十五、選修4
1.（山東理4）不等式的解集是
a．[-5，7] b．[-4，6]
c． d．
【答案】d
2.（北京理5）如圖，ad，ae，bc分別與圓o切於點d，e，f，
延長af與圓o交於另一點g。給出下列三個結論：
①ad+ae=ab+bc+ca；
②af·ag=ad·ae
③△afb ～△adg
其中正確結論的序號是
ab．②③
cd．①②③
【答案】a
3.（安徽理5）在極座標系中，點的圓心的距離為
（a）2 （bc） （d）
【答案】d
4.（北京理3）在極座標系中，圓ρ=-2sinθ的圓心的極座標系是
ab．c． (1,0d．(1，)
【答案】b
5.（天津理11）已知拋物線的引數方程為（為引數）若斜率為1的
直線經過拋物線的焦點，且與圓相切，
則【答案】
6.（天津理12）如圖，已知圓中兩條弦與相交於點，是延長線上一
點，且若與圓相切，則
線段的長為
【答案】
7.（天津理13）已知集合
，則集合
【答案】
8.（上海理5）在極座標系中，直線與直線的夾角大小為
【答案】
9.（上海理10）行列式（）的所有可能值中，最大的是
【答案】6
（陝西理15）（考生注意：請在下列三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評10.分）
a．（不等式選做題）若關於的不等式存在實數解，則實數的取值範圍是 。
b．（幾何證明選做題）如圖，，且，則 。
c．（座標系與引數方程選做題）直角座標系中，以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極座標系，設點a，b分別在曲線（為引數）和曲線上，則的最小值為 。
【答案】 3
11.（湖南理9）在直角座標系xoy中，曲線c1的引數方程為（為引數）在極座標系（與直角座標系xoy取相同的長度單位，且以原點o為極點，以x軸正半軸為極軸）中，曲線c2的方程為，則c1與c2的交點個數為
【答案】2
12.（江西理15）（1）（座標系與引數方程選做題）若曲線的極座標方程為以極點為原點，極軸為軸正半軸建立直角座標系，則該曲線的直角座標方程為
【答案】
13.（江西理15）（2）（不等式選做題）對於實數,若的最大值為
【答案】5
14.（湖南理10）設,且，則的最小值為
【答案】9
15.（湖南理11）如圖2，a,e是半圓周上的兩個三等分點，直徑bc=4，
ad⊥bc,垂足為d,be與ad相交與點f，則af的長為
【答案】
16.（廣東理14）（座標系與引數方程選做題）已知兩曲線引數方程分別為和，它們的交點座標為
【答案】
17.（廣東理15）（幾何證明選講選做題）如圖4，過圓外一點分別作圓的切線
和割線交圓於,，且=7，是圓上一點使得=5，
∠=∠, 則= 。
【答案】
18.（福建理21）本題設有（1）、（2）、（3）三個選考題，每題7分，請考生任選2題做答，滿分14分，如果多做，則按所做的前兩題計分，做答時，先用2b鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號塗黑，並將所選題號填入括號中。
（1）（本小題滿分7分）選修4-2：矩陣與變換
設矩陣（其中a＞0，b＞0）．
（i）若a=2，b=3，求矩陣m的逆矩陣m-1；
（ii）若曲線c：x2+y2=1在矩陣m所對應的線性變換作用下得到曲線c』：，求a，b的值．
（2）（本小題滿分7分）選修4-4：座標系與引數方程
在直接座標系xoy中，直線l的方程為x-y+4=0，曲線c的引數方程為
．（i）已知在極座標（與直角座標系xoy取相同的長度單位，且以原點o為極點，以x軸正半軸為極軸）中，點p的極座標為（4，），判斷點p與直線l的位置關係；
（ii）設點q是曲線c上的乙個動點，求它到直線l的距離的最小值．
（3）（本小題滿分7分）選修4-5：不等式選講
設不等式的解集為m．
（i）求集合m；
（ii）若a，b∈m，試比較ab+1與a+b的大小．
（1）選修4—2：矩陣與變換
本小題主要考查矩陣與交換等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想，滿分7分。
解：（i）設矩陣m的逆矩陣，則
又，所以，
所以故所求的逆矩陣
（ii）設曲線c上任意一點，
它在矩陣m所對應的線性變換作用下得到點，
則又點在曲線上，
所以,,
則為曲線c的方程，
又已知曲線c的方程為
又（2）選修4—4：座標系與引數方程
本小題主要考查極座標與直角座標的互化、橢圓的引數方程等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想。滿分7分。
解：（i）把極座標系下的點化為直角座標，得p（0，4）。
因為點p的直角座標（0，4）滿足直線的方程，
所以點p在直線上，
（ii）因為點q在曲線c上，故可設點q的座標為，
從而點q到直線的距離為
，由此得，當時，d取得最小值，且最小值為
（3）選修4—5：不等式選講
本小題主要考查絕對值不等式等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想，滿分7分。
解：（i）由
所以（ii）由（i）和，所以故
19.（遼寧理22）
如圖，a，b，c，d四點在同一圓上，ad的延長線與bc的延長線交於e點，且ec=ed．
（i）證明：cd//ab；
（ii）延長cd到f，延長dc到g，使得ef=eg，證明：a，b，g，f四點共圓．
20.（遼寧理23）
選修4-4：座標系統與引數方程
在平面直角座標系xoy中，曲線c1的引數方程為（為引數），曲線c2的引數方程為（，為引數），在以o為極點，x軸的正半軸為極軸的極座標系中，射線l：θ=與c1，c2各有乙個交點．當=0時，這兩個交點間的距離為2，當=時，這兩個交點重合．
（i）分別說明c1，c2是什麼曲線，並求出a與b的值；
（ii）設當=時，l與c1，c2的交點分別為a1，b1，當=時，l與c1，c2的交點為a2，b2，求四邊形a1a2b2b1的面積．
解： （i）c1是圓，c2是橢圓.
