＝q c．p＜q d．由a的取值確定
解析：∵要證p＜q，只要證p2＜q2，
只要證：2a＋7＋2＜2a＋7＋2，
只要證：a2＋7a＜a2＋7a＋12，
只要證：0＜12，
∵0＜12成立，∴p＜q成立．
答案：c
5．設a，b均為正數，且a≠b，求證：a3＋b3＞a2b＋ab2.
證明：法一：(分析法)
要證a3＋b3＞a2b＋ab2成立，
只需證(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)成立．
又因為a＋b＞0，
只需證a2－ab＋b2＞ab成立．
又需證a2－2ab＋b2＞0成立，
即需證(a－b)2＞0成立．
而依題設a≠b，則(a－b)2＞0顯然成立，由此命題得證．
法二：(綜合法)
a≠ba－b≠0(a－b)2＞0a2－2ab＋b2＞0
a2－ab＋b2＞ab.(*)
而a，b均為正數，∴a＋b＞0，
由(*)式即得(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)，
∴a3＋b3＞a2b＋ab2.
6.用反證法證明：若整係數一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理數根，那麼a、b、c中至少有乙個偶數時，下列假設正確的是
a．假設a、b、c都是偶數
b．假設a、b、c都不是偶數
c．假設a、b、c至多有乙個偶數
d．假設a、b、c至多有兩個偶數
解析：「至少有乙個」的否定「都不是」．
答案：b
7．設a，b，c∈(－∞，0)，則a＋，b＋，c
a．都不大於－2
b．都不小於－2
c．至少有乙個不大於－2
d．至少有乙個不小於－2
解析：假設a＋，b＋，c＋都小於或等於－2，
即a＋≤－2，b＋≤－2，c＋≤－2，
將三式相加，得a＋＋b＋＋c＋≤－6，
又因為a＋≤－2，b＋≤－2，c＋≤－2，
三式相加，得a＋＋b＋＋c＋≤－6，
所以a＋＋b＋＋c＋≤－6成立．
答案：c
8．某同學準備用反證法證明如下乙個問題：函式f(x)在上有意義，且f(0)＝f(1)，如果對於不同的x1，x2∈，都有|f(x1)－f(x2)|<|x1－x2|，求證：|f(x1)－f(x2)|<.
那麼他的反設應該是________．
解析：該命題為全稱命題，其否定為特稱命題．
答案：「存在x1，x2∈，使得|f(x1)－f(x2)|<|x1－x2|且|f(x1)－f(x2)|≥」
9．已知a，b，c是互不相等的實數．
求證：由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a和y＝cx2＋2ax＋b確定的三條拋物線至少有一條與x軸有兩個不同的交點．
證明：假設題設中的函式確定的三條拋物線都不與x軸有兩個不同的交點(即任何一條拋物線與x軸沒有兩個不同的交點)，
由y＝ax2＋2bx＋c，
y＝bx2＋2cx＋a，
y＝cx2＋2ax＋b，
得δ1＝(2b)2－4ac≤0，
δ2＝(2c)2－4ab≤0，
δ3＝(2a)2－4bc≤0.
上述三個同向不等式相加得，
4b2＋4c2＋4a2－4ac－4ab－4bc≤0，
∴2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ca≤0，
∴(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，
∴a＝b＝c，這與題設a，b，c互不相等矛盾，
因此假設不成立，從而命題得證．
10.設a，b，c，d∈(0，＋∞)，若a＋d＝b＋c且|a－d|<|b－c|，則有
a．ad＝bcb．adc．ad>bcd．ad≤bc
解析：|a－d|<|b－c|(a－d)2<(b－c)2a2＋d2－2adbc.
答案：c
11．已知a，b，μ∈(0，＋∞)且＋＝1，則使得a＋b≥μ恆成立的μ的取值範圍是________．
解析：∵a，b∈(0，＋∞)且＋＝1，
∴a＋b＝(a＋b)(＋)＝10＋(＋)≥10＋2＝16，∴a＋b的最小值為16.
∴要使a＋b≥μ恆成立，需16≥μ，∴0<μ≤16.
答案：(0,16]
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