一元二次不等式及其解法
1.不等式≥2的解集是
ab．c．[，1)∪(1,3d．
解析：法一：首先x≠1，在這個條件下根據不等式的性質原不等式可以化為x＋5≥2(x－1)2，即2x2－5x－3≤0，即(2x＋1)(x－3)≤0，解得－≤x≤3，故原不等式的解集是．
法二：特殊值檢驗法．首先x≠1，排除b，顯然x＝0，x＝2是不等式的解，排除a、c.
答案：d
2．解關於x的不等式12x2－ax>a2(a∈r)．
解：由12x2－ax－a2>0(4x＋a)(3x－a)>0
(x＋)(x－)>0，
①a>0時，－ <，
解集為；
②a＝0時，x2>0，解集為；
③a<0時，－ >，
解集為．
3.某產品的總成本y(萬元)與產量x(臺)之間的函式關係是y＝3 000＋20x－0.1x2(0＜x＜240)，若每台產品的售價為25萬元，則生產者不虧本(銷售收入不小於總成本)時的最低產量是
a．100臺b．120臺
c．150臺d．180臺
解析：依題意得25x≥3 000＋20x－0.1x2，
整理得x2＋50x－30 000≥0，解得x≥150或x≤－200，
因為0＜x＜240，所以150≤x＜240，即最低產量是150臺．
答案：c
4．某電單車廠上年度生產電單車的投入成本為1萬元/輛，出廠價為1.2萬元/輛，年銷售量為1000輛．本年度為適應市場需求，計畫提高產品質量，適度增加投入成本．若每輛車投入成本增加的比例為x(0＜x＜1)，則出廠價相應地提高比例為0.75x，同時預計年銷售量增加的比例為0.
6x，已知年利潤＝(出廠價－投入成本)×年銷售量．
(1)寫出本年度預計的年利潤y與投入成本增加的比例x的關係式；
(2)為使本年度的年利潤比上年度有所增加，則投入成本增加的比例x應在什麼範圍內？
解：(1)由題意得y＝×1000(1＋0.6x)(0＜x＜1)，
整理得y＝－60x2＋20x＋200(0＜x＜1)．
(2)要保證本年度的年利潤比上年度有所增加，必須有
即解得0＜x＜.
∴投入成本增加的比例應在(0，)範圍內．
5.若不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2對任意實數x均成立，則實數a的取值範圍是( )
a．a≥2或a≤－3b．a＞2或a≤－3
c．a＞2d．－2＜a＜2
解析：原不等式可化為(a＋2)x2＋4x＋a－1＞0，顯然a＝－2時不等式不恆成立，所以要使不等式對於任意的x均成立，必須有a＋2＞0，且δ＜0，即
解得a＞2.
答案：c
6．(2010·寧波模擬)設奇函式f(x)在上是單調函式，且f(－1)＝－1，若函式f(x)≤t2－2at＋1對所有的x∈都成立，當a∈時，則t的取值範圍是________．
解析：∵f(x)為奇函式，f(－1)＝－1，
∴f(1)＝－f(－1)＝1.
又∵f(x)在上是單調函式，
∴－1≤f(x)≤1，
∴當a∈時，t2－2at＋1≥1恆成立，
即t2－2at≥0恆成立，
令g(a)＝t2－2at，a∈，∴∴
∴t≥2或t＝0或t≤－2.
答案：(－∞，－2]∪∪時，f(x)≥a恆成立，求a的範圍．
解：(1)f(x)≥a恆成立，即x2＋ax＋3－a≥0恆成立，必須且只需δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，
∴－6≤a≤2.
(2)f(x)＝x2＋ax＋3＝(x＋)2＋3－.
①當－＜－2，即a＞4時，f(x)min＝f(－2)＝－2a＋7，
由－2a＋7≥a得a≤，∴a∈.
②當－2≤－≤2，即－4≤a≤4時，f(x)min＝3－，
由3－≥a，得－6≤a≤2.∴－4≤a≤2.
③當－＞2，即a＜－4時，f(x)min＝f(2)＝2a＋7，
由2a＋7≥a，得a≥－7，∴－7≤a＜－4.
綜上得a∈．
8.不等式x2－|x|－2<0的解集是
a．c．
解析：原不等式|x|2－|x|－2<0(|x|－2)(|x|＋1)<0|x|－2<0－2答案：a
9．已知不等式組的解集是不等式2x2－9x＋a＜0的解集的子集，則實數a的取值範圍是________．
解析：因為不等式組的解集是，設f(x)＝2x2－9x＋a，則由題意得解得a≤9.
答案：a≤9
10．已知不等式ax2－3x＋6>4的解集為，
(1)求a，b；
(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0.
解：(1)因為不等式ax2－3x＋6>4的解集為，所以x1＝1與x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的兩個實數根，且b>1.由根與係數的關係，得
解得所以
(2)所以不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0，
即x2－(2＋c)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0.
①當c>2時，不等式(x－2)(x－c)<0的解集為{x|2②當c<2時，不等式(x－2)(x－c)<0的解集為{x|c③當c＝2時，不等式(x－2)(x－c)<0的解集為.
綜上所述：當c>2時，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0的解集為{x|2當c<2時，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0的解集為{x|c當c＝2時，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0的解集為.
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