不等式證明的常用技巧·例題
例5-2-13 求證：
(2)若a＞b＞c＞0，d＞c，ac＞bd，則a+c＞b+d。
解 (1)因x+y+z=1，故可設
其中t1+t2+t3=0，於是
(2)因a＞b，d＞c，故可設a=b+t1，d=c+t2，其中t1＞0，t2＞
∴(a+c)-(b+d)=(a-b)-(d-c)=t1-t2＞0
∴a+c＞b+d
注 ①用n個數的平均數與適當引數來表示這n個數的代換通常稱為均值代換，如(1)中施行的代換。這種代換的特點是利用對稱性可使運
陣列，不能保證由上述代換而得到。如x=y=0，z=1就不存在對應的t值。
②當a＞b時，令a=b+t(t＞0)，其中t是a用b表示時引進的增量。這種代換通常稱為增量代換。它的特點是把條件中的不等關係轉化為相等系，使得變形過程簡化。
例5-2-14 求證：
解 (1)由a＞0，b＞0，a+2b=1，可設
則有(2)因a＞b＞0，且(a-b)+b=a，故可設
這時，原不等式等價於
故只須證明
這個不等式顯然成立。事實上，因為0＜cosθ＜1，0＜sinθ＜1又
故原不等式得證。
注代數問題三角化，往往可充分利用三角函式的特有性質，使較為複雜的問題得以簡化，從而獲得簡捷解法。
例5-2-15 求證：
(1)|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，則abc+2＞a+b+c；
(2)ai，bi∈r(i=1，2，3)，且ai≠0，則
(a1b1+a2b2+a3b3)2≤(a12+a22+a32+)(b12+b22+b32)
當且僅當bi=λai時取等號。
解 (1)原不等式等價於
(bc-1)a+(2-b-c)＞0
構造一次函式
f(x)=(bc-1)x+(2-b-c) (-1＜x＜1)
則 f(-1)=(1-bc)+(1-b)+(1-c)＞0
f(1)=bc-1+2-b-c=(1-b)(1-c)＞0
於是，根據一次函式的單調性，f(x)在區間[-1，1]上恆大於0。而a∈(-1，1)，故f(a)＞0，即(bc-1)a-b-c+2＞0。所以
abc+2＞a+b+c
(2)構造二次函式
f(x)=(a1x+b1)2+(a2x+b2)2+(a3x+b3)2
(當且僅當bi=λai，λ∈r時取等號)
所以注函式思想是解決數學問題的重要思想，應用廣泛。在不等式證明中，若能要據其結構特徵，構造相應的函式，則可充分利用函式的性質，使問題簡明。
(2)中不等式及其證明可推廣到一般情形：若ai，bi∈r(i∈1，2，…n)，且ai≠0，則
(a1b1+…+anbn)2≤(a12+…+an2)·(b12+…+bn2)
這就是著名的柯西不等式。柯西不等式不僅應用廣泛，而且它的證明方法，即構造二次函式並通過其判別式證明不等式的方法，堪稱構造法的典範。
解 [法一] 由x+y=1，可令
則原不等式
=5+2(tg2θ+ctg2θ)≥5+2×2=9
又x+y=1，根據韋達定理，x，y是關於t的二次方程
的實根。因x，y為實數，故
注方法2通過構造方程證明不等式，足以表明方程與不等式的密切聯絡。此法也不失為一種巧妙方法。
例5-2-17 設n∈n，求證：
解 (1)採取逐項放縮的方法。由於
令1，2，…，n，則有
……………………
依項相加，即得
(2)設
並引進輔助式
比較兩式的對應因式可知
註用放縮法證不等式，常通過拆項、分組、加強命題等方式進行。此法沒有固定模式，關鍵在於放縮要適度。放得過寬或縮得太小，都會導致方法失效。
例5-2-18 已知a＞0，b＞0，且a+b=1，求證：
當且僅當a=b時右邊取等號。
解先證右邊不等式。
則 4a+1=(k+t)2，4b+1=(k-t)2
所以(4a+1)+(4b+1)=(k+t)2+(k-t)2≥2k2
[法二] 用三角代換。因(4a+1)(4b+1)=6，故可設
現在證明左邊不等式。可考慮用放縮法。
為了將4a+1或4b+1通過放縮配成完全平方式，我們引進正數k，
因為0＜a＜1，所以a2＜a，於是
高二數學典型例題分析 不等式證明的基本依據
不等式證明的基本依據 例題 例5 2 1 求證 1 若x 1，則x4 6x2 1 4x x2 1 2 若a 1，b 1，則a2 b2 ab 3 3 a b 3 若a b 0，則a3 b3 ab2 a2b 解 1 採用比差法 x4 6x2 1 4x x2 1 作差 x4 4x3 6x2 4x 1 變形...
高二數學典型例題分析 不等式證明的基本依據
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不等式證明典型例題
例1 已知，求證 證明 當且僅當時等號成立 點評在利用差值比較法證明不等式時，常採用配方的恒等變形，以利用實數的性質 例2 已知均為正數，且兩兩不等，求證.分析由於所證不等式兩端都是冪和積的形式，且為正數，可選用商值比較法.證明為不等正數，不失一般性，設，這時，由指數函式的性質可知 所以.即.例3 ...