當時，射線l與c1，c2交點的直角座標分別為（1，0），（a，0），因為這兩點間的距離為2，所以a=3.
當時，射線l與c1，c2交點的直角座標分別為（0，1），（0，b），因為這兩點重合，所以b=1.
（ii）c1，c2的普通方程分別為
當時，射線l與c1交點a1的橫座標為，與c2交點b1的橫座標為
當時，射線l與c1，c2的兩個交點a2，b2分別與a1，b1關於x軸對稱，因此，
四邊形a1a2b2b1為梯形.
故四邊形a1a2b2b1的面積為 …………10分
21.（遼寧理24）
選修4-5：不等式選講
已知函式=|x-2|x-5|．
（i）證明：≤≤3；
（ii）求不等式≥x2x+15的解集．
解： （i）因為ec=ed，所以∠edc=∠ecd.
因為a，b，c，d四點在同一圓上，所以∠edc=∠eba.
故∠ecd=∠eba，
所以cd//ab. …………5分
（ii）由（i）知，ae=be，因為ef=fg，故∠efd=∠egc
從而∠fed=∠gec.
鏈結af，bg，則△efa≌△egb，故∠fae=∠gbe，
又cd//ab，∠edc=∠ecd，所以∠fab=∠gba.
所以∠afg+∠gba=180°.
故a，b，g，f四點共圓 …………10分
解： （i）
當所以 ………………5分
（ii）由（i）可知，
當的解集為空集；
當；當.
綜上，不等式 …………10分
22．（全國新課標理22）選修4-1：幾何證明選講
如圖，d，e分別為的邊ab，ac上的點，且不與的頂點重合．已知ae的長為m，ac的長為n，ad，ab的長是關於x的方程的兩個根．
（i）證明：c，b，d，e四點共圓；
（ii）若，且求c，b，d，e所在圓的半徑．
解：（i）連線de，根據題意在△ade和△acb中，
ad×ab=mn=ae×ac
即.又∠dae=∠cab，從而△ade∽△acb
因此∠ade=∠acb
所以c，b，d，e四點共圓．
（ⅱ）m=4， n=6時，方程x2-14x+mn=0的兩根為x1=2，x2=12.
故 ad=2，ab=12.
取ce的中點g，db的中點f，分別過g，f作ac，ab的垂線，兩垂線相交於h點，連線dh.因為c，b，d，e四點共圓，所以c，b，d，e四點所在圓的圓心為h，半徑為dh.
由於∠a=900，故gh∥ab， hf∥ac. hf=ag=5，df= (12-2)=5.
故c，b，d，e四點所在圓的半徑為5
23.（全國新課標理23）選修4-4：座標系與引數方程
在直角座標系xoy中，曲線的引數方程為為引數），m為上的動點，p點滿足，點p的軌跡為曲線．
（i）求的方程；
（ii）在以o為極點，x軸的正半軸為極軸的極座標系中，射線與的異於極點的交點為a，與的異於極點的交點為b，求|ab|.
解：（i）設p(x，y)，則由條件知m().由於m點在c1上，所以
即 從而的引數方程為
（為引數）
（ⅱ）曲線的極座標方程為，曲線的極座標方程為．
射線與的交點的極徑為，
射線與的交點的極徑為．
所以.24.（全國新課標理24）選修4-5：不等式選講
設函式，其中．
（i）當a=1時，求不等式的解集．
（ii）若不等式的解集為｛x|，求a的值．
解： （ⅰ）當時，可化為
． 由此可得或．
故不等式的解集為
或． (ⅱ) 由得
此不等式化為不等式組
或即或因為，所以不等式組的解集為
由題設可得= ，故
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